КРАТКИЙ КУРС СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ 1.1. Задачи и методы сопротивления материалов

 

 

КРАТКИЙ КУРС СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

Часть 1

 

Глава 1. ВВЕДЕНИЕ

1.1. Задачи и методы сопротивления материалов

Сопротивление материалов – наука о прочности и надёжности деталей машин и конструкций. В её задачи входит обобщение инженерного опыта создания машин и сооружений, разработка научных основ проектирования и конструирования надёжных изделий, совершенствование методов оценки прочности.

Изучая процессы деформирования и разрушения твёрдых тел, сопротивление материалов устанавливает основные методы расчётов деталей машин и конструкций на прочность, жёсткость и устойчивость.

Расчёт на прочность преследует цель определить наименьшие размеры детали, исключающие возможность разрушения.

Расчёт на жёсткость связан с определением деформации конструкции в процессе эксплуатации.

Под устойчивостью подразумевается способность элементов конструкций сохранять первоначально заданную форму равновесия.

Сопротивление материалов – инженерная наука, для неё характерно использование приближённых методов, опирающихся на опыт и эксперимент.

Сопротивление материалов, в отличие от теоретической механики, рассматривает не абсолютно твёрдые, а деформированные тела. Сопротивление материалов является одним из разделов механики твёрдого деформируемого тела. К ней относятся также теория упругости, теория пластичности, теория ползучести, теория пластин и оболочек, механика разрушения, строительная механика стержневых систем. В этих разделах механики зачастую рассматривают те же проблемы, что и в сопротивлении материалов, но в более строгой математической постановке. Сопротивление материалов решает свои задачи возможно более простыми методами, применяя сравнительно несложный математический аппарат.

Итак, сопротивление материалов – это азбука расчётов на прочность.

1.2. Реальный объект и расчётная схема

Расчёт на прочность реальной детали всегда начинается с выбора расчётной схемы. Он заключается в устранении второстепенных факторов, незначительно влияющих на работу конструкции; в схематизации самого рассматриваемого объекта.

Для одного и того же объекта может быть предложено несколько расчётных схем. С другой стороны, одной расчётной схеме может быть поставлено в соответствие много реальных объектов. Последнее обстоятельство является весьма важным, так как, исследуя некоторую схему, можно получить решение целого класса задач, сводящихся к данной схеме. Схематизируя реальный объект, мы фактически заменяем его некоторой моделью. При этом разрабатываются и принимаются четыре вспомогательные модели: материала, формы, нагружения и разрушения. Построение указанных частных моделей является важным этапом, существенно влияющим на достоверность оценки прочностной надёжности.

Модели материала

Металлы имеют поликристаллическое (зернистое) строение. Но инженерные модели материала наделяют его следующими свойствами: однородность, сплошность,… Однородность понимается в том смысле, что все неоднородные структурные… Сплошность понимается в том смысле, что материал заполняет весь объем тела без пустот, раковин и прочих дефектов. Хотя…

Глава 2. ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ – СЖАТИЕ ПРЯМОГО БРУСА

2.1. Усилия и напряжения в поперечном сечении бруса

Растяжение и сжатие весьма часто встречаются в элементах строительных конструкций и машин.

Если внутренние силы в поперечном сечении стержня сводятся только к одному силовому фактору – продольной силе N, а все остальные внутренние силы равны нулю, то имеет место центральное растяжение или сжатие.

Внешние силы, вызывающие растяжение или сжатие, приложенные к концевым или промежуточным сечениям стержня, должны быть также направлены по его оси или приводиться к равнодействующей, направленной по этой оси.

Рассмотрим растянутый стержень (рис.2.1). Передача сил Р на этот стержень может быть осуществлена различными способами: можно, например, отогнуть концы стержня и захватить его за образовавшуюся петлю, можно изготовить стержень с бортиками и передать усилия через выступ, можно нарезать резьбу, можно сделать отверстие и в отверстие вставить палец, словом, вариантов можно предложить много. Всем этим, отличающимся друг от друга конструкциям, может быть поставлена в соответствие одна и та же расчётная схема (рис.2.2). Это возможно благодаря справедливости принципа Сен-Венана, названному по имени предложившего его французского учёного, сыгравшего большую роль в создании сопротивления материалов и теории упругости в середине XIX века.

Рис.2.1

Принцип Сен-Венана утверждает следующее: особенности приложения внешних сил сказываются на расстоянии, не превышающем характерный размер поперечного сечения. Напряжения и деформации в стержне на достаточном удалении от мест захвата (равном характерному размеру поперечного сечения – диаметру d) будут одинаковы, если одинаковы приложенные силы. Применение принципа Сен-Венана позволяет существенно расширить общность основных расчётных формул сопротивления материалов, поскольку освобождает от необходимости учитывать конкретные особенности местного распределения сил.

Для определения продольных сил применяется метод сечений, который заключается в том, что стержень мысленно пересекается плоскостью, перпендикулярной оси стержня, на две части. Продольная сила N равна сумме проекций на ось стержня сил, действующих по одну сторону от сечения. Сила N считается положительной, если она вызывает растяжение (направлена от сечения), и отрицательной, если она вызывает сжатие (направлена к сечению).

Рассмотрим расчётную схему стержня (рис.2.2). Стержень рассекаем сечением m-n и рассматриваем равновесие левой отсечённой части. Целесообразно неизвестную продольную силу N принимать положительной (растягивающей). Если при решении уравнения статики сила N получится со знаком “–“, то её направление надо поменять на противоположное и учитывать в дальнейшем расчёте, что стержень сжат. В нашем случае (рис.2.2.) получим N = P, т.е. стержень растянут: ∑x = 0, N – P = 0, N = P.

Рис.2.2.

В более сложных случаях нагружения стержня имеет смысл строить график изменения продольных сил по длине, называемый эпюрой продольных сил. На рис.2.3 изображен брус, находящийся под действием внешних сил, направленных вдоль оси. Показана эпюра продольных сил.

Рис.2.3

При построении эпюры N рассматривали равновесие отсечённых частей на каждом из участков ℓ₁, ℓ₂, ℓ₃ (рис.2.4).

∑х = 0: 40 – N1 = 0, N1 = 40 кН;   ∑х = 0: 40 – 90 – N2 = 0, N2 = – 50 кН;   ∑х = 0: 40 – 90 + 60 – N3 = 0, N3 = 10 кН.

Рис.2.4

Из рис.2.4 следует, что мы все время рассматривали равновесие правой отсечённой части. Это связано с тем обстоятельством, что мы не определили реакцию опоры R , которая относится к внешним силам. Если бы сначала нашли R из уравнения статики, можно было бы рассматривать равновесие и левой отсечённой части. Построив эпюру N, получили R = 10 кH (растяжение).

С помощью построенной эпюры легко установить значение N, необходимое для расчёта на прочность. Так, в нашем примере получили½N_max½ = 50кН. Это значение не совпадает ни с одной из внешних сил.

Продольная сила N, возникающая в поперечном сечении бруса, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределённых по площади поперечного сечения и связана с возникающими в этом сечении нормальными напряжениями зависимостью:

, (2.1)

где σ – нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения, принадлежащей элементарной площадке dF;

F – площадь поперечного сечения бруса.

Однако из формулы (2.1) нельзя найти закон распределения нормальных напряжений σ по площади поперечного сечения. Опыты показывают, что если нанести на поверхность бруса систему линий перпендикулярных оси бруса (рис.2.5), то после нагружения поперечные линии a-a, b-b, c-c, d-d переместятся параллельно самим себе.

Рис 2.5.

Каждую такую линию можно рассматривать как след плоскости поперечного сечения бруса, – это позволяет считать, что поперечные сечения бруса, плоские до его нагружения, остаются плоскими и при действии нагрузки. Выполняется гипотеза плоских сечений, впервые предложенная голландским учёным Д. Бернулли и широко применяемая в задачах сопротивления материалов: удлинения и напряжения во всех точках поперечного сечения бруса равны между собой, что позволяет в выражении (2.1) вывести величину σ за знак интеграла. Таким образом,

,

откуда

 

. (2.2)

Итак, в поперечных сечениях бруса при его растяжении (или сжатии) возникают равномерно распределённые нормальные напряжения, равные отношению продольной силы к площади поперечного сечения.

2.2. Условие прочности

Для решения вопроса о прочности, в соответствии с принятым методом расчёта на прочность по допускаемым на­пряжениям и условием прочности (1.4), запишем это условие применительно к растянутому (сжатому) стержню.

, (2.3)

где |N_max| – максимальная по абсолютному значению продольная сила;

F – пло­щадь поперечного сечения стержня;

[σ] – допускаемое напряжение.

При реше­нии задач сопротивления материалов [σ] всегда задано. При расчётах машин или конструкций Нормы расчёта дают указания по поводу назначения или расчёта [σ]. Формула (2.3) применима для стержня из материала, имею­щего одинаковую прочность на растяжение и на сжатие (например, для стали). Но если материал по-разному сопротивляется растяжению и сжатию (напри­мер, чугун) для расчёта на прочность необходимо учитывать знак продольной силы и записывать два условия прочности

, , (2.4)

где N_max – наибольшая (растягивающая) продольная сила;

N_min – наименьшая (сжимающая) продольная сила;

[σ₊] и [σ_-] – допускаемые напряжения на растяжение и на сжатие соответственно.

Значение N, входящее в условие прочности, определяется предварительно по эпюре N (рис.2.3.) или из расчёта статического равновесия конструкции.

Рассмотрим пример. Необходимо определить размеры поперечного сечения стержней кронштейна, удерживающего нагрузку P = 100 кН (рис.2.6).

Стержень №1: стальной, круглый, [σ] = 160 МПа; стержень №2: деревянный, квадратный, [σ] = 12 МПа.

Рис.2.6

Сначала найдём усилия в стержнях. Для такой системы можно записать два уравнения статики:

∑ х = 0: – N₂ – N₁cos α = 0,

∑ y = 0: – P + N₁sin α = 0.

.

Из уравнения ∑ y = 0 найдём .

Из уравнения ∑ х = 0 найдём N₂ = – N₁cos α = – 166,7 ∙ 0,8 = – 133,3 кН.

Из условия прочности найдём площади поперечного сечения стержней

, .

При расчётах прочности величину допускаемого напряжения, заданную в МПа, перевели в кН/см²: 160 МПа = 16 кН/см² и 12 МПа = 1,2 кН/см². Теперь осталось определить размеры поперечных сечений.

2.3. Деформации. Закон Гука

Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении и сжатии стержней. При растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры сокра­щаются. При сжатии, наоборот, длина стержня уменьшается, а поперечные размеры увеличиваются. На рис.2.7 пунктиром показан деформированный вид растянутого стержня.

Рис.2.7

ℓ – длина стержня до приложения нагрузки;

ℓ₁ – длина стержня после приложения нагрузки;

b – поперечный размер до приложения нагрузки;

b₁ – поперечный размер после приложения нагрузки.

Абсолютная продольная деформация ∆ℓ = ℓ₁ – ℓ.

Абсолютная поперечная деформация ∆b = b₁ – b.

Значение относительной линейной деформации ε можно определить как отношение абсолютного удлинения ∆ℓ к первоначальной длине бруса ℓ

. (2.5)

Аналогично находятся поперечные деформации

. (2.6)

При растяжении поперечные размеры уменьшаются: ε > 0, ε′ < 0; при сжатии: ε < 0, ε′ > 0. Опыт показывает, что при упругих деформациях поперечная всегда прямо пропорциональна продольной.

ε′ = – νε. (2.7)

Коэффициент пропорциональности ν называется коэффициентом Пуассона или коэффициентом поперечной деформации. Он представляет собой абсолютную величину отношения поперечной деформации к продольной при осевом растяжении

. (2.8)

Назван по имени французского учёного, впервые предложившего его в начале XIX века. Коэффициент Пуассона есть величина постоянная для материала в пределах упругих деформаций (т.е. деформаций, исчезающих после снятия нагрузки). Для различных материалов коэффициент Пуассона изменяется в пределах 0 ≤ ν ≤ 0,5: для стали ν = 0,28…0,32; для резины ν = 0,5; для пробки ν = 0.

Между напряжениями и упругими деформациями существует зависимость, известная под названием закон Гука:

σ = Еε. (2.9)

Коэффициент пропорциональности Е между напряжением и деформацией называется модулем нормальной упругости или модулем Юнга. Размерность Е такая же, как и у напряжения. Так же, как и ν, Е – упругая постоянная материала. Чем больше значение Е, тем меньше, при прочих равных условиях, продольная деформация. Для стали Е = (2...2,2)10⁵ МПа или Е = (2...2,2)10⁴ кН/см².

Подставляя в формулу (2.9) значение σ по формуле (2.2) и ε по формуле (2.5) , получим выражение для абсолютной деформации

. (2.10)

Произведение EF называется жёсткостью бруса при растяжении и сжатии.

Формулы (2.9) и (2.10) – это разные формы записи закона Гука, предложенного в середине XVII века. Современная форма записи этого фундаментального закона физики появилась гораздо позже – в начале XIX века.

Формула (2.10) справедлива лишь в пределах тех участков, где сила N и жёсткость EF постоянны. Для ступенчатого стержня и стержня, нагруженного несколькими силами, удлинения подсчитываются по участкам с постоянными N и F и результаты суммируются алгебраически

. (2.11)

Если эти величины изменяются по непрерывному закону, ∆ℓ вычисляется по формуле

. (2.12)

В ряде случаев для обеспечения нормальной работы машин и сооружений размеры их деталей должны быть выбраны так, чтобы кроме условия прочности обеспечивалось условие жёсткости

, (2.13)

где ∆ℓ – изменение размеров детали;

[∆ℓ] – допускаемая величина этого изменения.

Подчёркиваем, что расчет на жёсткость всегда дополняет расчёт на прочность.

2.4. Расчёт стержня с учетом собственного веса

Простейшим примером задачи о растяжении стержня с переменными по длине параметрами является задача о растяжении призматического стержня под действием собственного веса (рис.2.8,а). Продольная сила N_x в поперечном сечении этого бруса (на расстоянии x от его нижнего конца) равна силе тяжести нижележащей части бруса (рис.2.8,б), т.е.

N_x = γFx, (2.14)

где γ – удельный вес материала стержня.

. (2.15)

Продольная сила и напряжения меняются по линейному закону, достигая максимума в заделке. Осевое перемещение произвольного сечения равно удлинению вышерасположенной части бруса. Поэтому определить его нужно по формуле (2.12), интегрирование вести от текущего значения х до х = ℓ:

.

Получили выражение для произвольного сечения стержня

. (2.16)

При х = 0 перемещение наибольшее, оно равно удлинению стержня

. (2.17)

На рис.2.8,в,г,д приведены графики N_x, σ_х и u_x

а б в г д

Рис.2.8

Умножим числитель и знаменатель формулы (2.17) на F и получим:

.

Выражение γFℓ равно собственному весу стержня G. Поэтому

. (2.18)

Формула (2.18) может быть сразу получена из (2.10)., если помнить, что равнодействующая собственного веса G должна быть приложена в центре тяжести стержня и поэтому она вызывает удлинение только верхней половины стержня (рис.2.8,а).

Если стержни, кроме собственного веса, нагружены ещё сосредоточенными продольными силами, то напряжения и деформации определяют на основе принципа независимости действия сил отдельно от сосредоточенных сил и от собственного веса, после чего результаты складывают.

Принцип независимости действия сил вытекает из линейной деформируемости упругих тел. Суть его заключается в том, что любая величина (напряжение, перемещение, деформация) от действия группы сил может быть получена как сумма величин, найденных от каждой силы в отдельности.

2.5. Статически неопределимые системы

Мы рассмотрели два примера, в которых внутренние усилия в стержнях определялись из уравнений статики. Это были статически определимые системы.

Статически определимыми называются системы, у которых число неизвестных реакций (число внутренних силовых факторов) равно числу уравнений статики.

Рассмотренные конструкции легко можно переделать – с целью повышения прочности установить дополнительную опору или дополнительный стержень (рис.2.9).

а б

Рис.2.9

При этом увеличивается число неизвестных усилий, а число уравнений статики остается неизменным. Так, для стержня на рис.2.9,а невозможно найти две неизвестных опорных реакции R_A и R_В (и, соответственно, продольную силу N на каждом из трёх участков) из единственного уравнения статики ∑ х = 0. А для кронштейна на рис.2.9,б невозможно найти усилия в стержнях N₁, N₂ и N₃ из двух уравнений статики. Конструкции стали статически неопределимыми.

Статически неопределимыми называются системы, у которых число неизвестных реакций (число внутренних силовых факторов) превышает число уравнений статики. Разность между числом неизвестных усилий и числом независимых уравнений статики называется степенью статической неопределимости. Её можно найти из таких соображений: степень статической неопределимости равна числу “лишних” связей – связей, которые можно удалить из конструкций без ущерба для статического равновесия. Например, абсолютно жёсткий брус АВ закреплен на шарнирной опоре А и удерживается четырьмя тягами (рис.2.10). Равновесие бруса АВ не будет нарушено, если из четырех тяг удалить три. Если же удалить все четыре, конструкция превратится в механизм – брус АВ упадёт. Поэтому степень статической неопределённости этой системы равна трём. Для системы, показанной на рис.2.9, степень статической неопределимости равна единице. Степень статической неопределимости ничем не ограничена.

Рис.2.10

Недостающие для определения усилий уравнения могут быть получены из рассмотрения деформации системы.

Статически неопределимые конструкции, элементы которых работают на растяжение и сжатие, будем рассчитывать, придерживаясь следующего порядка.

1. Статическая сторона задачи. Составляем уравнения равновесия отсечённых элементов конструкций, содержащие неизвестные усилия.

2. Геометрическая сторона задачи. Рассматривая систему в деформированном состоянии, устанавливаем связи между деформациями или перемещениями отдельных элементов конструкции. Полученные уравнения называются уравнениями совместности деформаций.

3. Физическая сторона задачи. На основании закона Гука выражаем деформации элементов конструкций через действующие в них неизвестные усилия. В случае изменения температуры к деформациям, вызванным усилиями, добавляются температурные деформации.

4. Синтез. Решая совместно статические и геометрические уравнения, выраженные через физические, находим неизвестные усилия.

5. Расчёт на прочность. Из условия прочности стержней, в зависимости от поставленной задачи, находим площади поперечного сечения стержней или действующие напряжения для проверки прочности, или грузоподъёмность конструкции.

Рассмотрим примеры расчёта простых статически неопределимых конструкций.

2.5.1. Расчёт на действие нагрузки

Подобрать площади поперечного сечения стержней трёхстержневой фермы, изображённой на рис.2.11,а.

 

 

а б

Рис.2.11

Поскольку при расчёте статически неопределимых конструкций используются уравнения совместности деформаций, выражаемые по закону Гука через жёсткость EF, а значения F нам неизвестны, необходимо заранее задавать соотношение площадей рассчитываемых стержней. Исходные данные – в табл.2.1.

Таблица 2.1.

Стержень	Площадь поперечного сечения F	Модуль Юнга E, кН/см2	Допускаемое напряжение [σ], кН/см2
	F1	104
	2F1	2·104

Определим длины стержней:

ℓ₁ = 3 м, ℓ₂ = ℓ₃ = 3/cos 30⁰ = 3/0,866 = 3,46 м ® ℓ₂ = 3,46 м.

Решаем задачу в соответствии с записанным выше порядком расчёта.

1. Условия равновесия узла А (рис.2.11,б) выражаются двумя уравнениями статики:

∑ х = 0: N₃sin 30⁰ – N₂sin 30⁰ = 0 ® N₃ = N₂,

∑ у = 0: N₁ + P – N₂cos 30⁰ – N₃cos 30⁰ = 0.

В результате остается одно второе уравнение, содержащее два неизвестных усилия:

N₁ + P – 2N₂cos 30⁰ = 0. (a)

Таким образом, конструкция один раз статически неопределима.

2. Так как система симметрична относительно оси среднего стержня и боковые стержни растягиваются одинаковыми силами, то узел A опустится по вертикали на величину деформации первого стержня ∆ℓ₁ и займёт положение A′ (рис.2.11,в). Стержни 2 и 3 удлиняются, на рисунке показан только второй стержень ВА и его новое положение ВА′. Удлинение бокового стержня получим, если из точки В радиусом, равным ВА′, проведём дугу и сделаем засечку на старом положении стержня ВА. Вследствие малости упругих удлинений по сравнению с длинами стержней можно дугу заменить перпендикуляром А′С, опущенным на линию АВ: АС = ∆ℓ₂. При построении картины деформированного состояния пользуемся принципом «Стержень растянулся (или сжался) и повернулся». В данном случае стержень 2 растянулся, точка A перешла в точку C, и повернулся, точка C перешла в точку A₁. Из рисунка:

∆ℓ₂ = ∆ℓ₁cos 30⁰. (б)

Уравнение (б) есть уравнение совместности деформаций.

3. Удлинения стержней выразим по закону Гука через действующие в них усилия:

.

® 86,5 N₂ = – 259,8 N₁ ® N₁ = – 0,33N₂. (в)

Деформация 1-го стержня записана со знаком ''–'' т.к. она – укорочение.

4. Необходимо решить совместно уравнение статики (а) и уравнение совместности деформаций, выраженное через усилия (в):

В результате решения системы уравнений получим:

N₁ = – 112,1 кН, N₂ = 339,5 кН.

5. Найдём площади поперечного сечения стержней из условия прочности :

, . (г)

Так как кроме условий (г) должно еще выполняться первоначально заданное соотношение F₂ = 2F₁, окончательно принимаем: F₁ = 10,6 см², F₂ = 21,2 см². При этом напряжение во втором стержне будет равно допускаемому, а в первом оно будет меньше допускаемого

.

Отметим, что в статически неопределимых конструкциях невозможно получить равнопрочность всех элементов – всегда есть недогруженные стержни.

2.5.2. Температурные напряжения

В элементах статически неопределимых конструкций при изменении температуры возникают усилия (напряжения). Статически определимые конструкции при изменении температуры деформируются свободно: если нагреть стержень на ∆Т градусов, то он удлинится (рис.2.12) на величину ∆ℓ_Т.

Рис.2.12

∆ℓ_Т = α ∙ ∆Т ∙ ℓ, (2.19)

где α – коэффициент линейного расширения, размерность – 1/ град.

Превратим стержень, показанный на рис.2.12, в статический неопределимый. Для этого справа установим жёсткую опору (рис.2.13).

Рис.2.13

Теперь при нагревании жёсткие опоры препятствуют удлинению стержня, в результате чего возникают реакции, направленные вдоль оси. Уравнение статики:

∑ х = 0: R_B – R_A = 0 ® R_B = R_A = R.

Уравнение совместности деформаций:

∆ℓ = ∆ℓ_Т + ∆ℓ_N = 0 .

Записываем физическое уравнение, помня о том, что обе составляющие имеют знак “ + “, т.к. продольная сила N = R – растягивающая и от нагревания стержень должен удлиняться:

.

Получаем формулу для напряжения в стержне при равномерном по длине нагреве

. (2.20)

Теперь вернёмся к ферме, показанной на рис.2.11, и определим напряжения, возникающие в её стержнях, при равномерном нагреве одного из них. Внешняя сила Р при этом отсутствует. Исходные данные – в табл.2.2. Узел А – на рис.2.11,б, Р = 0.

Таблица 2.2.

Стержень	Площадь поперечного сечения F, см2	Коэффициент линейного расширения α, 1/град	Изменение температуры ∆Т0, С
	10,6	225·10-7	+40
	21,2
1.	∑ х = 0: N3sin 300 – N2sin 300 = 0 ® N3 = N2, ∑ у = 0: N1 – 2N2cos 300 = 0.	(а)

2. Схема деформации – на рис.2.11,в, уравнение совместности деформации остается то же самое

∆ℓ₂ = ∆ℓ₁ ∙ cos 30⁰. (б)

3. Физическая сторона задачи:

,

.

В первом уравнении поставим знаки “–“, т.к. на схеме деформации системы первый стержень укорачивается. Теперь выражения для ∆ℓ подставляем в уравнение совместности деформаций (б):

.

Получили 8,16N₂ + 24,5N₁ = – 2338,2. (в)

4. Синтез. Решаем систему уравнений (а) и (в):

Получаем N₁ = – 80 кН, N₂ = – 46,26 кН.

 

 

5. Расчёт на прочность:

, .

Напряжения меньше допускаемых (см. табл.2.1), прочность обеспечена.

2.5.3. Монтажные напряжения

Свободная сборка статически неопределимых конструкций возможна при точном изготовлении их элементов. При отклонении размеров элементов от номинальных сборку можно осуществить с приложением усилий, вызывающих деформации элементов, поэтому в них после монтажа системы будут напряжения, называемые начальными или монтажными. В статически определимых конструкциях неточность размеров элементов не требует применения усилий при монтаже, и в элементах не возникают начальные напряжения.

Снова рассмотрим трёхстержневую статически неопределимую ферму и определим монтажные напряжения при условии, что длина первого стержня оказалась короче номинальной на величину δ (рис.2.14 и табл.2.3).

а б

Рис.2.14

Таблица 2.3

Стержень	Площадь поперечного сечения F, см2	Модуль Юнга E, кН/см2	Неточность изготовления δ, см
	10,6	104	-0,3
	21,2	2·104

Если величина δ незначительна по сравнению с длинами стержней, то приложив определенные усилия, можно все три стержня соединить в узле, который займёт положение А′ ( рис.2.14,б). Очевидно, при этом все стержни будут растянуты, поэтому схема сил на рис. 2.11, б (Р = 0).

1. Статическая сторона этой задачи совпадает со статической стороной задачи о температурных напряжениях. Уравнения статики те же самые:

∑х = 0: N3sin 30 – N2sin30 = 0, N3= N2, ∑y = 0: N1 – 2N2cos30 = 0.

(а)

2. Геометрическая сторона задачи. Из приведённой на рис.2.14,б схемы деформации следует уравнение совместности деформаций

∆ℓ₂ = (δ – ∆ℓ₁) ∙ cos 30. (б)

3. Физическая сторона задачи. По закону Гука

,

Þ 8,16 N₂ = 2598 – 24,51 N₁. (в)

Следует отметить, что при записи уравнения совместности деформаций величину δ необходимо подставлять со знаком “+ “, т.к. знак “ - “ в таблице исходных данных – это лишь условное обозначение того обстоятельства, что длина стержня короче номинальной. В схеме деформации на рис.2.14,б и соответственно в уравнении совместности деформаций (б) это обстоятельство учтено.

4. Синтез. Решаем систему уравнений (а) и (б):

Получаем N₁ = 88,81 кН, N₂ = 51,33 кН.

5. Расчёт на прочность

, .

Напряжения меньше допускаемых (см. табл.2.1), прочность обеспечена.

На основании рассмотренных примеров можно отметить следующие особенности статически неопределимых конструкций, которыми они отличаются от статически определимых:

1. Распределение усилий между элементами статически неопределимых конструкций зависит от жёсткостей этих элементов. Если увеличить жёсткость какого- либо из них, то он примет на себя большее усилие.

2. В статически неопределимых конструкциях при изменении температуры её элементов по сравнению с температурой, при которой осуществлялась сборка конструкций, возникают усилия и напряжения.

3. В элементах статически неопределимых конструкций могут существовать усилия и напряжения при отсутствии внешней нагрузки. Эти усилия и напряжения, называемые начальными (монтажными), появляются при сборке конструкции. Начальные напряжения или создаются с определённой целью (например, затяжка болтов, прессовая посадка, предварительно напряжённый железобетон), или возникают вследствие неточного изготовления отдельных элементов конструкций.

4. В статически неопределимых конструкциях во всех элементах одновременно нельзя получить напряжения, равные допускаемым.

2.6. Механические характеристики материалов

Для оценки прочностной надёжности конструкций необходимо изучить поведение материала в служебных условиях. В соответствии с принятой моделью материала (моделью сплошной среды) мы отказываемся от изучения внутренней микроструктуры материала (поведения кристаллической решетки, развития дислокаций и т.д.) и будем использовать феноменологический (описательный) подход. Такой подход означает, что, не вдаваясь в сущность внутренних процессов, явление (феномен) изучается по его внешним проявлениям. Феноменологический подход определяет необходимость экспериментального изучения механических свойств материалов.

Испытание материалов – это обширная специальная отрасль техники, использующая широкий спектр машин и приборов. Ограничимся лишь кратким описанием некоторых наиболее распространённых видов механи­ческих испытаний.

Испытание, как правило, заключается в изучении поведения образца в процессе деформирования его возрастающей нагрузкой до момента разру­шения. Материалы при этом ведут себя по-разному: одни к моменту разру­шения образца претерпевают значительные деформации, не исчезающие и после разрушения – это пластичные материалы (малоугле­родистая сталь, медь, латунь, алюминиевые и титановые сплавы), другие к моменту разрушения претерпевают весьма малые деформации – это хрупкие материалы (стекло, чугун, инструментальная сталь, неко­торые пластмассы).

2.6.1. Испытание на растяжение малоуглеродистой (мягкой) стали

Основной вид испытания металлов, дающий наиболее полную информацию о механических свойствах, испытание на растяжение. Для него необходимо изготовить стандартные образцы, чаще всего их делают цилиндрическими (рис.2.15). В цилиндрических образцах должно быть выдержано соотношение между расчётной длиной образца ℓ₀ и диаметром d₀: у длинных образцов ℓ₀ = 10d₀ (рис.2.15,а), у коротких ℓ₀ = 5d₀ (рис.2.15,б).

 

а б

Рис. 2.15

Для испытаний на растяжение применяют разрывные машины, позволяющие в процессе испытания записать диаграмму в координатах “нагрузка – абсолютное удлинение”. Характер диаграммы растяжения зависит от свойств испытуемого материала и от скорости деформирования. Типичный вид такой диаграммы для малоуглеродистой стали при статическом приложении нагрузки изображен на рис. 2.16.

Рассмотрим характерные участки и точки этой диаграммы, а также соответствующие им стадии деформирования образца:

ОА – справедлив закон Гука;

АВ – появились остаточные (пластические) деформации;

ВС – пластические деформации растут;

СД – площадка текучести (рост деформации происходит при постоянной нагрузке);

Рис.2.16

ДК – участок упрочнения (материал вновь приобретает способность увеличивать сопротивление дальнейшей деформации и воспринимает возрастающее до некоторого предела усилие);

Точка K – испытание остановили и произвели разгрузку образца;

KN – линия разгрузки;

NKL – линия повторного нагружения образца (KL – участок упрочнения);

LM – участок падения нагрузки, в этот момент на образце появляется так называемая шейка - местное сужение;

Точка M – разрыв образца;

После разрыва образец имеет вид, примерно показанный на рис.2.17. Обломки можно сложить и измерить длину после испытания ℓ₁, а также диаметр шейки d₁.

Рис.2.17

В результате обработки диаграммы растяжения и измерений образца получаем ряд механических характеристик, которые можно разделить на две группы – характеристики прочности и характеристики пластичности.

Характеристики прочности

Предел пропорциональности:

. (2.21)

Наибольшее напряжение, до которого справедлив закон Гука.

Предел текучести:

. (2.22)

Наименьшее напряжение, при котором деформация образца происходит при постоянном растягивающем усилии.

Предел прочности (временное сопротивление):

. (2.23)

Наибольшее напряжение, отмеченное в процессе испытания.

Напряжение в момент разрыва:

. (2.24)

Определяемое таким образом напряжение при разрыве весьма условно и не может быть использовано в качестве характеристики механических свойств стали. Условность состоит в том, что получено оно делением силы в момент разрыва на первоначальную площадь поперечного сечения образца, а не на действительную его площадь при разрыве, которая значительно меньше начальной вследствие образования шейки.

Характеристики пластичности

Напомним, что пластичность – это способность материала деформиро­ваться без разрушения. Характеристики пластичности – деформационные, по­этому определяются по данным измерения образца после разрушения:

∆ℓ_ос = ℓ₁ - ℓ₀ – остаточное удлинение,

– площадь шейки.

Относительное удлинение после разрыва:

. (2.25)

Эта характеристика зависит не только от материала, но и от соотношения размеров образца. Именно поэтому стандартные образцы имеют фиксированное отношение ℓ₀ = 5d₀ или ℓ₀ = 10d₀ и величина δ всегда приводится с индексом – δ₅ или δ₁₀, причём δ₅ > δ₁₀.

 

Относительное сужение после разрыва:

. (2.26)

Удельная работа деформации:

. (2.27)

где А – работа, затраченная на разрушение образца; находится как площадь, ограниченная диаграммой растяжения и осью абсцисс (площадь фигуры OABCDKLMR). Удельная работа деформации характеризует способность материала сопротивляться ударному действию нагрузки.

Из всех полученных при испытании механических характеристик основными характеристиками прочности являются предел текучести σ_т и предел прочности σ_пч, а основными характеристиками пластичности – относительное удлинение δ и относительное сужение ψ после разрыва.

Разгрузка и повторное нагружение

При описании диаграммы растяжения было указано, что в точке К испыта­ние остановили и произвели разгрузку образца. Процесс разгрузки описы­вался прямой KN (рис.2.16), параллельной прямолинейному участку OA диаграммы. Это означает, что удлинение образца ∆ℓ′_П, полученное до на­чала разгрузки, полностью не исчезает. Исчезнувшая часть удлинения на диаграмме изображается отрезком NQ, оставшаяся – отрезком ОN. Следовательно, полное удлинение образца за пределом упругости состоит из двух частей – упругой и остаточной (пластической):

∆ℓ′_П = ∆ℓ′_уп + ∆ℓ′_ос.

Так будет вплоть до разрыва образца. После разрыва упругая составляющая полного удлинения (отрезок ∆ℓ_уп) исчезает. Остаточное удлинение изображается отрезком ∆ℓ_ос. Если же прекратить нагружение и разгрузить образец в пределах участка OB, то процесс разгрузки изобразится линией, совпадающей с линией нагрузки – деформация чисто упругая.

При повторном нагружении образца длиною ℓ₀ + ∆ℓ′_ос линия нагружения практически совпадает с линией разгрузки NK. Предел пропорциональности повысился и стал равным тому напряжению, от которого производилась разгрузка. Далее прямая NK перешла в кривую KL без площадки текучести. Часть диаграммы, расположенная левее линии NK, оказалась отрезанной, т.е. начало координат переместилось в точку N. Таким образом, в результате вытяжки за предел текучести, образец изменил свои механические свойства:

1). повысился предел пропорциональности;

2). исчезла площадка текучести;

3). уменьшилось относительное удлинение после разрыва.

Такое изменение свойств называется наклёпом.

При наклёпе повышаются упругие свойства и понижается пластичность. В некоторых случаях (например, при механической обработке) явление наклёпа нежелательно и его устраняют термообработкой. В других случаях его создают искусственно для улучшения упругости деталей или конструкций (обработка дробью рессор или вытяжка тросов грузоподъёмных машин).

Диаграммы напряжений

Чтобы получить диаграмму, характеризующую механические свойства материала, первичную диаграмму растяжения в координатах Р – ∆ℓ перестраивают в координатах σ – ε. Так как ординаты σ = Р/F и абсциссы ε = ∆ℓ/ℓ получают делением на постоянные, диаграмма имеет такой же вид, как и первоначальная (рис. 2.18,а).

 

а б

Рис.2.18

Из диаграммы σ – ε видно, что

, (2.28)

т.е. модуль нормальной упругости равен тангенсу угла наклона прямолинейного участка диаграммы к оси абсцисс.

По диаграмме напряжений удобно определять так называемый условный предел текучести. Дело в том, что большинство конструкционных материалов не имеет площадки текучести – прямая линия плавно переходит в кривую. В этом случае за величину предела текучести (условного) принимается напряжение, при котором относительное остаточное удлинение равно 0,2%. На рис. 2.18,б показано, как определяется величина условного предела текучести σ_0,2. Предел текучести σ_т, определяемый при наличии площадки текучести, часто называют физическим.

Нисходящий участок диаграммы носит условный характер, поскольку действительная площадь поперечного сечения образца после образования шейки значительно меньше первоначальной площади, по которой определяются координаты диаграммы. Можно получить истинное напряжение, если величину силы в каждый момент времени P_t делить на действительную площадь поперечного сечения в этот же момент времени F_t:

. (2.29)

На рис. 2.18,а, этим напряжениям соответствует штриховая линия. До предела прочности S и σ практически совпадают. В момент разрыва истинное напряжение значительно превышает и предел прочности σ_пч и тем более напряжение в момент разрыва σ_р. Выразим площадь шейки F₁ через ψ и найдем S_р.

Þ Þ .

Для пластичной стали ψ = 50 – 65%. Если принять ψ = 50% = 0,5, то получим S_р = 2σ_р, т.е. истинное напряжение наибольшее в момент разрыва, что вполне логично.

2.6.2. Испытание на сжатие различных материалов

Испытание на сжатие дает меньше информации о свойствах материала, чем испытание на растяжение. Тем не менее, оно совершенно необходимо для характеристики механических свойств материала. Осуществляется на образцах в виде цилиндров, высота которых не более 1,5 диаметра, или на образцах в виде кубиков.

Рассмотрим диаграммы сжатия стали и чугуна. Для наглядности изобразим их на одном рисунке с диаграммами растяжения этих материалов (рис.2.19). В первой четверти – диаграммы растяжения, а в третьей – сжатия.

Рис.2.19

В начале загружения диаграмма сжатия стали – наклонная прямая с таким же наклоном, как и при растяжении. Потом диаграмма переходит в участок текучести (площадка текучести выражена не так отчетливо, как при растяжении). Далее кривая слегка изгибается и не обрывается, т.к. стальной образец не разрушается, а только сплющивается. Модуль упругости стали Е при сжатии и растяжении одинаков. Также одинаковы и предел текучести σ_т⁺ = σ_т^-. Предел прочности при сжатии получить невозможно, как и невозможно получить характеристики пластичности.

Диаграммы растяжения и сжатия чугуна по форме похожи: искривляются с самого начала и по достижении максимальной нагрузки обрываются. Однако на сжатие чугун работает лучше, чем на растяжение (σ_пч^- = 5 σ_пч⁺). Предел прочности σ_пч – это единственная механическая характеристика чугуна, получаемая при испытании на сжатие.

Трение, возникающее во время испытания между плитами машины и торцами образца, оказывает существенное влияние на результаты испытания и на характер разрушения. Цилиндрический стальной образец принимает бочкообразную форму (рис. 2.20,а), в чугунном кубике возникают трещины под углом 45⁰ к направлению нагрузки. Если исключить влияние трения, смазав торцы образца парафином, трещины возникнут по направлению нагрузки и наибольшая сила будет меньше (рис.2.20,б и в). Большинство хрупких материалов (бетон, камень) разрушается при сжатии так же, как чугун, и имеет аналогичную диаграмму сжатия.

а б в г д

Рис.2.20

Представляет интерес испытание древесины – анизотропного, т.е. обладающего различной прочностью в зависимости от направления силы по отношению к направлению волокон, материала. Анизотропными являются и все более широко применяемые стеклопластики. При сжатии вдоль волокон древесина значительно прочнее, чем при сжатии поперек волокон (кривые 1 и 2 на рис.2.21). Кривая 1 похожа на кривые сжатия хрупких материалов. Разрушение происходит вследствие сдвига одной части кубика относительно другой (рис.2.20,г). При сжатии поперек волокон древесина не разрушается, а прессуется (рис. 2.20,д).

Рис.2.21

При испытании на растяжение стального образца мы обнаружили изменение механических свойств в результате вытяжки до появления заметных остаточных деформаций – наклёп. Посмотрим, как ведет себя образец после наклёпа при испытании на сжатие. На рис.2.19 диаграмма показана пунктиром. Сжатие идет по кривой NC₂L₂, которая располагается выше диаграммы сжатия образца, не подвергавшегося наклёпу OC₁L₁, и почти параллельно последней. После наклёпа растяжением пределы пропорциональности и текучести при сжатии уменьшаются. Это явление называется эффектом Баушингера по имени учёного, впервые его описавшего.

2.6.3. Определение твёрдости

Очень распространённым механико-технологическим испытанием является определение твёрдости. Это обусловлено быстротой и простотой таких испытаний и ценностью получаемой информации: твёрдость характеризует состояние поверхности детали до и после технологической обработки (закалки, азотирования и т.п.), по ней можно косвенно судить о величине предела прочности.

Твёрдостью материала называется способность оказывать сопротивление механическому проникновению в него другого, более твёрдого тела. Величины, характеризующие твёрдость, называют числами твёрдости. Определяемые разными методами, они различны по величине и по размерности и всегда сопровождаются указанием способа их определения.

Наиболее распространённый метод – по Бринеллю. Испытание заключается в том, что в образец вдавливают стальной закалённый шарик диаметра D (рис.2.22,а). Шарик выдерживается некоторое время под нагрузкой P, в результате чего на поверхности остается отпечаток (лунка) диаметром d. Отношение нагрузки в кН к площади поверхности отпечатка в см² называется числом твёрдости по Бринелю

. (2.30)

Для определения числа твёрдости по Бринелю используют специальные испытательные приборы, диаметр отпечатка измеряется портативным микроскопом. Обычно HB не считают по формуле (2.30) , а находят из таблиц.

а б

Рис.2.22

Пользуясь числом твёрдости HB, можно без разрушения образца получить приближённое значение предела прочности некоторых металлов, т.к. существует линейная связь между σ_пч и HB: σ_пч = k ∙ HB (для малоуглеродистой стали k = 0,36, для высокопрочной стали k = 0,33, для чугуна k = 0,15, для алюминиевых сплавов k = 0,38, для титановых сплавов k = 0,3).

Весьма удобен и широко распространён метод определения твердости по Роквеллу. В этом способе в качестве индентора, вдавливаемого в образец, используется алмазный конус с углом при вершине 120 градусов и радиусом закругления 0,2 мм, или стальной шарик диаметром 1,5875 мм (1/16 дюйма). Испытание происходит по схеме, приведённой на рис. 2.22,б. Сначала конус вдавливается предварительной нагрузкой P₀ = 100 H, которая не снимается до конца испытания. При этой нагрузке конус погружается на глубину h₀. Затем на конус подается полная нагрузка P = P₀ + P₁ (два варианта: A – P₁ = 500 H и C – P₁ = 1400 H), при этом глубина вдавливания увеличивается. После снятия основной нагрузки P₁ остается глубина h₁. Глубина отпечатка, полученная за счёт основной нагрузки P₁, равная h = h₁ – h₀, характеризует твердость по Роквеллу. Число твёрдости определяется по формуле

, (2.31)

где 0,002 – цена деления шкалы индикатора твердомера.

Существуют и другие методы определения твёрдости (по Виккерсу, по Шору, микротвёрдость), которые здесь не рассматриваются.

2.6.4. Сравнение свойств различных материалов

Мы уже подробно рассмотрели свойства пластичного и хрупкого материалов – малоуглеродистой стали и серого чугуна - при растяжении и сжатии. Продолжим это сравнение – рассмотрим диаграммы растяжения некоторых металлов (рис.2.23).

Рис.2.23

Все показанные на рисунке стали –40, Ст6, 25ХНВА, марганцовистая – имеют гораздо более высокие характеристики прочности, чем малоуглеродистая сталь Ст3. Площадка текучести у высокопрочных сталей отсутствует, относительное удлинение при разрыве δ значительно меньше. За повышение прочности приходится платить понижением пластичности. Хорошей пластичностью обладают алюминиевый и титановый сплавы. При этом прочность алюминиевого сплава выше, чем у Ст3, а удельный вес почти в три раза меньше. А титановый сплав имеет прочность на уровне высокопрочной легированной стали при почти в два раза меньшем удельным весе. В табл.2.4 приведены механические характеристики некоторых современных материалов.

Таблица 2.4

Материал	Марка	Предел текучести, σт	Предел прочности, σпч	Относит. удлинение при разрыве, δ5	Относит сужение при разрыве, ψ	Удельный вес, γ	Модуль Юнга, E
		кН/см2	кН/см2	%	%	Н/см3	кН/см2
Сталь углеродистая горячекатаная	Ст3		34-42			0,0785	2·104
Сталь углеродистая горячекатаная	СТ6		60-72			0,0785	2·104
Сталь углеродистая качественная						0,0785	2·104
Сталь легированная хромникельвольфрамовая	25ХНВА					0,082	2,1·104
Сталь легированная кремнехроммарганцовистая	35ХГСА					0,09	2,1·104
Чугун	СЧ24-44	-		-	-	0,072	1,5·104
Алюминиевый сплав	Д16Т				-	0,028	0,7·104
Бронза кремнистая	БрК-3	-			-	0,085	1,1·104
Титановый сплав	ВТ4				-	0,045
Стеклопластик	СВАМ	-			-	0,019	0,4·104
Углепластик	КЕВЛАР			-	-	0,017	3·104

В последних двух строчках таблицы приведены характеристики полимерных композиционных материалов, отличающихся малым весом и высокой прочностью. Особо выдающимися свойствами отличаются композиты на основе суперпрочных углеродных волокон – прочность их примерно в два раза выше прочности самой лучшей легированной стали и на порядок – малоуглеродистой стали. Они жестче стали в полтора раза и легче почти в пять раз. Применяются, конечно, в военной технике – авиа- и ракетостроении. В последние годы начинают применяться и в гражданских областях – автомобилестроении (кузова, тормозные диски, выхлопные трубы гоночных и дорогих спортивных машин), судостроении (корпуса катеров и малых судов), медицине (инвалидные коляски, детали протезов), машиностроении для спорта (рамы и колеса гоночных велосипедов и другой спортивный инвентарь). Широкому применению этого материала пока препятствует его высокая стоимость и низкая технологичность.

Резюмируя все вышесказанное о механических свойствах различных материалов, можно сформулировать основные особенности свойств пластичных и хрупких материалов.

1. Хрупкие материалы, в отличие от пластичных, разрушаются при незначительных остаточных деформациях.

2. Пластичные материалы одинаково сопротивляются растяжению и сжатию, хрупкие – хорошо сжатию и плохо растяжению.

3. Пластичные материалы хорошо сопротивляются ударным нагрузкам, хрупкие – плохо.

4. Хрупкие материалы очень чувствительные к так называемой концентрациинапряжений (локальным всплескам напряжений вблизи мест резкого изменения формы деталей). На прочность деталей из пластичного материала концентрация напряжений влияет в гораздо меньшей степени. Более подробно об этом – чуть ниже.

5. Хрупкие материалы не поддаются технологической обработке, связанной с пластической деформацией – штамповке, ковке, волочению и т.п.

Деление материалов на пластичные и хрупкие носит условный характер, так как при некоторых условиях хрупкие материалы получают пластические свойства (например, при большом всестороннем сжатии) и, наоборот, пластичные материалы приобретают хрупкие свойства (например, мягкая сталь при низкой температуре). Поэтому правильнее говорить не о пластичном и хрупком материалах, а об их пластическом и хрупком разрушении.

2.7. Допускаемые напряжения

Как уже указывалось, детали машин и других конструкций должны удовлетворять условиям прочности (2.3) и жёсткости (2.13). Величина допускаемых напряжений устанавливается в зависимости от материала (его механических характеристик), вида деформации, характера действия нагрузок, условий работы конструкций и тяжести последствий, которые могут наступить в случае разрушения:

, (2.32)

где σ_ОП – напряжение, соответствующее наступлению опасного состояния для данного материала; n – коэффициент запаса прочности, n > 1.

Для деталей, выполненных из пластичного материала, опасное состояние характеризуется появлением больших остаточных деформаций, поэтому опасное напряжение равно пределу текучести σ_оп = σ_т.

Для деталей, изготовленных из хрупкого материала, опасное состояние характеризуется появлением трещин, поэтому опасное напряжение равно пределу прочности σ_оп = σ_пч.

Все перечисленные выше условия работы деталей учитываются коэффициентом запаса прочности. При любых условиях имеют место некоторые общие факторы, учитываемые коэффициентом запаса прочности:

1. Неоднородность материала, следовательно, разброс механических характеристик;

2. Неточность задания величин и характера внешних нагрузок;

3. Приближённость расчётных схем и методов расчёта.

На основании данных длительной практики конструирования, расчёта и эксплуатации машин и сооружений величина коэффициента запаса прочности для стали принимается равной 1,4 – 1,6. Для хрупких материалов при статической нагрузке принимают запас прочности 2,5 – 3,0. Итак, для пластичных материалов:

. (2.33)

Для хрупких материалов

. (2.34)

При сравнении свойств пластичных и хрупких материалов отмечалось, что на прочность влияет концентрация напряжений. Теоретические и экспериментальные исследования показали, что равномерное распределение напряжений по площади поперечного сечения растянутого (сжатого) стержня в соответствии с формулой (2.2) нарушается вблизи мест резкого изменения формы и размера поперечного сечения – отверстий, галтелей, выкружек и др. Около этих мест возникают локальные всплески напряжений – концентрация напряжений.

Для примера рассмотрим концентрацию напряжений в растягиваемой полосе с малым отверстием. Отверстие считается малым, если выполняется условие d ≤ b/5 (рис.2.27,а). При наличии концентрации напряжение определяется по формуле:

σ_max = α_σ∙ σ_nom. (2.35)

где α_σ – коэффициент концентраций напряжений, определяемый методами теории упругости или экспериментально на моделях;

σ_nom – номинальное напряжение, т.е. напряжение, вычисленное для данной детали при отсутствии концентрации напряжений.

Для рассматриваемого случая (α_σ = 3 и σ_nom = N/F) эта задача является в известном смысле классической задачей о концентрации напряжений и называется по имени решившего её в конце XIX века учёного задачей Кирша.

Рассмотрим, как поведет себя полоса с отверстием по мере увеличения нагрузки. В пластичном материале максимальное напряжение у отверстия станет равным пределу текучести (рис.2.27,б). Концентрация напряжений всегда очень быстро затухает, поэтому уже на небольшом удалении от отверстия напряжение гораздо меньше. Увеличим нагрузку (рис.2.27,в): напряжение у отверстия не увеличивается, т.к. пластичный материал имеет довольно протяжённую площадку текучести, уже на некотором удалении от отверстия напряжение становится равным пределу текучести.

а б в г

Рис.2.27

Дальнейшее увеличение нагрузки (рис.2.27,г) приводит к распространению текучести на все ослабленное сечение – наступает опасное (предельное) состояние. Причем, это предельное состояние совершенно не отличается от такового для полосы без отверстия. Вывод – пластичный материал (мягкая малоуглеродистая сталь) не чувствителен к концентрации напряжений при статической нагрузке.

В хрупком материале распределение напряжений в начале нагружения не отличается от такового в пластичном материале (рис.2.27,а). Нагрузка растёт до тех пор, пока напряжение на границе отверстия не станет равным пределу прочности. И хотя на небольшом удалении от отверстия напряжение гораздо меньше, это состояние является опасным (предельным), т.к. на поверхности отверстия появились трещины. Эти трещины растут очень быстро при постоянной нагрузке и наступает момент разрушения полосы. Вывод – хрупкий материал очень чувствителен к концентрации напряжений. Поэтому коэффициент запаса прочности принимается равным n = 3,0 – 9,0.

При циклических и динамических напряжениях пластичные стали чувствительны к концентрации напряжений. Ориентировочные величины основных допускаемых напряжений на растяжение и сжатие при статической нагрузке приведены в табл.2.5.

Таблица 2.5

Материал	Допускаемое напряжение, МПа
растяжение	сжатие
Сталь Ст3
Сталь машиностроительная углеродистая	160-250
Сталь машиностроительная легированная	200-400 и выше
Чугун серый в отливках	28-80	120-150
Латунь	70-140
Алюминиевый сплав	80-150
Сосна вдоль волокон	7-10	10-12
Кирпичная кладка	до 0,2	0,6-2,5
Бетон	0,1-0,7	1-9

2.8. Потенциальная энергия упругой деформации

Потенциальной энергией деформации называется энергия, которая накапливается в теле при его упругой деформации. При этом точка приложения внешней силы перемещается, потенциальная энергия положения груза убывает на величину, которая численно равна работе, совершённой внешней силой. Таким образом, потенциальная энергия упругой деформации U равна работе внешней силы А. Найдём величину А (рис.2.28).

Рис.2.28

Внешняя сила P_t растёт от нуля до конечного значения Р. Соответственно и деформация ∆ℓ_t растёт от нуля до конечного значения ∆ℓ. Пусть некоторой растягивающей силе P₁ соответствует деформация ∆ℓ₁. Дадим силе бесконечно малое приращение dP₁, при этом деформация получит приращение d∆ℓ₁. Очевидно, работа внешней силы на этом перемещении

dA = (P₁ + dP₁)d∆ℓ₁ ≈ P₁∙ d∆ℓ₁,

dA равна площади заштрихованной фигуры.

,

.

Теперь найдём работу внешней силы:

.

Итак, потенциальная энергия упругой деформации

. (2.36)

Если поделить U на объём образца Fℓ, получим удельную потенциальную энергию упругой деформации

. (2.37)

Потенциальная энергия деформации накапливается в обратимой форме – в процессе разгрузки тела она освобождается, превращаясь снова в энергию внешних сил и совершая работу. Таким образом, упругое тело – это аккумулятор энергии.

Глава 3. НАПРЯЖЁННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ

СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

3.1. Компоненты напряжений. Виды напряжённых состояний

Центральное растяжение или сжатие бруса является самым простым видом деформации тела, когда напряжение во всех его точках одинаково (однородное напряжённое состояние). В произвольным образом нагруженном теле (рис.3.1,а) напряжение меняется от точки к точке и поэтому в произвольном сечении m-n этого тела напряжения распределены неравномерно. В этом случае при изучении распределения напряжений в окрестности произвольной точки K рассматриваемого сечения m-n мысленно вырезают бесконечно малый параллелепипед (рис.3.1,б). Ввиду его малости можно считать, что по граням напряжения распределены равномерно. На рис.3.1,в показаны напряжения, действующие по граням бесконечно малого параллелепипеда.

а б в

Рис.3.1

σ_х – нормальное напряжение, действующее по направлению оси x; положительное при растяжении, отрицательное при сжатии;

τ_ху – касательное напряжение, действующее по площадке с нормалью х (первый индекс) в направлении оси у (второй индекс); положительно, если стремится развернуть элемент по часовой стрелке (глядя со стороны положительного направления оси).

На рис.3.1,в нормальные напряжения σ_х, σ_у и σ_z положительные, касательные напряжения τ_ху < 0, τ_ух > 0. Под действием приложенных к нему напряжений элемент должен находиться в равновесии, следовательно, для него можно записать уравнения статики. Покажем напряжения, дающие момент относительно оси OZ (рис.3.2) и запишем соответствующее уравнение статики:

∑ M_oz = 0: ; (3.1)

τ_ух = τ_ху..

Рис.3.2

Учитывая правило знаков, перепишем формулу (3.1)

– τ_ху = τ_ух, – τ_zx = τ_xz, – τ _zy = τ_yz. (3.2)

Формула (3.2) выражает закон парности касательных напряжений: на любых взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения с одноимёнными индексами равны по величине и вращают элемент в противоположные стороны.

Таким образом, шесть независимых компонентов напряжений σ_х, σ_у, σ_z, τ_ху, τ_ух, τ_zx – характеризуют напряжённое состояние в точке.

Напряжённым состоянием в точке называется совокупность напряжений, действующих по всевозможным площадкам, проведённым через эту точку.

При повороте бесконечно малого параллелепипеда меняются компоненты напряжённого состояния. Всегда можно найти такое его положение, что по граням (площадкам) параллелепипеда будут действовать только нормальные напряжения. Такие площадки называются главными, а нормальные напряжения, по ним действующие, называются главными нормальными напряжениями (рис.3.3).

Рис.3.3

Это положение доказывается в теории упругости. Главные нормальные напряжения принято обозначать цифровыми индексами по следующему правилу: σ₁ > σ₂ > σ₃. Соблюдение этого правила важно с точки зрения расчёта на прочность. Например: три главных напряжения имеют значения 120 МПа, – 50МПа и – 30 МПа; их надо записать σ₁ = 120 МПа, σ₂ = – 30 МПа и σ₃ = – 50 МПа.

Напряжённое состояние в точке классифицируется на три вида: линейное (одноосное), плоское (двухосное) и объёмное (трёхосное) в зависимости от того, испытывает ли параллелепипед растяжение (сжатие) в одном, двух или трёх взаимно перпендикулярных направлениях (рис.3.4).

 

а б в

Рис.3.4

3.2. Линейное напряжённое состояние

Линейное напряжённое состояние имеет место в стержнях, испытывающих растяжение или сжатие, а также в некоторых точках стержня, работающего на изгиб. Рассмотрим растяжение стержня. Как указывалось в главе 2, в поперечных сечениях, удалённых от точек приложения внешних сил, нормальные напряжения распределены равномерно и равны (рис.3.5,а)

. (3.3)

Эти напряжения являются главными, т.к. касательные напряжения в поперечном сечении равны нулю. Напряжённое состояние при растяжении является однородным, поэтому размеры выделяемых элементов не играют никакой роли. Определим напряжения, действующие по наклонной площадке. Наклон площадки определяется острым углом α между направлением оси стержня и нормалью n_α к площадке. Условимся считать угол α положительным, если он отсчитывается против часовой стрелки (рис.3.5,а). Элемент, находящийся в линейном напряжённом состоянии, изображаем в виде плоской фигуры, помня, однако, что в действительности он имеет вид, показанный на рис.3.4,а.

Рассмотрим равновесие нижней части стержня, отсечённой наклонной площадкой (рис.3.5,б). По наклонной площадке, площадь которой равна F_α, равномерно распределены напряжения p_α, параллельные осевой силе N = P, следовательно, результирующая этих напряжений

p_αF_α = N.

Отсюда найдём p_α, подсчитав предварительно ,

.

Проектируя p_α на нормаль n_α и на плоскость сечения, получим выражения для нормальных и касательных напряжений по наклонной площадке:

σ_α = p_αcos α, τ_α = p_αsin α

или

σ_α = σ₁cos²α. (3.4)

. (3.5)

а б в

Рис.3.5

Как видно из формул (3.4) и (3.5), при α = 0 ® τ_α = 0 и σ_α = σ₁, при α = π/2 ® σ_α = 0 и τ_α = 0. Таким образом, при растяжении действительно имеет место линейное напряжённое состояние: σ₁ = N/F, σ₂ = σ₃ = 0. При сжатии σ₃ = – N/F, σ₁ = σ₂ = 0.

Из выражения (3.5) видно, что касательные напряжения достигают своей наибольшей величины при α = ± 45⁰, причём

. (3.6)

Определим теперь напряжения, действующие по площадке, перпендикулярной заданной наклонной, α₁ = α + 90⁰ (рис.3.5,в):

σ_α1 = σ₁ ∙ cos² (α + 90) = σ₁sin² α,

.

Итак

σ_α+90 = σ₁sin² α. (3.7)

. (3.8)

3.3. Плоское напряжённое состояние

Плоское напряжённое состояние встречается в деталях машин и в строительных конструкциях очень часто. Например, это стержень при кручении (рис.3.6,а) и изгибе (рис.3.6,б), тонкостенный сосуд под действием внутреннего давления (рис.3.6,в).

а б в

Рис.3.6

Плоское напряжённое состояние также имеет место в тонкой пластине, нагруженной силами, параллельными её плоскости и равномерно распределёнными по толщине (рис.3.7): σ_х ≠ 0, σ_у ≠ 0, τ_ху ≠ 0, σ_z = τ_zx = τ_zy = 0.

Рассмотрим два аспекта задачи о плоском напряжённом состоянии: найдём напряжения, действующие по наклонной площадке (прямая задача), и найдём величины и направления главных напряжений (обратная задача).

Рис.3.7

3.3.1. Прямая задача

Дано: напряжения σ_х, σ_у, τ_ху, угол α > 0 (рис.3.8,а).

Определить: напряжения σ_α и τ_α (рис.3.8,б).

Рассмотрим равновесие элемента abc. При записи уравнений статики будем определять силу как произведение напряжения на площадь соответствующей грани:

площадь наклонной грани bc = dF;

площадь прямой грани ab = dF ∙ cos α;

площадь прямой грани ac = dF ∙ sin α.

 

а б в

Рис.3.8

Теперь запишем уравнения проекций всех сил, действующих на элемент abc, на нормаль к наклонной площадке и на ось, совпадающую с этой площадкой (рис.3.8,в).

∑n = 0: σ_αdF – σ_x dF cos α ∙ cos α – σ_у dF sin α ∙ sin α + τ_xу dF cos α ∙ sin α + τ_ух dF sin α ∙ cos α = 0,

∑t = 0: τ_αdF + σ_у dF sin α ∙ cos α + τ_уx dF sin α ∙ sin α – τ_xу dF cos α ∙ cos α – σ_х dF cos α ∙ sin α = 0.

После несложных преобразований и сокращения на dF получаем следующие выражения:

σ_α = σ_х cos²α + σ_y sin²α – τ_xy sin 2α , (3.9)

. (3.10)

Рис.3.9

Если исходные площадки являются главными (рис.3.9), то формулы (3.9) и (3.10) упрощаются: σα = σ1cos2α + σ2sin2, (3.11) . (3.12) Из формулы (3.12) следует, что наибольшее касательное напряжение

действует по площадке, наклонённой под углом 45⁰ к главным площадкам:

. (3.13)

Преобразуем формулу (3.9), используя выражение для тригонометрических функций

и .

Получим

. (3.14)

Теперь определим напряжения, действующие по площадке, перпендикулярной к заданной: α₁ = α + 90⁰. Воспользуемся формулой (3.14), учитывая, что cos 2α₁ = – cos 2α и sin 2α₁ = – sin 2α. Получим

. (3.15)

Сложим (3.14) и (3.15), чтобы найти сумму нормальных напряжений, действующих по взаимно перпендикулярным площадкам.

Получим

σ_α + σ_{α + 90} = σ_х + σ_у = const, (3.16)

т.е. сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам инвариантна по отношению к наклону этих площадок.

3.3.2. Обратная задача

Дано: напряжения σ_х, σ_у, τ_ху (рис.3.8,а).

Определить: положение главных площадок и величины главных напряжений σ₁ и σ₂.

По определению на главных площадках τ_α = 0. Из формулы (3.10) найдём угол α₀ между осью х и одним из главных напряжений.

,

. (3.17)

Величины главных напряжений можно найти по формулам (3.14) и (3.15), подставив в них α₀. Удобнее иметь формулы для главных напряжений, не зависящие от углов и тригонометрических функций. Для вывода используем зависимости косинуса и синуса двойного угла от тангенса

, .

Подставим их в формулу (3.14):

. (*)

Теперь в выражение (*) подставим tg 2α₀ по формуле (3.17) и получим значение большего главного напряжения

.

Второе главное напряжение получим, используя формулу (3.15). В результате выражение для главных напряжений при плоском напряжённом состоянии имеет следующий вид:

. (3.18)

Для определения σ_max после первого слагаемого ставим «+», а для определения σ_min ставим «–». Следует обратить внимание на то, что если одно из главных напряжений, вычисленных по формуле (3.18), окажется отрицательным, то их следует обозначить σ₁ и σ₃. Если же оба главных напряжений окажутся отрицательными, то σ₂ и σ₃; оба положительными, то σ₁ и σ₂.

Главные напряжения обладают свойством экстремальности – одно из них наибольшее, другое – наименьшее из всех возможных в данной точке тела (помним о том, что сумма нормальных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках постоянна). Для доказательства исследуем на экстремум функцию σ_α (формула 3.9). Продифференцируем её и приравняем производную нулю.

®

® – 2τ_xy cos 2α = (σ_x – σ_y)sin 2α ® .

Площадки, характеризуемые этими углами, являются главными в соответствии с формулой (3.17).

3.4. Объёмное напряжённое состояние. Общие понятия

Объёмное напряжённое состояние встречается реже, чем плоское. Пример – толстостенный сосуд давления (рис.3.10). Подробным образом изучают объёмное напряжённое состояние в курсе теории упругости, в сопротивлении материалов – только основные понятия.

Рис.3.10

Рассмотрим объёмное напряжённое состояние, заданное главными напряжениями (рис.3.11).

Рис.3.11

Напряжения, действующие по наклонной площадке с нормалью n, находятся по формулам

σ_α = σ₁cos²α₁ + σ₂cos²α₂ + σ₃cos²α₃, (3.19)

. (3.20)

Эти формулы приведены без вывода. В них α₁, α₂, α₃ – углы, которые образуют нормаль к площадке n с осями x, y, z соответственно.

Если наклонная площадка параллельна одному из главных напряжений, то напряжения, по ней действующие, не зависят от этого главного напряжения. Они определяются по формулам плоского напряженного состояния в зависимости от двух других главным напряжений. Учитывая, что главные напряжения экстремальные, т.е. σ₁ = σ_max и σ₃ = σ_min, легко найти наибольшее касательное напряжение. Очевидно, оно действует по площадке, параллельной σ₂ и наклоненной под углом 45⁰ к σ₁ и σ₃ (рис.3.12). Определяется формулой (3.13)

. (3.21)

Рис.3.12

Известный интерес, особенно при изучении пластических деформаций, представляют напряжения, действующие по площадке, равнонаклонённой ко всем главным направлениям. Такая площадка называется октаэдрической, поскольку она параллельна грани октаэдра, который может быть образован из куба. Нормаль к этой площадке образует равные углы с главными направлениями:

α₁ = α₂ = α₃ = α.

Учитывая, что всегда

cos²α₁ + cos²α₂ + cos²α₃ = 1_,

Получаем

cos²α = ⅓.

Тогда из формул (3.19) и (3.20) находим

, (3.22)

. (3.23)

При изучении вопросов прочности деформация бесконечно малого элемента разделяется на деформацию изменения объёма и деформацию искажения формы. Оказывается, что σ_окт «ответственно» за изменение объёма, а τ_окт – за изменение формы.

Напряжение σ_окт представляет собой среднее напряжение для данного объемного напряженного состояния, σ_окт = σ_ср

3.5.Деформации при объёмном напряжённом состоянии.

Закон Гука

3.5.1. Обобщённый закон Гука

Исследуя деформации и рассматривая вопросы прочности при объёмном и плоском напряжённом состояниях, будем в соответствии с основными гипотезами предполагать, что материал следует закону Гука, а деформации малы.

Изучая центральное растяжение (сжатие) прямого бруса, мы выяснили, что при линейном напряжённом состоянии бесконечно малый элемент испытывает продольную и поперечную деформации, связанные с напряжением формулами (2.9) и (2.7);

, . (3.24)

Напомним, что Е – модуль нормальной упругости и ν - коэффициент Пуассона – упругие постоянные материала.

Рассмотрим деформацию элемента, находящегося в объёмном напряжённом состоянии (рис.3.13,а). Определим относительные деформации в главных направлениях ε₁, ε₂ и ε₃. Применяя принцип суперпозиции, можно записать

ε₁ = ε₁₁ + ε₁₂ + ε₁₃.

где ε₁₁ – относительное удлинение в направлении σ₁, вызванное действием только σ₁ (рис. 3.13,б);

ε₁₂ – удлинение в том же направлении, вызванное действием только σ₂ (рис. 3.13,в);

ε₁₃ – удлинение в том же направлении, вызванное действием только σ₃ (рис. 3.13,г).

Поскольку направление σ₁ для самого напряжения σ₁ является продольным, а для напряжений σ₂ и σ₃ – поперечным, то по формулам (3.24) находим

, , .

Сложив эти величины, будем иметь

.

а б в

г

Рис.3.13

Аналогично получим выражения и для двух других главных удлинений. В результате

(3.25)

Формулы (3.25) носят название обобщённого закона Гука для изотропного тела. Заметим, что сжимающие напряжения подставляют в эти формулы со знаком минус. Из формул (3.25) легко можно получить закон Гука для плоского напряжённого состояния. Например, для случая σ₂ = 0

(3.26)

Подчеркнём, что равенство нулю напряжения σ₂ не означает, что ε₂ также равно нулю. Например, при растяжении пластинки в её плоскости по второй формуле (3.26) можно определить уменьшение толщины пластинки.

Выражения (3.25) справедливы не только для главных деформаций, но и для относительных линейных деформаций по любым трём взаимно перпендикулярным направлениям, поскольку при малых деформациях влияние сдвига от действия касательных напряжений на линейную деформацию представляет собой величину второго порядка малости. Иными словами, индексы «1», «2» и «3» могут быть заменены на индексы х, у и z.

3.5.2. Относительная объёмная деформация

Установим связь между относительным изменением объёма элементарного параллелепипеда и главными напряжениями. До деформации размеры сторон были dx, dy и dz (рис.3.14,а). После деформации эти размеры стали dx + ∆dx, dy + ∆dy и dz + ∆dz (рис.3.14,б).

а б

Рис.3.14

Начальный объём параллелепипеда V₀ = dx∙dy∙dz. Объём после деформации V₁ = (dx + ∆dx)(dy + ∆dy)(dz + ∆dz).

Найдём абсолютное изменение объёма параллелепипеда:

. (а)

В скобках выражения (а) содержатся относительные удлинения

, , .

Произведя в выражении (а) перемножение величин, стоящих в скобках, получим

∆V = V₀ ∙ (1 + ε₁ + ε₂ + ε₃ + ε₁ε₂ + ε₂ε₃ + ε₁ε₃ + ε₁ε₂ε₃) – V₀.

Учитывая малость относительных деформаций, произведением их можно пренебречь. Тогда относительное изменение объёма

. (3.27)

Выразив главные удлинения через главные напряжения при помощи формул обобщённого закона Гука (3.25), получим:

. (3.28)

Формулу (3.28) перепишем в несколько ином виде, с учётом (3.22)

σ₁ + σ₂ + σ₃ = 3σ_окт = 3σ_ср.

Тогда

(3.29)

или

σ_ср = K ∙ θ, (3.30)

где

. (3.31)

Величина К называется модулем объёмной деформации. Формула (3.30) представляет собой компактную, отличную от (3.25), формулу записи обобщённого закона Гука. Она удобна ещё и тем, что совпадает по структуре с законом Гука при линейном напряжённом состоянии (σ = Еε).

Из формулы (3.28) видно, что при деформации тела, материал которого имеет коэффициент Пуассона ν = 0,5 (например, резина или сталь в пластичном состоянии) объём тела не меняется. Материал ведёт себя как несжимаемая жидкость.

Из формулы (3.28) также следует, что коэффициент Пуассона не может быть больше 0,5. Действительно, при равномерном всестороннем сжатии (гидростатическом давлении) σ_ср = – р. И если материал будет иметь ν > 0,5, тело увеличит свой объём, что невозможно. Опыты подтверждают это положение: в природе не существует материала с коэффициентом Пуассона, большим 0,5.

3.6. Потенциальная энергия упругой деформации

Как отмечалось выше (см. п. 2.8), в процессе упругой деформации в теле накапливается потенциальная энергия, равная работе внешних сил. При осевом растяжении (линейном напряжённом состоянии) удельная потенциальная энергия (т.е. энергия, приходящаяся на единицу объёма) определяется по формуле (2.37)

.

В общем случае объёмного напряженного состояния

. (3.32)

Подставив значения ε по формуле (3.25), получим

. (3.33)

Экспериментальные исследования показали, что прочность материала зависит не только от величины компонентов напряжений, но и от характера напряжённого состояния. Так, большинство твёрдых тел противостоит без разрушения действию очень большого всестороннего давления – при этом изменяется объём бесконечно малого элемента. И наоборот, те же тела разрушаются при сравнительно невысоких напряжениях, если эти напряжения изменяют форму элемента. Поэтому полную потенциальную энергию упругой деформации, определяемую по формуле (3.33), представляют в виде суммы двух составляющих:

u = u₀ + u_ф, (3.34)

где u₀ – удельная потенциальная энергия изменения объёма, т.е. энергия, накапливаемая за счёт изменения объёма;

u_ф – удельная потенциальная энергия формоизменения, т.е. энергия, накапливаемая вследствие изменения формы элемента.

Для определения этих составляющих заданное напряжённое состояние представим в виде суммы двух напряжённых состояний (рис.3.15): изменяющего объём элементарного кубика (гидростатическое растяжение одинаковыми средними напряжениями) и изменяющего форму кубика.

Рис. 3.15

Чтобы найти u₀, в формулу (3.33) подставим σ₁ = σ₂ = σ₃ = σ_ср и получим:

. (3.35)

Подставив в (3.35) значение σ_ср = (σ₁ + σ₂ + σ₃)/3, получим окончательное выражение для удельной потенциальной энергии изменения объёма

. (3.36)

Удельную потенциальную энергию формоизменения найдём простым вычитанием:

u_ф = u – u₀.

Необходимо из (3.33) вычесть (3.36):

(3.37)

Итак, удельная потенциальная энергия формоизменения определяется по формуле

. (3.38)

Из (3.38) легко получить выражения для u_ф при плоском напряжённом состоянии (σ₂ = 0)

, (3.39)

и при линейном напряжённом состоянии (σ₂ = σ₃ = 0)

. (3.40)

3.7. Теории прочности

3.7.1. Задачи теорий прочности

Важнейшей задачей инженерного расчёта является оценка прочности детали по известному напряжённому состоянию, т.е. по известным главным напряжениям в точках тела.

Материал детали может находиться в различных состояниях. При малых внешних нагрузках материал находится в упругом состоянии. При увеличении внешних сил с определённого момента появляются заметные остаточные деформации и, следовательно, материал переходит в пластическое состояние. При дальнейшем увеличении внешних сил появляются трещины и наступает состояние разрушения. Механическое состояние зависит в первую очередь от напряжённого состояния, а также от ряда других факторов – температуры, времени нагружения и прочих второстепенных факторов.

Предельным (опасным) считается такое напряжённое состояние, при котором происходит качественное изменение свойств материала: переход из упругого состояния в пластическое или переход из упругого в состояние разрушения. Опасные напряжения находятся экспериментально - в процессе лабораторных испытаний материала. Наиболее просто задача определения опасных напряжений решается при стандартных испытаниях на растяжение или сжатие: для пластичного материала это предел текучести σ₀ = σ_т, для хрупкого – предел прочности σ_оп = σ_пч. Образцы при этом находятся в линейном напряжённом состоянии (см. п. 2.6.1 и 2.6.2). Не намного сложнее определить опасные напряжения в частном случае плоского напряжённого состояния – при чистом сдвиге. Чистый сдвиг – это такое напряжённое состояние, при котором по некоторым взаимно перпендикулярным площадкам действуют только касательные напряжения. При испытании на кручение тонкостенной трубы нетрудно установить величины опасных напряжений по характерным точкам диаграммы.

Если следовать по указанному пути, то для каждого напряжённого состояния, определяемого тремя величинами главных напряжений, и для каждого материала необходимо иметь соответствующие диаграммы испытаний с числовыми характеристиками предельных точек. Однако такой путь является абсолютно неприемлемым в силу неисчерпаемости типов напряжённых состояний, а также в связи с техническими трудностями постановки соответствующих испытаний.

Поэтому необходимо создать такую методику расчёта, которая позволяла бы оценить степень опасности любого сложного напряжённого состояния, основываясь на результатах опытов при простом растяжении или сжатии. Эта задача решается с помощью так называемых теорий прочности (точнее, теорий предельных напряжённых состояний).

Для этого вводят гипотезу о преимущественном влиянии на прочность того или иного фактора – критерий прочности. Считают, что наступление предельного состояния при объёмном напряжённом состоянии произойдёт тогда, когда величина критерия прочности достигнет предельного значения. Предельное же значение этого критерия, "ответственного" за наступление опасного состояния, находят на основании простых стандартных опытов на растяжение – сжатие (кручение).

Таким образом, введение критерия прочности позволяет сопоставить данное сложное напряжённое состояние (плоское или объёмное) с простым линейным, и установить при этом такое расчётное (эквивалентное) напряжение, которое в обоих случаях даёт одинаковый коэффициент запаса прочности.

3.7.2. Классические теории прочности

Первая (I) теория прочности – теория наибольших нормальных напряжений. Наиболее простая теория прочности, ведущая своё начало от Галилея. Критерием прочности, "ответственным" за наступление опасного состояния является наибольшее из трёх главных напряжений.

Условие нарушения прочности имеет вид

σ₁ = σ_оп⁺ = σ_т, σ₃ = σ_оп^- = σ_пч. (3.41)

Если правую часть выражений (3.41) поделить на коэффициент запаса, получим условие прочности:

σ^I_расч = σ₁ ≤ [σ₊], σ^I_расч = |σ₃| ≤ [σ_-]. (3.42)

Первая теория прочности из трёх главных напряжений учитывает лишь одно- наибольшее, полагая, что два других не влияют на прочность. Это явный недостаток этой теории.

Опытная проверка показывает, что I-я теория прочности не отражает переход материала в пластическое состояние и даёт удовлетворительные результаты лишь для весьма хрупких материалов.

Вторая (II) теория прочности – теория наибольших линейных деформаций. Идею второй теории прочности впервые высказал Мариотт: критерием прочности, "ответственным" за наступление опасного состояния, является наибольшая по абсолютной величине относительная линейная деформация.

Условие разрушения следующее:

|ε_max| = ε_оп, (3.43)

а условие прочности

. (3.44)

Используя обобщённый закон Гука (3.25), выразим условие прочности (3.44) в напряжениях. Пусть наибольшее относительное удлинение будет ε₁. Тогда

. (а)

При простом растяжении, приняв в качестве допускаемого напряжения [σ], мы тем самым для наибольшего относительного удлинения допускаем величину

. (б)

Подставив (а) и (б) в условие прочности (3.44) и, сократив на E, получим окончательное выражение для условия прочности по II - й теории прочности

σ^II_расч = σ₁ – ν (σ₂ + σ₃) ≤ [σ]. (3.45)

В отличие от I-й теории прочности учитываются все три главных напряжения. Однако, опытная проверка указывает на согласующиеся результаты лишь для хрупких материалов.

Третья (III) теория прочности – теория наибольших касательных напряжений. В этой теории, предложенной Кулоном в 1773 году, в качестве фактора, "ответственного" за наступление опасного состояния, принято наибольшее касательное напряжение.

Условия разрушения и прочности имеют вид

τ_max = τ_оп. (3.46)

. (3.47)

Так как согласно (3.21)

, а ,

то условия разрушения и прочности (3.46) и (3.47) можно выразить через главные напряжения:

σ₁ – σ₃ = σ_оп, (3.48)

σ^III_расч = σ₁ – σ₃ ≤ [σ]. (3.49)

Третья теория прочности хорошо подтверждается опытами для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. Она предназначена для прогнозирования предельного состояния в форме течения, т.е. для пластичных материалов. Недостаток третьей теории заключается в том, что она не учитывает среднего по величине главного напряжения σ₂, которое, как показывают опыты, оказывает некоторое влияние (хотя во многих случаях и незначительное) на прочность материала. Условие прочности в форме (3.49) нашло широкое применение в инженерной практике.

Четвёртая (IV) теория прочности – энергетическая. В основу этой теории, предложенной Мизесом в 1913 году, положен постулат о том, что причиной наступления предельного состояния в форме течения является удельная потенциальная энергия изменения формы, а не напряжения или деформации. Следовательно, математической моделью энергетической теории является следующее условие

u_ф = u_оп. (3.50)

Подставляя в (3.50) значения u_ф при объёмном напряжённом состоянии по формуле (3.38) и при линейном напряжённом состоянии по формуле (3.40), получим условие наступления предельного состояния

, (3.51)

где σ_т – предел текучести.

Сокращая на множитель с упругими постоянными и записывая в правой части допускаемое напряжение [σ] = σ_т/n, получим условие прочности

. (3.52)

Опыты хорошо подтверждают четвертую теорию для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие.

В третьей и в четвёртой теориях прочности нашёл своё отражение экспериментально установленный факт неразрушения изотропного материала в условиях гидростатического сжатия.

Так же, как и третья теория, четвёртая широко применяется в инженерных расчётах. Как правило, третья теория даёт несколько больший запас прочности, т.е. σ^III_расч > σ^IV_расч.

3.7.3. Понятие о новых теориях прочности

Все рассмотренные выше, так называемые "классические" теории прочности страдают одним существенным недостатком – возможность их применения ограничена узкими рамками. Первая и вторая теории прочности отражают разрушение отрывом и применимы только для хрупких материалов. Третья и четвёртая теории, хорошо отражающие наступление текучести и разрушение путём среза, применимы для пластичных материалов с одинаковой прочностью на растяжение и сжатие.

Следует подчеркнуть, что состояние материала (хрупкое или пластичное) определяется не только его свойствами, но и видом напряжённого состояния, температурой и скоростью нагружения. Пластичные материалы при определённых условиях нагружения и температуре ведут себя как хрупкие (при низкой температуре или при всестороннем равномерном растяжении). В то же время и хрупкие материалы могут вести себя как пластичные. Многие материалы в обычных условиях имеют различную прочность на растяжение и сжатие. Все перечисленные выше обстоятельства являлись стимулом для разработки новых, универсальных теорий прочности.

Теория прочности Мора – это усовершенствование третьей теории прочности, позволяющее распространить её на материалы с различным сопротивлением разрушению при растяжении и сжатии.

Теория прочности Г.С.Писаренко – А.А.Лебедева предлагает критерии прочности в виде инвариантных по отношению к напряжённому состоянию функций касательных напряжений и нормального максимального напряжения.

Теория прочности Ю.И. Ягна предлагает некую математическую модель наступления предельного состояния, которая требует проведения трёх независимых испытаний материала на прочность. Экспериментальная проверка показала, что теория прочности Ягна является наиболее гибкой и достоверной из всех известных теорий статической прочности.

Необходимо однако отметить, что новые теории прочности не нашли широкого применения в расчётной практике. Инженеры довольствуются классическими теориями прочности.

В последние годы необычайно быстрыми темпами развивается новая отрасль науки о прочности – механика разрушения. Её появление и развитие вызвано потребностями техники: начиная с 40-х годов прошлого столетия участились аварии, связанные с внезапным разрушением крупных ответственных сооружений (судов, напорных трубопроводов, сосудов давления, газопроводов и пр.). Разрушались, причём хрупким образом, конструкции из пластичной стали при напряжениях, значительно меньших предела текучести. Оказалось, что причиной разрушения являются дефекты типа мельчайших трещин, которые могут присутствовать на стадии изготовления или появляются и развиваются в процессе эксплуатации. Механика разрушения изучает процессы образования и развития трещин в деформируемом твёрдом теле, определяет напряжённо-деформированное состояние тел с трещинами. Самое главное – механика разрушения разрабатывает критерии предельного равновесия тел с трещинами и на этой основе создаёт методы оценки долговечности элементов конструкций.

Современные методы неразрушающего контроля позволяют обнаруживать трещины и другие дефекты в процессе эксплуатации конструкции. Особенно часто они возникают в сварных швах. Далее необходимо решать важнейший вопрос - что делать: останавливать эксплуатацию для немедленного ремонта, продолжать работу какой-то ограниченный срок или вообще не обращать внимания на дефект, т.к. он не представляет опасности. На все эти вопросы даёт ответ механика разрушения.

Глава 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

Как уже отмечалось в главе 1, основным объектом, изучаемым в сопротивлении материалов, является стержень. Сопротивление стержня различным видам деформации зависит от материала и размеров – очертания и длины оси, формы поперечных сечений. При растяжении прямого бруса геометрической характеристикой поперечного сечения была его площадь (см. главу 2). В настоящей главе рассмотрим основные геометрические характеристики поперечных сечений стержня, определяющие сопротивление различным видам деформаций.

4.1. Статические моменты.

Определение положения центра тяжести

Рассмотрим произвольную фигуру (поперечное сечение бруса), связанную с координатными осями Oz и Oy (рис. 4.1). Выделим элемент площади dF с координатами z, y.

Рис. 4.1

По аналогии с выражением для момента силы относительно какой-либо оси можно составить выражение для момента площади, которое называется статическим моментом. Так dS_z = ydF и dS_y = zdF – статические моменты элемента площади dF относительно осей Oz и Oy. Просуммировав по всей площади фигуры, получим статические моменты:

, . (4.1)

Статические моменты имеют размерность единицы длины в кубе (например, см³). Могут быть положительными и отрицательными, знак зависит от положения осей относительно фигуры. Ясно, что относительно каких-то осей статические моменты равны нулю – это оси, проходящие через центр тяжести фигуры.

Рассмотрим задачу о параллельном переносе осей (рис.4.2.).

Рис. 4.2

Дано: параллельные оси Oz, Oy и Cz1 Cy1, точка C – центр тяжести фигуры, a и b – расстояния между осями, Sz и Sy – известны. Определить: Sz1 и Sy1. Из рис.4.2. следует, что y1 = y – a и z1 = z – b. По определению

.

Подставим у₁:

.

Получили формулы зависимостей между статическими моментами относительно параллельных осей.

(4.2)

где F – площадь фигуры;

a и b – расстояния между осями.

Если оси Cz₁ и Cy₁ – центральные (проходят через центр тяжести), то S_z1 = S_y1 = 0. Тогда

0 = S_z – y_cF, 0 = S_y - z_cF.

Статический момент любой фигуры равен произведению площади на расстояние от центра тяжести фигуры до оси:

S_z = Fy_c, S_y = Fz_c. (4.3)

Отсюда координаты центра тяжести

, . (4.4)

По формулам (4.4.) можно найти положение центра тяжести любой плоской фигуры. На рис.4.3. изображена криволинейная лопатка направляющего аппарата гидротурбины. Её необходимо разбить на простые фигуры – прямоугольники, для каждого из которых известна площадь (F_i) и положение центра тяжести (z_i, y_i) относительно заданных нами осей.

Статический момент площади фигуры относительно данной оси определится как сумма статических моментов каждой части. Координаты центра тяжести

, . (4.5)

Рис.4.3

4.2. Моменты инерции

Моментом инерции называется характеристика, отличающаяся от статического момента тем, что координата входит в подынтегральное выражение в квадрате (рис.4.4). Моменты инерции бывают осевые или экваториальные – формула (4.6.), полярный – (4.7) и центробежный – (4.8).

, . (4.6)

Рис.4.4

. (4.7)

. (4.8)

Если начало координат совпадает с полюсом, то ρ² = z² + y², следовательно

J_p = J_z + J_y. (4.9)

Размерность моментов инерции – единица длины в четвёртой степени (например, см⁴). Отметим, что осевой и полярный моменты инерции всегда положительны. Центробежный момент инерции может быть положительным или отрицательным

в зависимости от положения осей.

Рис.4.5

Очевидно, постепенно поворачивая оси, можно найти такое их положение, при котором центробежный момент инерции равен нулю. Такие оси называются главными осями инерции. Две взаимно перпендикулярные оси, из которых хотя бы одна является осью симметрии фигуры, всегда будут её главными осями инерции, поскольку в этом случае

каждой положительной величине zydF соответствует такая же отрицательная по другую сторону от оси симметрии (рис.4.5) и их сумма по всей площади фигуры равна нулю.

Главные оси, проходящие через центр тяжести, называются главными центральными осями.

Вычислим моменты инерции прямоугольника относительно главных центральных осей (рис.4.6,а). Оси z и y – главные, т.к. они являются осями симметрии, J_zy = 0.

а б

Рис.4.6

Для определения осевого момента инерции относительно оси z выделим элементарную площадку в виде полоски, параллельной оси z:

dF = bdy,

.

Очевидно, что для определения J_y надо поменять местами стороны прямоугольника.

Главные осевые моменты инерции прямоугольника

, . (4.10)

Вычислим полярный момент инерции круга относительно его центра, а также осевой момент инерции относительно центральной оси. При вычислении полярного момента инерции выделим элементарную площадку в виде тонкого кольца толщиной dρ (рис.4.6,б) и подсчитаем по формуле (4.7)

dF = 2πρdρ,

.

Полярный момент инерции круга

. (4.11)

Осевой момент инерции круга легко найти из выражения (4.9), учитывая, что в силу симметрии J_z = J_y . Следовательно,

. (4.12)

4.3. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей

Дано: моменты инерции фигуры относительно осей z, y; расстояния между этими и параллельными осями z₁, y₁ – a, b.

Определить: моменты инерции относительно осей z₁, y₁ (рис.4.7).

Рис.4.7

Координаты любой точки в новой системе z₁Oy₁ можно выразить через координаты в старой системе так:

z₁ = z + b, y₁ = y + a.

Подставляем эти значения в формулы (4.6) и (4.8) и интегрируем почленно:

,

.

В соответствии с формулами (4.1) и (4.6) получим

,

, (4.13)

.

Если исходные данные оси zCy – центральные, то статические моменты S_z и

S_y равны нулю и формулы (4.13) упрощаются:

,

, (4.14)

.

Пример: определить осевой момент инерции прямоугольника относительно оси z₁, проходящей через основание (рис.4.6,а). По формуле (4.14)

.

4.4. Зависимость между моментами инерции при повороте осей

Дано: моменты инерции произвольной фигуры относительно координатных осей z, y; угол поворота этих осей α (рис.4.8). Считаем угол поворота против часовой стрелки положительным.

Определить: моменты инерции фигуры относительно z₁, y₁.

Рис.4.8

Координаты произвольной элементарной площадки dF в новых осях выражаются через координаты прежней системы осей следующим образом:

z₁ = OB = OE + EB = OE + DC = zcos α + ysin α,

y₁ = AB = AC – BC = AC – ED = ycos α – zsin α.

Подставим эти значения в (4.6) и (4.8) и проинтегрируем почленно:

,

,

Учитывая формулы (4.6) и (4.8), окончательно находим:

,

, (4.15)

. (4.16)

Складывая формулы (4.15), получим: (4.17)

.

Таким образом, при повороте осей сумма осевых моментов инерции остаётся постоянной. При этом каждый из них меняется в соответствии с формулами (4.15). Ясно, что при каком-то положении осей моменты инерции будут иметь экстремальные значения: один из них будет наибольшим, другой – наименьшим.

4.5. Главные оси и главные моменты инерции

Наибольшее практическое значение имеют главные центральные оси, центробежный момент инерции относительно которых равен нулю. Будем обозначать такие оси буквами u, υ. Следовательно, J_uυ = 0. Начальную произвольную систему координат z, y надо повернуть на такой угол α₀, чтобы центробежный момент инерции стал равным нулю. Приравняв нулю (4.16), получим

. (4.18)

Оказывается, что теория моментов инерции и теория плоского напряжённого состояния описываются одним и тем же математическим аппаратом, так как формулы (4.15) – (4.18) идентичны формулам (3.10), (3.11) и (3.18). Только вместо нормальных напряжений σ записываются осевые моменты инерции J_z и J_y, а вместо касательных напряжений τ_zy – центробежный момент инерции J_zy. Поэтому формулы для главных осевых моментов инерции приводим без вывода, по аналогии с формулами (3.18):

. (4.19)

Полученные из (4.18) два значения угла α₀ отличаются друг от друга на 90⁰, меньший из этих углов по абсолютной величине не превышает 45⁰.

4.6. Радиус инерции и момент сопротивления

Момент инерции фигуры относительно какой-либо оси можно представить в виде произведения площади фигуры на квадрат некоторой величины, называемой радиусом инерции:

, (4.20)

где i_z – радиус инерции относительно оси z.

Из выражения (4.20) следует, что

, . (4.21)

Главным центральным осям инерции соответствуют главные радиусы инерции

, . (4.22)

Зная главные радиусы инерции, можно графическим способом найти радиус инерции (а, следовательно, и момент инерции) относительно произвольной оси.

Рассмотрим еще одну геометрическую характеристику, характеризующую прочность стержня при кручении и изгибе – момент сопротивления. Момент сопротивления равен моменту инерции, делённому на расстояние от оси (или от полюса) до наиболее удалённой точки сечения. Размерность момента сопротивления – единица длины в кубе (см³).

Для прямоугольника (рис.4.6,а) , , поэтому осевые моменты сопротивления

, . (4.23)

Для круга (рис.4.6,б), , поэтому полярный момент сопротивления

. (4.24)

Для круга , , поэтому осевой момент сопротивления

. (4.25)

 

Глава 5. ПЛОСКИЙ ИЗГИБ ПРЯМОГО БРУСА

5.1. Конструкция опор. Определение реакций. Внутренние усилия

Прямолинейные стержни, работающие на изгиб, называются балками. Обычно этим термином называют строительные конструкции. С точки зрения расчета на прочность, жёсткость и устойчивость балкой является не только строительная конструкция, но также и вал машины, ось вагона, зуб шестерни и т.д.

Рассматриваем простейший случай расчёта балок, при котором все заданные внешние нагрузки лежат в одной плоскости, называемой силовой (рис.5.1,а), причем эта плоскость совпадает с одной из главных осей поперечного сечения. Кроме того, все внешние силы перпендикулярны продольной оси бруса. Такой случай будем называть плоским изгибом.

а б

Рис.5.1

На расчётной схеме балку заменяют её осью (рис.5.1,б). При этом все нагрузки, естественно, должны быть приведены к оси балки, и силовая плоскость будет совпадать с плоскостью чертежа. Все реальные внешние нагрузки могут быть приведены на расчётной схеме к трём типам: сосредоточенной силе P (размерность – кН), сосредоточенному моменту M (размерность – кН×м) и распределённой нагрузке интенсивностью q (размерность – кH/м). Причем распределённая нагрузка может быть равномерной или постоянной (рис.5.1,б), а может изменяться по линейному закону (гидростатическое давление) или по любому, более сложному закону. Нагрузки, действующие на балку, относятся к внешним силам. К ним относятся также реакции опор. На рис. 5.1,б это R_A, H_A и M _A. Реакции зависят от конструкции опор.

Все многообразие конструкций опор на расчётной схеме приводится к трём типам: шарнирно-неподвижной (рис.5.2,а), шарнирно-подвижной (рис.5.2,а - правая опора) и жёсткой заделке или защемлению (рис.5.1,б).

Как известно из курса теоретической механики, для плоской системы сил можно составить три уравнения статики:

 

∑х = 0,

∑у = 0, (5.1)

∑М_А = 0.

а б

Рис.5.2

 

Возможен другой вариант системы уравнений статики:

∑х = 0,

∑М_А = 0, (5.2)

∑М_В = 0.

Так как в самом начале мы оговаривали отсутствие сил, проектирующихся на ось x, из уравнения ∑х = 0 получаем Н_А = 0. Поэтому впредь будем использовать только по два последних уравнения из систем (5.1) и (5.2).

Из системы статических уравнений можно определить опорные реакции, если число их не превышает трёх. Это статически определимые балки. Балка становится статически неопределимой, если для определения опорных реакций уравнений статики недостаточно. В настоящей главе рассматриваются только статические определимые балки. Балка, показанная на рис.5.2,а, называется однопролётной или двухопорной; расстояние между опорами – пролёт. Балка, защемленная одним концом и не имеющая других опор, называется консольной (рис.5.1). Консолями называются также свешивающиеся части двухопорных балок.

Для того чтобы определить внутренние силовые факторы в произвольном сечении, необходимо мысленно рассечь балку и рассмотреть равновесие одной из её частей (рис.5.2,б).

При плоском поперечном изгибе вся нагрузка расположена в главной плоскости xy (рис.5.1а), поэтому она не даёт проекций на оси z и x и моментов относительно осей x и y. Следовательно, отличными от нуля, остаются только величины Q_y и M_z. Итак, при изгибе в сечение балки действуют два усилия – поперечная сила Q и изгибающий момент M. Индексы y и z опускаем.

Поперечная сила Q равна сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону от сечения, на ось y, перпендикулярную оси балки.

Изгибающий момент М равен сумме моментов всех сил, расположенных по одну сторону от сечения, относительно центра тяжести этого сечения.

Правило знаков установлено следующее: поперечная сила считается положительной, если она стремится повернуть вырезанный из балки элемент бесконечно малой длины по ходу часовой стрелки; изгибающий момент считается положительным, если он вызывает растяжение нижних волокон (рис.5.3).

Рис.5.3

Необходимо отметить, что правило знаков для Q и M не совпадает с правилом знаков для уравнений статики.

5.2. Дифференциальные и интегральные зависимости между q, Q и M

Установим некоторые зависимости, знание которых облегчит построение эпюр и даёт возможность в известной мере контролировать их правильность.

Рассмотрим балку с произвольной нагрузкой (рис.5.4,а).

 

а б

Рис.5.4

Выделим малый элемент балки O₁O₂ длиной dx и рассмотрим его равновесие (рис.5.4,б). В пределах малого участка распределённую нагрузку можно считать постоянной q (x) = const = q. Поскольку в общем случае Q и M меняются вдоль оси балки, в сечении O₁ будем иметь Q(x) и M(x), а в сечении O₂: Q(x) + dQ(x) и M(x) + dM(x). Как всегда, изображаем их положительно направленными. Из условия равновесия элемента O₁O₂ получим:

∑y = 0: Q + qdx – (Q + dQ) = 0,

∑M₀₂ = 0:

Первое уравнение даёт условие

. (5.3)

Из второго уравнения, пренебрегая членом , найдём:

. (5.4)

Из формул (5.3) и (5.4) следует, что

. (5.5)

Выражения (5.3) – (5.5) называют дифференциальными зависимостями при изгибе. Из них можно получить интегральные зависимости

Q = ∫qdx + Q₀, (5.6)

M = ∫Qdx + M ₀. (5.7)

где Q₀ и M ₀ - постоянные интегрирования (значения сосредоточенной силы и сосредоточенного момента в начале участка).

Использование интегральных зависимостей позволит упростить и ускорить построение эпюр.

5.3. Построение эпюр поперечной силы Q и изгибающего момента M

Рассмотрим порядок построения эпюр Q и M для наиболее характерных, часто встречающихся случаев нагружения балок.

Сосредоточенная сила на свободном конце консоли (рис.5.5).

Рис.5.5

0 ≤ x ≤ ℓ Q(x) = P M(x) = – Px x ℓ Q P P M – Pℓ Балка имеет один участок. Начало координат выбираем в крайней правой точке, ось x направляем влево. При такой системе координат можно не находить реакции опоры.

Вычисляем Q и M в произвольном сечении участка с абсциссой x.. Для построения графиков достаточно получить две точки – в начале и в конце участка. Эти вычисления удобно делать в табличной форме.

Как видно из уравнений и из графиков, Q – постоянная, M – линейная функция. Для расчётов на прочность важно знать наибольшее значение изгибающего момента. В данном случае |M_max| = Pℓ. По эпюрам можно определить опорные реакции: R_A = P, M _A = – Pℓ.

Двухопорная балка с сосредоточенной силой посередине (рис.5.6).

Прежде всего найдём опорные реакции:

∑M_A = 0: ,

∑y = 0: .

В данном случае имеем на балке два участка. Для первого будем отсчитывать x от левой опоры А, для второго – от правой опоры В. Запишем уравнения Q и M, вычислим их значения на границах участков и построим эпюры 0 ≤ x1 ≤ ℓ/2, Q(x) = RA = P/2, M(x) = RA ∙ x = P/2 ∙ x. x1 ℓ/2 Q P/2 P/2 M Pℓ/4

Рис.5.6

0 ≤ x₂ ≤ ℓ/2,

Q(x) = – R_В = – P/2,

M(x) = R_В ∙ x = P/2 ∙ x

M_max = Pℓ/4.

 

x2		ℓ/2
Q	– P/2	– P/2
M		Pℓ/4

Консольная балка с равномерно распределённой нагрузкой (Рис.5.7). Балка имеет один участок. По аналогии с балкой на рис.5.5 отсчитываем x от свободного конца балки и поэтому не определяем опорные реакции.

Рис.5.7

0 ≤ x ≤ ℓ, Q(x) = q ∙ x, M(x) = – qx2/2. x ℓ/2 Q – qℓ M – qℓ2/2 Как видно из уравнений: Q – линейная функция, M – квадратная парабола. .

Двухопорная балка с равномерно распределённой нагрузкой (рис.5.8). В данном случае необходимо сначала определить опорные реакции

∑М_А = 0: ,

∑у = 0: .

При подсчете момента от распределённой нагрузки мы заменяем её статическим эквивалентом – равнодействующей, и мысленно прикладываем эту равнодействующую в центре тяжести распределённой нагрузки. Затем определяем момент как произведение силы на плечо (рис.5.4,б). В нашем случае равнодействующая равна qℓ и приложена она должна быть в середине балки – на расстоянии ℓ/2 от опоры A.

0 ≤ x ≤ ℓ , . x ℓ Q M

Рис.5.8

Из уравнений следует, что Q – линейная функция, M – квадратная парабола. Также видно, что в соответствии с формулой (5.4) Q – производная от M. В точке, где производная равна нулю, функция имеет экстремум.

Найдём его

, х₀ = ℓ/2, .

Получили, что в середине пролёта имеет место максимальный изгиб, момент.

Двухопорная балка с сосредоточенным моментом на опоре (рис.5.9). Находим опорные реакции, направив их вверх.

Рис.5.9

∑MA = 0: M + RB ∙ ℓ = 0, , ∑y = 0: RA + RB = 0, . Меняем направление RB на обратное. 0 ≤ x ≤ ℓ , . По уравнениям строим графики.

Двухопорная балка с симметричными консолями (рис.5.10). Ввиду симметрии балки и нагрузки реакции опор направлены вверх и каждая из них равна Р. У балки три участка.

Рис.5.10

0 ≤ x1 ≤ ℓ Q(x) = – P, M(x) = – Px, 0 ≤ x2 ≤ ℓ Q(x) = P, M(x) = – Px, ℓ ≤ x3 ≤ 3ℓ Q(x) = – P + RA = – P + P = 0, M(x) = – Px + RA(x - ℓ) = – Px + Px – Pℓ = – Pℓ.

На участке между опорами имеет место так называемый чистый изгиб – M = const, Q = 0.

Рассмотрев примеры простых, «табличных» балок, перейдём к балке с произвольной нагрузкой.

Двухопорная балка с консолью и тремя участками (рис.5.11). Находим опорные реакции.

∑M_A = 0: – q ∙ 3 ∙ 1,5 + M + 4,5 R_B – P ∙ 6 = 0,

∑y = 0: R_A – q ∙ 3 + R_B – P = 0 Þ R_A = 20 ∙ 3 – 50 + 30 = 40 кН.

0 ≤ x1 ≤ 1,5 Q(x) = P = 30, M(x) = – Px = – 30х. x 1,5 1.1 Q M – 45 1,5 ≤ x2 ≤ 3 Q(x) = P – RB = 30 – 50 = – 20, M(x) = – Px + RB ∙ (x – 1,5) = = – 30х + 50x – 75 = 20x – 75. x 1,5 1.2 Q – 20 – 20 M – 45 – 15

Рис.5.11

0 ≤ x₃ ≤ 3

Q(x) = P – qx = 40 – 20x ,

M(x) = – R_A ∙ x – ½ qx² = 40х – 10x².

x
1.3 Q		– 20
M

На третьем участке, в точке, где график Q пересекает ноль, имеет место экстремум изгибающего момента.

Найдём его

Q = 40 – 20x₀ = 0 Þ x₀ = 2м,

M_max = 40 ∙ 2 – 10 ∙ 2² = 40 кН∙м.

Анализ приведённых примеров и зависимости п.5.2 позволяет установить некоторые особенности эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

 

1. Участок балки – это часть её, в пределах которой функции Q и M непрерывны. Участок ограничен сосредоточенными силами или моментами, а также началом и концом распределённой нагрузки.

2. На участках, где Q = 0, M = const– имеет место чистый изгиб.

3. На участках, где нет распределённой нагрузки, поперечная сила Q постоянна, а изгибающий момент M меняется по линейному закону.

4. На участках, где к балке приложена равномерно распределённая нагрузка q, поперечная сила Q меняется по линейному закону, а изгибающий момент M – по закону квадратной параболы. В случае приложения распределённой нагрузки q, меняющейся по линейному закону (гидростатического давления), Q будет меняться по квадратной параболе, а M – по кубической параболе.

5. Изгибающий момент достигает максимума или минимума в сечениях, в которых график Q пересекает нулевую (базисную) линию. При этом выпуклость параболы обращена в сторону, противоположную направлению действия нагрузки q – правило “зонтика” (рис.5.12).

6. При движении по балке слева направо на участках, где Q > 0, изгибающий момент M возрастает; на участках, где Q < 0, M – убывает. 7. В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы, на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении приложенных сил, а на эпюре M будут переломы, причем остриё перелома направлено против действия силы.

Рис.5.12

8. В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные моменты, на эпюре M будут скачки на величину этих моментов (на эпюре Q изменений не будет). Направление скачка зависит от направления внешнего момента.

Порядок построения эпюр Q и M.

1. Составляются уравнения статики, из которых определяются величины и направления опорных реакций.

2. Балка разбивается на участки.

3. Для каждого участка составляются аналитические выражения поперечных сил Q(x) и изгибающих моментов M(x).

4. По полученным выражениям вычисляются ординаты эпюр на границах участков.

5. Определяются сечения, в которых действуют моменты M_max и M_min, и вычисляются значения этих моментов.

6. По ординатам и формулам строятся эпюры.

При наличии некоторого навыка построения эпюр описанный выше алгоритм можно упростить – не составлять аналитических выражений Q и M. После определения реакций строится эпюра Q по легко вычисляемым значениям на границах участков. Затем в характерных точках вычисляются значения M как площадь предшествующей эпюры Q – см. формулу (5.7). При этом для вычисления M_max необходимо определить площадь треугольника на эпюре Q: один катет его известен – это значение Q, другой – х₀ находится очень просто х₀ = Q/q.

5.4. Нормальные напряжения при чистом изгибе

Чистый изгиб – это самый простой случай нагружения балки (рис.5.10). Он имеет место и при другой схеме нагружения (рис.5.13.). Силовая плоскость совпадает с одной из главных осей поперечного сечения – осью y (рис.5.13). В сечении действует только нормальное напряжение σ, касательное τ равно нулю ввиду равенства нулю поперечной силы Q.

Формулу для σ можно вывести только из рассмотрения картины деформации балки (рис.5.14,б). Опыты, поставленные на эластичных (например, резиновых) моделях, позволяющих легко получить значительные деформации, показывают, что нанесённая на поверхность прямоугольная сетка линий (рис.5.14,а) деформируется (рис.5.14,б) следующим образом:

а) продольные линии искривляются по дуге окружности;

б) контуры поперечных сечений остаются прямыми;

в) линии контуров сечений пересекаются с продольными волокнами под прямым углом.

Далее, замеряя расстояния между аналогичными точками контура каких-либо двух сечений, можно обнаружить, что при деформации верхние продольные волокна укорачиваются (), а нижние – удлиняются (). Ясно, что есть такие волокна, длина которых остается неизменной (), они лишь искривляются. Совокупность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, называется нейтральным слоем (НС). Поперечное сечение пересекается с нейтральным слоем по прямой, которая называется нейтральной линией (НЛ).

Таким образом, при чистом изгибе балка деформируется следующим образом.

1. Плоские поперечные сечения остаются плоскими и поворачиваются так, что остаются нормальными к изогнутой оси – справедлива гипотеза плоских сечений.

2. Продольные волокна удлиняются и укорачиваются, но друг на друга не давят – имеет место линейное напряжённое состояние.

3. В поперечном направлении (вдоль оси z) деформация постоянна.

а б

Рис.5.13 Рис.5.14

Выделим элемент двумя смежными поперечными сечениями m-m и n-n, отстоящими друг от друга на расстоянии dx (рис.5.15,а), и, приняв во внимание гипотезу плоских сечений, покажем его деформированное состояние (рис.5.15,б). Сечения m-m и n-n остаются плоскими и поворачиваются на угол dθ, элемент a₀b₀ нейтрального слоя превращается в дугу с радиусом ρ. Волокна нейтрального слоя не изменяют своей длины при деформации, поэтому

,

. (5.8)

Произвольное волокно , находящееся на расстоянии y от нейтрального слоя, превращается в криволинейное волокно . Абсолютное удлинение его ∆ab может быть показано на рис.5.15,б, если из точки b′₀ провести прямую, параллельную Cm

, (5.9)

Относительное удлинение этого волокна

. (5.10)

Подставив выражение (5.8) в выражение (5.10), получим

. (5.11)

Таким образом, рассмотрение геометрической стороны задачи показало, что относительная продольная деформация пропорциональна расстоянию волокна от нейтральной оси.

а б Рис.5.15

Физическая сторона задачи выражается законом Гука. Для волокон, находящихся в линейном напряжённом состоянии, его следует записать в виде . (5.12) Исключив ε из формул (5.11) и (5.12), получим

. (5.13)

Формулой (5.13) пока пользоваться невозможно, т.к. неизвестны радиус кривизны нейтрального слоя ρ и положение нейтральной оси в сечении. Для определения этих величин рассмотрим статическую сторону задачи (рис.5.16).

Запишем уравнения статики для отрезка балки длиной x, находящегося под действием постоянного изгибающего момента M и нормальных напряжений σ.

Нужно записать шесть уравнений статики

∑х = 0, ∑у = 0, ∑z = 0,

∑M_x = 0, ∑M_y = 0, ∑M_z = 0.

Из них три дают тождество 0 = 0. Остаются три уравнения

∑х = 0, ∑M_y = 0, ∑M_z = 0.

Запишем их по порядку, подставляя σ по формуле (5.13).

. (5.14)

Поскольку , , а это статический момент сечения относительно нейтральной линии.

. (5.15)

.

Рис.5.16

По той же причине, что и в предыдущем уравнении, . Это другая геометрическая характеристика сечения – центробежный момент инерции

. (5.16)

На основании равенства (5.15) заключаем, что ось z – нейтральная линия сечения – проходит через центр тяжести поперечного сечения. Равенство (5.16) показывает, что оси y и z – главные центральные оси сечения. Этим определяется положение нейтральной линии сечения.

Таким образом, если силовая линия совпадает с одной из главных центральных осей сечения, то изгиб будет плоским и нейтральная линия сечения совпадает с другой главной центральной осью.

Из третьего уравнения (5.13) определим радиус кривизны нейтрального слоя.

.

Вспомнив, что , представляет собой момент инерции сечения относительно оси z, можем последнюю формулу записать в виде

. (5.17)

Наконец, подставив формулу (5.17) в выражение (5.13), получим формулу для нормального напряжения при чистом изгибе

. (5.18)

Формула (5.17) в приведённом выводе была вспомогательной, однако она имеет и большое самостоятельное значение. Её можно трактовать как закон Гука при изгибе, поскольку она связывает деформацию (кривизну нейтрального слоя 1/ρ) с действующим изгибающим моментом.

Произведение EJ носит название жёсткости сечения при изгибе и имеет размерность кН×см².

Рис.5.17

Формула (5.18) показывает, что величина σ линейно возрастает по мере удаления от нейтральной линии (рис.5.17). При этом напряжения постоянны по ширине сечения. При изменении знака изгибающего момента поменяется и знак напряжений (верхние волокна окажутся растянутыми, нижние – сжатыми).

5.5. Условие прочности по нормальным напряжениям. Рациональные формы сечений

Наибольшей величины σ_max напряжения достигают в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной линии, т.е. в случае симметрии сечения относительно горизонтальной оси z при y = ± h/2 (рис.5.17). Подставляя это значение в формулу (5.18), получим

Отношение обозначается W и называется осевым моментом сопротивления. Момент сопротивления имеет размерность см³ и характеризует прочность балки при изгибе, для сечения произвольной формы находится по формуле (см. п. 3.7)

. (5.19)

Таким образом, для материалов, имеющих одинаковую прочность на растяжение и сжатие, условие прочности при чистом изгибе имеет следующий вид

. (5.20)

Полученные результаты позволяют сделать некоторые выводы о рациональной форме сечения при изгибе. В отличие от растяжения при изгибе напряжения в сечении распределяются неравномерно. Материал, расположенный у нейтрального слоя, нагружен очень мало. Поэтому в целях экономии его и снижения веса конструкции следует выбирать такие формы сечения, чтобы большая часть материала была удалена от нейтральной линии (рис.5.18,а). Наиболее близки к идеальному тонкостенные профили – двутавр (рис.5.18,б), швеллер (рис.5.18,в), коробка (рис.5.18,г).Совершенно не рационален круглый профиль, т.к. большая часть материла находится у нейтральной линии.

 

 

а б в г

Рис.5.18

Тем не менее в машиностроении широко применяются круглые стержни – это валы и оси, которые по конструктивным или технологическим соображениям невозможно сделать другого профиля.

В случаях применения материалов, по разному сопротивляющихся растяжению и сжатию (например, железобетона или чугуна), имеет смысл использовать несимметричный профиль, у которого нейтральная линия смещена по отношению к середине высоты сечения и напряжения в крайних волокнах не одинаковы (рис.5.19). Такой профиль называется тавром, его моменты сопротивления будут

и . (5.21)

Рис.5.19

Условия прочности

, (5.22)

.

Все формулы настоящего и предыдущего параграфов получены для случая чистого изгиба прямого стержня Действие поперечной силы приводит к тому, что гипотезы, положенные в основу выводов, теряют свою силу: поперечные сечения не остаются плоскими, а искривляются, продольные волокна давят друг на друга и находятся, следовательно, не в линейном а в плоском напряжённом состоянии. Однако практика расчётов и многочисленные экспериментальные исследования показывают, что и при поперечном изгибе можно пользоваться формулами, выведенными для чистого изгиба, т.к. погрешность при этом получается весьма незначительной.

5.6. Касательные напряжения при поперечном изгибе

При поперечном изгибе, когда в сечениях балки действуют Q и M, возникают не только нормальные напряжения σ, но и касательные напряжения τ.

Получим формулу для определения τ в самом простом случае поперечного изгиба – когда Q = const. Задача об определении напряжений, как правило, статически неопределима и требует рассмотрения геометрической и статической сторон (например, задача о нормальном напряжении при чистом изгибе – см.п.5.4.). Однако можно принять такие гипотезы о распределении напряжений, при которых задача станет статически определимой. Тогда необходимость в привлечении геометрических и физических уравнений отпадает и достаточно рассмотреть одну только статическую сторону задачи. Именно так и будет обстоять дело с выводом формулы для τ при изгибе.

Проведем вывод на примере балки прямоугольного поперечного сечения (рис.5.20,а), нагруженной силой в пролёте.

Введём некоторые предположения о характере распределения напряжений:

1) τ всюду параллельны Q;

2) во всех точках сечения на данном уровне (y = const) τ одинаковы, (т.е. постоянны по ширине и зависят только от расстояния точки до нейтральной линии);

3) σ определяется по формуле (5.18) для чистого изгиба.

Первые два предположения справедливы, если b < h.

Двумя близкими поперечными сечениями A₁B₁ и A₂B₂ выделим элемент балки длиной dx (рис.5.20,б). Как видно по эпюрам, в обоих сечениях Q одинакова, а М разный: в сечении A₁B₁: М = M(x), a в сечении A₂B₂: М = M(x) + dM.Таким образом, в этих сечениях действуют нормальные напряжения σ′ и σ′′ (рис.5.20,в), причём σ′′ > σ′.

Отсечём часть элемента балки, проведя горизонтальную плоскость m₁-m₂ на расстоянии y от нейтрального слоя. Выделенный таким образом элемент показан в поперечном сечении (рис.5.20,г) и в аксонометрии (рис.5.20,д). Нормальные напряжения, действующие по граням A₁m₁n₁C₁ и A₂m₂n₂C₂, определяются по формулам

, , (5.23)

где y₁ – текущая координата в пределах этих граней, y ≤ y₁ ≤ h/2.

 

а б в

г д

Рис.5.20

Равнодействующие этих напряжений, нормальные усилия N₁ и N₂:

 

 

, ,

(5.24)

где F₁ – площадь грани A₁m₁n₁C₁ (рис.5.20,г).

Ввиду того, что N₂ > N₁, равновесие рассматриваемого элемента возможно только в том случае, если по грани m₁m₂n₂n₁ будут действовать касательные напряжения τ′. Площадь этой грани бесконечно мала (длина dx), поэтому можно считать, что напряжения τ′ распределены равномерно и, следовательно, дают усилие

T = τ′bdx = τbdx. (5.25)

В формуле (5.25) τ′ = τ по закону парности касательных напряжений, τ – касательное напряжение в поперечном сечении, параллельное Q.

Запишем теперь уравнение равновесия параллелепипеда:

∑x = N₂ – N₁ – T = 0.

Подставляя N по формулам (5.24) и Т по формуле (5.25), получим

,

.

Учтём, что – статический момент отсечённой площади, заключенной между уровнем «y» и краем балки, и разделим это равенство на bdx

.

Учитывая, что по формуле (5.4) , находим окончательно

. (5.26)

Формула (5.26) носит имя автора – русского учёного Д.И.Журавского. Несмотря на то, что положенные в основу её вывода гипотезы справедливы только для узких прямоугольных сечений, ею можно пользоваться для любых сечений, в том числе и для сечений переменной ширины. Поперечная сила может быть переменной по длине балки.

Рис.5.21

Таким образом, для произвольного сечения (рис.5.21) формула Журавского записывается в следующем виде

, (5.27)

где Q(x) – абсолютная величина поперечной силы в том сечении, где вычисляются касательные напряжения;

J_z – момент инерции этого сечения относительно нейтральной оси;

b_y – ширина сечения в том месте, где определяют τ;

S_z^OTC – абсолютная величина статического момента отсеченной части профиля относительно нейтральной оси (отсечение производится линией, параллельной нейтральной оси в том месте, где определяют τ).

S_z^OTC = F₁^OTC ∙ y_ц,т.

5.7. Распределение касательных напряжений в балках

различных профилей. Условие прочности

Рассмотрим распределение касательных напряжений в некоторых наиболее часто встречающихся профилях. Из формулы (5.27) видно, что касательные напряжения изменяются по высоте сечения по тому же закону, как и величина S_z^OTC/b_y. В любом поперечном сечении в наиболее удалённых от нейтральной оси точках касательные напряжения равны нулю, т.к. F₁ = 0.

Прямоугольное сечение. Проведем линию mn, параллельную нейтральной линии и удалённую от нее на произвольное расстояние y, и найдём τ в точках этой линии (рис.5.22). Линия mn отсекает площадь

.

Рис.5.22

Статический момент этой площади

.

Подставляя в формулу (5.27) найденное значение S_z^OTC, а также b_y = b и J_z = bh³/12, получаем . (5.28)

Переменная y входит во второй степени, следовательно, эпюра τ параболическая. В наиболее удалённых от нейтральной линии точках y = ± h/2 и τ = 0. Для точек нейтральной линии y = 0 и

. (5.29)

Формулу (5.29) можно записать также в виде (при k = 1,5)

. (5.30)

Круглое сечение (рис.5.23). Подобным образом для него получим

. (5.31)

Рис.5.23

Как видно, эпюра τ вновь получается параболической. Наибольшее касательное напряжение в точках нейтральной линии

. (5.32)

Двутавровое сечение. Характерной особенностью этого сечения является резкое изменение ширины при переходе от стенки к полке. В основном поперечную силу воспринимает стенка, а на долю полок приходится небольшая величина. На рис 5.24 показан двутавр, обозначение размеров которого соответствует обозначению сортамента прокатных двутавров.

Для построения эпюры касательных напряжений вычислим τ в нескольких характерных точках: а) в точке 1, лежащей на нейтральной линии; б) в месте сопряжения полки со стенкой (в точках 2 и 3), причем будем считать, что эти точки расположены бесконечно близко к границе полки, но лежат по разные стороны от нее; в) в крайних волокнах.

В точке 1 нейтральной линии касательное напряжение наибольшее

, (5.33)

где – наибольший статический момент отсечённой части (это статический момент полусечения). Для прокатного профиля эта величина, а также момент инерции J_z даются в сортаменте.

Рис.5.24

Для сварного двутавра из прямоугольных полос

, (5.34)

, (5.35)

, (5.36)

. (5.37)

В точке 2, принадлежащей стенке,

. (5.38)

В точке 3, принадлежащей полке,

. (5.39)

В крайних волокнах τ = 0, т.к. S_z = 0.

Построенная по точкам эпюра τ в некотором смысле условна, т.к. дает верные значения только для точек стенки. Скачок в напряжениях при переходе от полки к стенке невозможен, на самом деле в этом месте имеется концентрация напряжений. Для уменьшения её в прокатных двутаврах углы закругляют. Материал стальных балок пластичный и при статической нагрузке концентрацию напряжений можно не учитывать.

Формула (5.27) и рассмотренные примеры позволяют сделать некоторые общие заключения о распределении касательных напряжений при поперечном изгибе:

1) вид эпюры τ зависит от формы поперечного сечения балки;

2) в крайних наиболее удалённых от нейтральной линии точках τ всегда равно нулю;

3) наибольшей величины касательные напряжения достигают на нейтральной линии сечения и подсчитываются по формуле (5.33); они также могут быть найдены по формуле (5.30)

,

где k = 1,5 для прямоугольника и k = 1,33 – для круга;

4) формулой Журавского можно пользоваться для вычисления τ в любых точках массивных профилей, а также в стенке тонкостенных прокатных профилей.

В точке, где касательное напряжение наибольшее, имеет место частный случай плоского напряжённого состояния – чистый сдвиг. Условие прочности имеет вид

, (5.40)

где [τ] – допускаемое касательное напряжение при чистом сдвиге.

5.8. Напряжённое состояние при поперечном изгибе.

Полная проверка прочности

В предыдущих параграфах этой главы были получены формулы для вычисления σ и τ при плоском изгибе балки.

Пусть в поперечном сечении произвольной балки действуют положительная поперечная сила Q и изгибающий момент M. На рис. 5.25,б и 5.25,в показаны графики σ и τ по высоте массивного сечения, а на рис. 5.25,а изображен фасад балки и напряженное состояние в ряде точек по высоте балки. Одна из граней элементарных кубиков совпадает с поперечным сечением. На рис.5.25,г показано сечение А-А и выделенные в нём элементы. Элементы 1 и 2 выделены у крайних точек сечения. Здесь τ = 0, σ = σ_max или σ = σ_min.

Элемент 3 выделен у точек нейтрального слоя, где σ = 0, τ = τ_max:

Элементы 4 и 5 выделены у произвольных точек балки, здесь действуют и σ, и τ.

Таким образом, при поперечном изгибе материал балки находится в неоднородном плоском напряжённом состоянии. Условие прочности должно быть записано для опасной точки балки. Опасной будет одна из следующих трёх точек:

а) точка, где нормальное напряжение достигает наибольшей величины;

б) точка, где касательное напряжение достигает наибольшей величины;

в) точка, где σ и τ, хотя и не принимают наибольших значений, но в своей комбинации создают наиболее невыгодное сочетание, т.е. наибольшее расчётное напряжение по принятой теории прочности.

а б в г

Рис.5.25

Необходимо записать три условия прочности. Первая точка расположена в крайних волокнах сечения, где изгибающий момент имеет наибольшее значение (элементы 1 и 2). Напряжённое состояние в этой точке линейное и условие прочности запишется в виде (5.20)

.

Вторая точка будет находится на нейтральной линии того сечения, где поперечная сила имеет наибольшее значение (элемент 3). В такой точке наблюдается чистый сдвиг и поэтому условие прочности примет вид (5.40)

.

Что касается третьей точки, то положение её не столь определённо. Но где бы она ни была выбрана, в ней будет плоское напряжённое состояние (элементы 4 или 5), при котором главные напряжения рассчитывают по формулам (3.18). В нашем случае σ_х = σ, σ_у = 0, τ_ху = τ и поэтому главные напряжения рассчитываются по формулам (3.18)

,

σ₂ = 0, (5.41)

.

Внося эти величины в выражения для расчётных напряжений по III-й (наибольших касательных напряжений) и IV-й (энергетической) теориям прочности (3.49) и (3.52), получаем условия прочности

, (5.42)

. (5.43)

Практика применения и расчёта балок показала, что в подавляющем большинстве случаев опасной является крайняя точка того сечения, где M = M_max. Подбор сечения балки всегда необходимо производить из условия прочности по нормальным напряжениям (5.20).

Проверку прочности по касательным напряжениям по формуле (5.40) необходимо делать только для балок из тонкостенных профилей.

И, наконец, проверку прочности по главным напряжениям по формулам (5.42) или (5.43) необходимо делать только в случае одновременного выполнения следующих двух условий:

1) балка сделана из тонкостенного профиля с резким переходом от полки к стенке (двутавр, швеллер, коробка);

2) на балке имеется сечение, где Q и M одновременно максимальные или их значения близки к максимуму.

Расчёт по всем трём указанным условиям называется полной проверкой прочности. Приведём её пример.

Рис.5.26

Рассмотрим балку, изображённую на рис.5.26. Необходимо подобрать двутавровое сечение, заданы допускаемые напряжения:

[σ] = 16 кН/см², [τ] = 8 кН/см².

Найдём опорные реакции

å М_А = 0: – q ∙ 3 ∙ 1,5 + 3R_B – 4P = 0,

å y = 0: R_A – q ∙ 3 + R_B – P = 0, R_B = 80 ∙ 3 – 200 + 60 = 100 кН.

При построении эпюр Q и M не будем составлять уравнения по участкам, а воспользуемся рекомендациями п.5.3.

Сначала вычислим значения Q в характерных сечениях: у опоры А: Q = R_A = 100 кН (при этом закрываем правую часть балки); далее Q уменьшается и у опоры B становится равной Q = R_A – q ∙ 3 = 100 – 80 ∙ 3 = – 140 кН; в сечении около силы P: Q = P = 60 кН (при этом закрываем левую часть балки); отодвигаем это сечение влево до опоры B – Q не меняется. Эпюра Q построена.

Помним, что момент M равен площади предшествующей эпюры Q. На шарнирной опоре A: M = 0. Далее при движении от опоры A вправо при положительной Q момент возрастает и в точке, где Q пересекает ноль, M = M_max = площади треугольника на эпюре Q. Один катет треугольника известен 100 кH, второй – х₀ = Q/q = 100/80 = 1,25 м, M_max = ½ ∙ 100 ∙ 1,25 = 62,5 кН ∙ м. Затем момент уменьшается на площадь отрицательного треугольника: M_max = 62,5 – ½ ∙ 140 ∙ 1,75 = – 60 кН ∙ м. Далее момент возрастает на площадь положительного прямоугольника: М = –60+60 ∙ 1=0. Действительно, в сечении около силы P момент должен быть равен нулю. Эпюра M построена.

1. Подберем двутавр из условия прочности по нормальным напряжениям (5.20):

.

В числителе момент переводим из кН×м в кН×см и поэтому умножаем на 100. По сортаменту прокатной стали «Балки двутавровые (ГОСТ 8239-72)» находим двутавр № 27а: W_z = 407 см³.

2. Проверим прочность по касательным напряжениям по формуле (5.40):

,

следовательно, прочность не обеспечена. Возьмем следующий по сортаменту двутавр – № 30 и проверим его прочность:

.

Хотя напряжения превышают величину допускаемых, прочность можно считать обеспеченной, т.к. превышение менее 5%:

.

3. Проверим прочность по главным напряжениям, т.к. имеется сечение, где Q и M одновременно близки к максимальным значениям. На опоре B: Q = 148 кH, M = 60 кH×м. На рис. 5.27 показан двутавр №30 и графики напряжений (уклоном полки в двутавре пренебрегаем и считаем, что полка имеет постоянную, указанную в сортаменте, толщину t).

В точке С под полкой:

,

,

.

Pис.5.27 Pис.5.28

Проверим прочность по III-й теории прочности по формуле (5.42)

.

Прочность не обеспечена, т.к. перенапряжение превышает 5%:

.

Возьмём следующий по сортаменту двутавр № 30а и проверим его прочность в точке С (рис.5.28):

,

,

,

.

Прочность обеспечена, т.к. перенапряжение незначительно

.

Итак, принимаем двутавр № 30а; прочность балки лимитируется не наибольшим нормальным напряжением и не наибольшим касательным напряжением, а напряжённым состоянием в точке перехода от полки к стенке.

5.9. Касательные напряжения в полках тонкостенных профилей. Центр изгиба

Допущения, положенные в основу вывода формулы Журавского (5.27), соответствуют действительности, если ширина сечения b мала по сравнению с высотой h (размером, перпендикулярным нейтральной линии сечения).

Если сечение представляет собой тонкостенный профиль, то в полках ширина сечения значительна и картина распределения касательных напряжений существенно меняется: они становятся перпендикулярными к усилию Q (горизонтальными) и меняются по величине вдоль полки. Эти напряжения будем обозначать τ_П.

Заметим, что в полках действуют и касательные напряжения, параллельные Q. Однако эти напряжения настолько малы по сравнению с касательными напряжениями в стенке (см. график на рис.5.24) и по сравнению с τ_П, что их можно совсем не принимать во внимание.

Получим формулу для касательных напряжений τ_П в полках тонкостенных профилей, вывод проведем на примере консольной балки швеллерного сечения, нагруженной сосредоточенной силой (рис. 5.29). Так же, как и при выводе формулы Журавского, Q = const, M – линейная функция (рис.5.29,б).

Двумя близкими поперечными сечениями A₁B₁ и A₂B₂ выделим элемент балки длиной dx (рис.5.29,в). Далее отсечем часть полки m₁m₂ (рис.5.29,г), проведя линию, параллельную оси y на расстоянии z от края полки. Рассмотрим равновесие этого элемента (рис.5.29,д). В поперечных сечениях действуют нормальные напряжения σ′ и σ′′, причём σ′′ > σ′ ввиду неравенства изгибающих моментов.

Учитывая, что полка узкая (t мало по сравнению с шириной b и высотой h), примем следующие допущения:

1) нормальные напряжения σ постоянны по толщине t;

2) касательные напряжения τ_П также постоянны по толщине и зависят только от расстояния z;

3) всюду в полке τ_П параллельны нейтральной линии z.

Нормальные напряжения:

,

,

где h₁ – расстояние между осями полок, h₁ = h – t.

 

 

а б в

Рис.5.29

Нормальные усилия:

, . (5.44)

Ввиду того, что N₂ > N₁, равновесие рассматриваемого элемента возможно только в том случае, если по грани m₁m₂n₂n₁ будут действовать касательные напряжения τ′, равные по закону парности касательным напряжениям τ_П. Касательное усилие

Т = τ′∙ t ∙ dx = τ_П ∙ t ∙ dx. (5.45)

Уравнение равновесия рассматриваемого элемента имеет вид

å x = N₁ + T – N₂ = 0.

Подставляя N по формулам (5.44) и Т по формуле (5.45), получим

,

,

.

Учитывая, что , находим

. (5.46)

Напряжения τ_П меняются по линейному закону и достигают наибольшего значения в точке сопряжения полки со стенкой

. (5.47)

Если в формуле (5.46) числитель и знаменатель умножить на t, получим формулу, идентичную формуле Журавского

, (5.48)

где - статический момент отсечённой части полки.

Напряжения τ_П всегда образуют единый поток с касательными напряжениями τ в стенке профиля (рис.5.30,а). Последние направлены в сторону Q. Касательные напряжения в стенке и полках здесь приводятся к усилиям T_cm и T_П, показанным на рис. 5.30,б. Эти усилия создают относительно точки O, через которую проходит поперечная сила Q, крутящий момент. Открытые тонкостенные профили очень плохо сопротивляются кручению. Для исключения кручения надо, чтобы поперечная сила проходила через точку, относительно которой момент внутренних касательных усилий равнялся бы нулю. Эта точка называется центром изгиба.

а б

Рис.5.30

Найдём положение центра изгиба из условия равенства нулю момента внутренних касательных усилий

å М_с = – Т_cm ∙ e + T_П ∙ h₁ = 0,

T_cm = Q,

T_П = площади эпюры τ_П ½ ∙ b₁ ∙ t.

Подставим по формуле (5.48) и получим

,

. (5.49)

Если исходить из размеров, заданных в сортаменте, то

. (5.50)

Удобнее отсчитывать расстояние не от оси стенки, а от центра тяжести сечения

. (5.51)

Если сечение имеет две оси симметрии и силовая плоскость проходит через одну из них (например у двутавра), то в нём возникают касательные напряжения, показанные на рис.5.31,а. В силу симметрии полок относительно вертикальной оси горизонтальные усилия T_П взаимно уравновешиваются на каждой полке. Центр изгиба совпадает с центром тяжести, кручения нет.

Чтобы избежать кручения при изгибе тонкостенного несимметричного профиля (рис.5.31,б), необходимо применять симметричный профиль из двух швеллеров или выносить нагрузку из главной плоскости так, чтобы она проходила через центр изгиба (рис.5.31,в).

а б в

Рис.5.31

5.10. Потенциальная энергия упругой деформации

Как было выяснено ранее, удельная потенциальная энергия упругой деформации определяется формулой

.

Рассмотрим случай чистого изгиба (M = const, Q = 0).

Имеет место линейное напряжённое состояние:

, σ₂ = 0, σ₃ = 0.

Найдем потенциальную энергию в элементарном объёме dV балки:

.

Если учесть, что ε₁ = σ₁/Е, то получим

.

Подставим сюда значение напряжения σ₁, а затем проинтегрируем по всему объёму балки:

.

Для выполнения интегрирования учтём, что

dV = dx ∙ dF.

Переходя к двум переменным, необходимо интеграл по объёму заменить двойным интегралом:

. (5.52)

Учтём при этом, что

. (а)

Подставляя значение (а) в выражение (5.52), окончательно получим

. (5.53)

Заметим, что в формулу (5.53) изгибающий момент входит в квадрате и поэтому величина потенциальной энергии всегда положительная.

Для балок, работающих при поперечном изгибе (Q ¹ 0, M = M(x)), потенциальная энергия сдвига (от действия касательных напряжений) как правило, на порядок и более меньше потенциальной энергии изгиба. Поэтому формулу (5.53), выведенную для случая чистого изгиба, распространяют и на случай поперечного изгиба, когда М = М(х):

. (5.54)

 

Глава 6. СДВИГ

6.1. Напряжения и деформации при чистом сдвиге

Чистым сдвигом называется такой частный случай плоского напряжённого состояния, при котором на площадках бесконечно малого элемента действуют только касательные напряжения (рис.6.1).

Рис. 6.1

Чистый сдвиг имеет место при работе ряда элементов конструкций. Так, мы встречались с этим напряжённым состоянием, когда рассчитывали на прочность балки при поперечном изгибе, – на нейтральной линии σ = 0 и τ = τ_max (см. п.5.8). Кроме того, в условиях чистого сдвига находится материал при резке ножницами (рис.6.2,а), при кручении круглого сплошного или трубчатого стержня (рис.6,2б), в заклёпочных (рис.6.2,в), болтовых и сварных соединениях.

 

 

а б в

Рис. 6.2

Определим напряжения по наклонным площадкам (рис.6.3). По формулам (3.9) и (3.10) при плоском напряжённом состоянии

σ_α = σ_xcos²α + σ_ysin²α – τ_xysin 2α,

.

В нашем случае σ_x = σ_y = 0, τ_xy = τ поэтому получим

σ_α = – τ sin 2α, (6.1)

τ_α = τ cos 2α. (6.2)

При α = ± 45⁰ Þ τ_α = 0 и σ_α = m τ, т.е. главные напряжения при чистом сдвиге (рис.6.3)

. (6.3)

Итак, главные напряжения – сжимающее и растягивающее – равны между собой и численно равны экстремальным касательным напряжениям.

Рис.6.3

Тот же самый результат можно получить, используя формулу (3.18) для определения главных напряжений при плоском напряжённом состоянии

Рассмотрим деформацию элемента (рис.6.4). Закрепляем одну из граней. Квадрат превращается в ромб , поскольку по граням элемента нет нормальных напряжений. В то же время диагональ , совпадающая с направлением σ₁, удлиняется, а диагональ – укорачивается.

Рис.6.4

∆S – абсолютный сдвиг (смещение грани ab); γ – угол сдвига или относительный сдвиг.

. (6.4)

= ℓ – длина диагонали, , ∆ℓ – абсолютное удлинение диагонали,

. Относительное удлинение диагонали есть не что иное, как главное удлинение ε₁ при плоском напряжённом состоянии, поскольку главное напряжение σ₁ действует в направлении диагонали .

.

Итак, при чистом сдвиге

. (6.5)

Теперь выразим ε₁ через σ, воспользовавшись обобщённым законом Гука для плоского напряжённого состояния (3.26)

. (6.6)

Приравняем правые части формул (6.5) и (6.6)

, .

Множитель перед γ является коэффициентом пропорциональности между касательным напряжением и соответствием ему углом сдвига, и называется модулем сдвига или модулем касательной упругости:

. (6.7)

Для стали G = 8 ∙10³ кН/см² или G = 8 ∙ 10⁴ МПа.

Модуль сдвига – это третья упругая постоянная изотропного упругого материала, выражающаяся через первые две (модуль нормальной упругости Е и коэффициент Пуассона ν) формулой (6.7).

Таким образом, закон Гука при сдвиге имеет вид

τ = Gγ. (6.8)

В аналогичной форме записывается этот фундаментальный закон и при линейном напряжённом состоянии – σ = Eε (см. формулу (2.9)), и при объёмном напряжённом состоянии: σ_cp = Kθ (см. формулу (3.36)).

 

6.2. Проверка прочности и допускаемые напряжения при чистом сдвиге

Для проверки прочности детали, испытывающей деформацию чистого сдвига, необходимо использовать теории прочности (см.п.3.7). Касательные напряжения на гранях элемента равны τ, допускаемое напряжение при растяжении – [σ]. Как указывалось выше, главные напряжения при чистом сдвиге σ₁ = τ, σ₂ = 0, σ₃ = – τ.

Составим условие прочности по четырём классическим теориям прочности:

а) по первой теории – теории наибольших нормальных напряжений в соответствии с формулой (3.41)

σ^I_расч = σ₁ ≤ [σ].

Подставляем значение σ₁ и получаем:

τ = [σ], (6.9)

Правая часть формулы (6.9) представляет собой допускаемое напряжение при чистом сдвиге; то есть по первой теории прочности

[τ]^I ≤ [σ]; (6.10)

б) по второй теории – наибольших линейных деформаций в соответствии с формулой (3.44)

σ^II_расч = σ₁ – ν (σ₂ + σ₃) ≤ [σ],

или τ – ν (0 – τ) ≤ [σ],

откуда

. (6.11)

Для металлов ν = 0,25 – 0,42. Следовательно, по второй теории прочности

[τ]^II = (0,7 – 0,8)[σ]; (6.12)

в) по третьей теории – теории наибольших касательных напряжений в соответствии с формулой (3.48)

σ^III_расч = σ₁ – σ₃ ≤ [σ]

или τ – (– τ) ≤ [σ],

откуда

. (6.13)

т.е. допускаемое напряжение при сдвиге по третьей теории прочности

[τ]^III = 0,5[σ]; (6.14)

г) по четвёртой теории – энергетической в соответствии с формулой (3.50)

,

или ,

откуда

. (6.15)

Следовательно, допускаемое напряжение при сдвиге по четвёртой теории прочности

[τ]^IV = 0,58[σ]. (6.16)

Отметим, что чистый сдвиг – это тот случай плоского напряжённого состояния, который легко осуществить в лабораторном эксперименте – достаточно испытать на кручение тонкостенную трубу. Опыты показали, что для пластичной и обычной конструкционной стали предел текучести при сдвиге составляет примерно 60% от предела текучести при растяжении

τ_т = 0,6σ_т.

Таким образом, для пластичных материалов наиболее подходят формулы (6.16) и (6.14), полученные на основании четвёртой и третьей теорий прочности.

 

 

6.3. Расчёт заклёпочных и сварных соединений

Полученные выше величины допускаемых напряжений применяют при расчётах на прочность деталей, испытывающих деформацию среза (заклёпок, болтов, шпонок, некоторых сварных соединений).

Рассмотрим заклёпочные соединения. Если в XIX веке единственным способом изготовления металлоконструкций (мостов, ферм и перекрытий зданий, котлов, трубопроводов, корпусов судов и прочих) был способ соединения деталей с помощью заклёпок, то в настоящее время заклёпки повсеместно вытеснены сваркой. Сварные соединения экономичнее и технологичнее заклёпочных. В то же время заклёпочные обладают одним весьма существенным достоинством – они надёжнее сварных. Заклёпочные соединения никогда не разрушаются внезапно, поэтому периодический контроль позволяет обнаружить плохие заклёпки и вовремя заменить их. Существует целая отрасль современной техники, в которой применяются только заклёпочные соединения – это авиация. В железнодорожных мостах, испытывающих большие динамические нагрузки, сварка не применяется – детали соединяются на заклёпках или на болтах.

Рис.6.5

При расчёте заклёпочного соединения (рис.6.5,а) считают, что усилия между заклёпками распределены равномерно. Условие прочности на срез:

, (6.17)

где i – число заклёпок, в нашем примере i=8.

Нагрузка, приложенная к каждой заклёпке, помимо среза, вызывает смятие контактирующих поверхностей. Смятие – это пластическая деформация по поверхности контакта. Расчёт на смятие так же, как и расчёт на срез, проводят приближённо, поскольку закон распределения давления по поверхности контакта точно не известен. Если принять криволинейный закон распределения (рис.6.5,б), то максимальное напряжение смятия на цилиндрической поверхности будет

,

где F_см – площадь проекции поверхности контакта на диаметральную плоскость:

F_см = d ∙ δ.

Условие прочности на смятие имеет следующий вид:

. (6.18)

Допускаемое напряжение на смятие устанавливают опытным путём; обычно его можно принять равным [σ_см] = (2 – 2,5)[σ_-].

Учитывая, что заклёпки ослабляют листы, последние проверяют на растяжение в наиболее ослабленном сечении (рис.6.5,в):

, (6.19)

где m – число отверстий в ряду заклёпок; в нашем примере m = 2.

В соединении, показанном на рис. 6.5, силы Р стремятся сдвинуть листы относительно друг друга. Эти силы стремятся не только срезать заклёпки, но и изогнуть их. Однако изгибающий момент мал, и вызванными им нормальными напряжениями можно пренебречь.

Болты, работающие на срез, рассчитываются аналогично заклёпкам.

а б в

г

Рис.6.6

Сварные соединения принято рассчитывать на срез или на растяжение. Наиболее распространены соединения встык и с помощью угловых, или валиковых, швов. Соединения встык применяются, когда листы находятся в одной плоскости. При толщине листов δ ≤ 8 мм кромки их не обрабатываются (рис.6.6,а); при δ = 8 – 20 мм кромки скашивают и заваривают листы с одной стороны (V-образный шов, рис.6.6,б); при δ ≥ 20 мм кромки скашивают и заваривают листы с двух сторон (Х-образный шов, рис.6.6,в). Расчётную толщину шва принимают равной толщине листа δ, наплывы не учитываются. Рассчитываются соединения встык на растяжение или сжатие по формуле

, (6.20)

где ℓ = b – 10 мм – расчётная длина сварного шва (10 мм – длина непровара по краям шва);

b – ширина листа;

[σ_Э] – допускаемое напряжение для материала электрода на растяжение.

Соединения с помощью угловых швов делают, когда листы параллельны или перпендикулярны. Сюда относятся соединения внахлёстку (рис.6.7,а), с накладками (рис.6.7,б) и в тавр (рис.6.7,в). Если направление углового шва перпендикулярно к действующему усилию, то шов называется лобовым (рис.6.7,а); если параллельно- фланговым (рис.6.7,б).

а б в

Рис. 6.7

Рассмотрим расчёт фланговых и лобовых (торцевых) швов, то есть таких швов, которые должны сопротивляться действию касательных напряжений. Ясно, что фланговые швы работают на срез в биссекторных сечениях (рис.6.8). Считается, что касательные напряжения равномерно распределены по площади сечения АА₁В₁В. Площадь среза каждого шва

hℓ = 0,7δℓ

Фланговые швы всегда ставят парами. Условие прочности на срез принимает вид (с учётом возможного непровара по краям шва)

, (6.21)

где m – число швов;

[τ_Э] – допускаемое напряжение на срез материала электрода.

Для соединения с двумя накладками, показанного на рис.6.7,б, m = 4 и δ = δ₁. Для соединения внахлёст, показанного на рис.6.8, m = 2.

Рис.6.8

При расчёте лобовых швов пренебрегают составляющей нормальных напряжений на том основании, что сопротивление стали срезу ниже, чем растяжению. Лобовые швы условно рассчитывают на срез так же, как и фланговые, предполагая, что касательные напряжения равномерно распределены по площади биссекторного сечения. Условие прочности (см. схему на рис.6.7,а):

. (6.22)

Отметим, что вследствие незначительной протяжённости материала шва в направлении действия силы лобовые швы являются жёсткими, поэтому разрушаются при малых остаточных деформациях и плохо сопротивляются действию циклических и ударных нагрузок. Фланговые швы – вязкие, разрушаются после значительных остаточных деформаций, поэтому они предпочтительнее лобовых.

 

Глава 7. КРУЧЕНИЕ ПРЯМОГО БРУСА

7.1. Основные понятия. Определение крутящих моментов

Кручение – это деформация прямого бруса внешними парами сил, действующими в плоскостях, перпендикулярных к оси бруса (рис.7.1,а).

Моменты внешних пар называют скручивающими моментами и обозначают Mx.

Стержни, работающие на кручение, встречаются очень часто, особенно в машиностроении. Неподвижные стержни называются осями, вращающиеся – валами. Как правило, валы испытывают кручение в сочетании с изгибом (валы паровых и газовых турбин, компрессоров, двигателей внутреннего сгорания, редукторов, электродвигателей и прочих машин); реже кручение сочетается с растяжением (валы гидравлических турбин). В настоящей главе рассматривается кручение в чистом виде.

а б

Рис. 7.1

Во вращающихся валах скручивающий момент совершает работу на угле поворота вала (рис.7.1,б). Если w – угловая скорость в радианах/сек, то работа скручивающего момента будет

A = Mx α = Mx ωt.

В то же время мощность N, передаваемая валом, это работа в единицу времени t:

Þ A = Nt.

Отсюда получим выражение для скручивающего (внешнего) момента

. (7.1)

где N – кВт, Mx – кН×м.

Очень часто угловую скорость задают в об/мин. Тогда

,

где n – об/мин. Формула (7.1) приобретает вид

, (7.2)

где N – кВт, Mx – в кгм; или

, (7.3)

где N – в лошадиных силах, Mx – в кгм.

В общем случае на брус могут действовать несколько скручивающих моментов, приложенных в различных сечениях и взаимно уравновешивающихся (рис.7.2).

При этом внутренним усилием будет крутящий момент M_кр, который представляет собой результирующий момент касательных напряжений в поперечном сечении бруса. Крутящий момент М_кр равен сумме внешних скручивающих моментов Mx, расположенных по одну сторону от сечения. Закон изменения крутящих моментов по длине бруса представляют в виде графика – эпюры крутящих моментов.

Рис. 7.2

Знак крутящего момента физического смысла не имеет, но о нём необходимо договориться для построения эпюры. Будем считать, что внешние скручивающие моменты, действующие на рассматриваемую отсечённую часть стержня по часовой стрелке, если смотреть со стороны сечения, вызывают в этом сечении положительный крутящий момент, а действующие против часовой стрелки – отрицательный. В соответствии с принятым правилом построена эпюра М_кр для бруса на рис. 7.2.

7.2. Напряжения и деформации при кручении стержней круглого и кольцевого сечений

Задача о кручении прямого бруса статически неопределима: для определения напряжений необходимо рассмотреть статическую и геометрическую стороны. Сначала рассмотрим геометрическую картину деформации круглого стержня. Опыты показывают, что предварительно нанесённая на поверхность стержня сетка, состоящая из линий, параллельных оси, и линий, представляющих собой параллельные круги, после закручивания будет перекашиваться (рис.7.3): продольные линии сетки станут винтовыми, а расстояния между кругами останутся неизменными. Это видно особенно наглядно, если в качестве материала вала взять резину.

На основании указанных экспериментальных данных принимаются следующие допущения о деформации круглого стержня.

1. Плоские поперечные сечения остаются плоскими и после деформации.

2. Расстояние между поперечными сечениями не меняется.

3. Прямые радиусы, проведённые в сечении, остаются прямыми.

Эти особенности деформации круглого стержня получены из гипотезы плоских сечений. Деформация при кручении характеризуется углом закручивания j.

γ – угол сдвига; φ – угол закручивания

Рис.7.3.

Искажение прямых углов сетки, нанесённой на поверхности, свидетельствует о том, что мы имеем дело с деформацией чистого сдвига. Следует отметить, что гипотезу плоских сечений мы уже использовали при выводе формулы для нормальных напряжений при чистом изгибе (см. п. 5.4).

Из стержня, показанного на рис. 7.3, вырежем участок длиной dx (рис. 7.4,а), а из него – сектор . Далее покажем деформацию этого сектора (рис. 7.4,б).

а б

Рис. 7.4

Угол закручивания участка стержня длиной dx составляет dφ. Следовательно, радиус o₁b после деформации займёт положение o₁b′, исходный элемент abcdoo₁ превратится в элемент ab′c′doo₁.

На поверхности стержня

bb′ = dx tg γ₀ = dx γ₀, bb′ = r tg φ = rd φ,

dx γ₀ = rdφ, .

В произвольном месте (на расстоянии r от оси)

kk′ = dx · γ, kk′ = ρdφ, dx γ = ρdφ

. (7.4)

Величина dφ/dx является относительным (погонным) углом закручивания, имеет размерность см^-1 и обычно обозначается через θ. Учитывая это, формулу (7.4) можно переписать так:

γ = θρ. (7.5)

Теперь рассмотрим физическую сторону задачи: элемент испытывает чистый сдвиг и поэтому в соответствии с формулой (6. 8) получим

τ = Gθρ. (7.6)

Формула (7.6) показывает, что касательные напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону прямо пропорционально расстоянию ρ точек от центра сечения. Очевидно, максимальные напряжения будут у поверхности стержня при ρ = r. Нам пока неизвестен относительный угол закручивания θ. Для определения его необходимо рассмотреть статическую сторону задачи (рис. 7.5).

 

∑ M_x = 0: ;

;

- М_кр + GθJ_р = 0;

, (7.7)

где GJ_р – жёсткость стержня при кручении, J_р – полярный момент инерции.

Рис. 7.5

Зная выражение (7.7) относительного угла закручивания, можно написать формулу для определения взаимного угла закручивания двух сечений, расположенных на расстоянии ℓ:

.

Если в пределах участка длиною ℓ крутящий момент не изменяется, то

. (7.8)

Для определения касательного напряжения τ в любой точке сечения надо в формулу (7.6) подставить выражение для q по формуле (7.7). Тогда

. (7.9)

График касательных напряжений в поперечном сечении представлен на рис.7.6,а. Максимальное напряжение у поверхности стержня будет

, (7.10)

где W_p – полярный момент сопротивления.

а б

Рис. 7.6

Из графика следует, что материал в окрестности центра стержня почти не работает (напряжения близки к нулю), поэтому его можно удалить. Получится трубчатое или кольцевое сечение (рис.7.6,б). Это сечение выгоднее круглого – при равной прочности имеет меньший вес.

Геометрические характеристики сплошного круглого сечения определяются по формулам (4.11) и (4.25)

, . (7.11)

Геометрические характеристики трубчатого сечения будут

, ,

(7.12)

где α – отношение внутреннего диаметра трубы к наружному, a = d_B/d_H.

В качестве примера решим задачу о соотношении площадей поперечного сечения равнопрочных трубчатого и сплошного валов, приняв α = 0,8. Прочность характеризуется моментом сопротивления, поэтому 0,2d³ = 0,2d³_H (1 – α⁴).

Выразим диаметр трубчатого вала через диаметр круглого

0,2d³ = 0,2d³_H (1 – (0,8)⁴) = 0,2d³_H ∙ 0,59

Þ d_H = 1,195d

Теперь найдём площади поперечного сечения:

сплошной вал ;

трубчатый вал .

Таким образом мы получили, что трубчатый вал имеет на 20% больший диаметр, чем сплошной. При этом площадь поперечного сечения его на 50% меньше.

Поэтому валы, передающие большие крутящие моменты, делают трубчатыми. Например, валы гидротурбин, карданные валы транспортных машин. В случае небольших моментов затраты на изготовление трубчатого вала не окупаются экономией материала.

7.3. Расчёт валов на прочность и жёсткость

При проектировании валов можно рекомендовать следующий порядок расчёта на кручение.

По схеме вала определяются действующие на него скручивающие моменты по формуле (7.1) и строится эпюра крутящего момента M_кр. Пример такой эпюры приведён на рис. 7.2. Наибольший скручивающий момент М₃ (момент на “ведущем шкиве”) приложен в середине вала. Другой вариант эпюры крутящих моментов, когда “ведущий шкив” расположен на краю вала, - на рис. 7.7

Установив величину наибольшего крутящего момента, определим размеры его поперечного сечения из условий прочности и жёсткости.

Условие прочности вытекает из формулы (7.10)

, (7.13)

где τ – допускаемое напряжение при кручении (чистом сдвиге).

Рис. 7.7

Учитывая выражение (7.12) для полярного момента сопротивления W_р и задавая из конструктивных соображений отношение a, находим наружный диаметр вала

. (7.14)

Помимо расчёта на прочность, валы рассчитывают и на жёсткость, ограничивая углы закручивания на единицу длины (погонные углы закручивания).

Условие жёсткости вытекает из формулы (7.7)

, (7.15)

где [θ] – допускаемый погонный угол закручивания в градусах на метр.

Учитывая выражение (7.12) для полярного момента инерции J_p, принимая l=1м=100 см и переводя [θ] из градусов/метр в радианы/метр, находим наружный диаметр вала из условия жёсткости

. (7.16)

Далее из двух значений d_н, найденных по формулам (7.14) и (7.16), выбираем большее и округляем его до ближайшего стандартного.

7.4. Разрушение валов из различных материалов. Потенциальная энергия упругой деформации

Характер разрушения зависит от напряжённого состояния и механических свойств материала.

Из анализа формулы (7.9) видно, что касательные напряжения в плоскости поперечного сечения распределены неравномерно и достигают максимума на периферии его (рис.7.6). В элементе материала, мысленно выделенном из наружных слоёв стержня сечениями, параллельными и перпендикулярными к образующим, по граням будут действовать только касательные напряжения (рис.7.8) – имеет место чистый сдвиг. Наибольшие нормальные напряжения действуют по главным площадкам, которые, как известно, наклонены под углом 45^° к площадкам чистого сдвига (при кручении – под углом 45^° к оси вала).

Рис. 7.8.

Таким образом, при кручении круглых стержней опасными могут стать как касательные напряжения, возникающие в поперечных и в продольных сечениях вала, так

и нормальные напряжения, возникающие в площадках под углом 45^° к первым. В связи с этим характер разрушения будет зависеть от способности материала сопротивляться действию касательных и нормальных напряжений.

Стальные валы (пластичный материал) разрушается путём среза по плоскости поперечного сечения, т.к. прочность стали на растяжение высока (рис. 7.9,а). При этом ввиду больших пластических деформаций к моменту разрушения концевые сечения поворачиваются друг относительно друга на несколько полных оборотов.

Хрупкий материал (чугун, пластмасса) плохо сопротивляется растягивающим напряжениям и поэтому трещины разрушения пройдут по линиям, нормальным к направлению главных растягивающих напряжений, т.е. по винтовым линиям, касательные к которым образуют угол 45^° с осью стержня (рис. 7.9,б).

Рис. 7.9.

Анизотропный материал – древесина имеет низкую прочность на скалывание вдоль волокон и поэтому разрушается от касательных напряжений, действующих вдоль оси стержня, - появляются продольные трещины (рис. 7.9,в)

Как отмечалось в п. 2.8, любое упругое тело при деформации накапливает энергию, причём энергия эта равна работе внешнего усилия на соответствующей деформации. При кручении работу совершает крутящий момент М_кр на угле закручивания j. Пока деформация упругая, зависимость между ними линейная (рис.7.10) и работа А равна площади треугольника с катетами, равными конечному значению крутящего момента и соответствующему значению угла закручивания (по аналогии с графиком на рис.2.28 и формулой (2.36):

. (7.17)

Рис.7.10.

Подставив в (7.17) выражение для j (7.8), получим формулу для потенциальной энергии упругой деформации при кручении

. (7.18)

7.5. Кручение стержней прямоугольного сечения

В инженерной практике часто кручению подвергаются стержни, имеющие не круглое, а прямоугольное (иногда треугольное, эллиптическое и другое) сечения. В этих случаях гипотеза плоских сечений неприменима, т.к. после деформации поперечные сечения таких брусьев искривляются (депланируют).

Если депланация сечений происходит без препятствий, кручение называется свободным. При наличии связей, препятствующих свободной депланации отдельных сечений, кручение называется стеснённым. При стеснённом кручении в поперечных сечениях бруса возникают, кроме касательных, нормальные напряжения. В дальнейшем рассматривается только свободное кручение.

Точные расчёты стержней прямоугольного сечения получены методами теории упругости, которые довольно сложны и громоздки и поэтому в курсе сопротивления материалов не излагаются. Однако окончательные результаты приводятся в виде формул, аналогичных формулам расчёта на кручение круглого стержня.

а б

Рис. 7.13

Так, для прямоугольного стержня (рис.7.13) наибольшее касательное напряжение и угол закручивания определяются по формулам

, (7.19)

. (7.20)

Здесь J_K и W_K – геометрические характеристики, заменяющие J_P и W_P:

J_K – момент инерции при кручении;

W_K – момент сопротивления при кручении.

Они определяются по формулам

W_K = αhb², (7.21)

J_K = βhb³, (7.22)

где h – длинная сторона прямоугольного сечения;

b – короткая его сторона;

a, b и g - коэффициенты, зависящие от отношения h/b, приводятся в справочниках.

Распределение касательных напряжений в прямоугольном сечении показано на рис.7.13,б. Наибольшие напряжения, определяемые по формуле (7.19), возникают у поверхности посередине длинных сторон (в точках B и D).

Напряжения, возникающие у поверхности сечения посередине коротких сторон, (в точках A и С) меньше, они определяются по формуле

τ = γ ∙ τ_max. (7.23)

В углах и в центре напряжения равны нулю.

7.6. Расчёт цилиндрических винтовых пружин с малым шагом

В технике широко применяются пружины различных типов. Наибольшее распространение имеют цилиндрические винтовые пружины растяжения – сжатия с малым шагом, то есть с малым углом наклона проволоки (рис. 7.14,а).

Обозначим: D = 2R– средний диаметр пружины; d = 2r – диаметр проволоки; n – число рабочих витков; λ – осадка пружины.

Пусть пружина подвергается растяжению центрально приложенной силой Р.

Чтобы установить расчётные формулы для напряжений, разрежем её мысленно на две части по любому витку плоскостью, перпендикулярной оси витка. Удаляя нижнюю часть пружины, рассмотрим условие равновесия оставшейся (верхней) её части (рис. 7.14,в). Угол наклона витка a не превышает 8 – 10°, т.к. пружина с малым шагом. Поэтому можно считать cos a » 1 и sin a » 0 и пренебречь нормальной силой N и изгибающим моментом; поперечная сила Q = P (рис. 7.14,б). Очевидно, влияние отброшенной части на рассматриваемую может быть учтено приложением к месту разреза витка поперечной силы Q и крутящего момента M_кр = PR

Рис. 7.14

Таким образом, в сечении пружины имеется две группы касательных напряжений (рис.7.14,г):

1) напряжения от среза, равномерно распределённые по сечению

; (7.24)

2) напряжения от кручения, максимальное значение которых

. (7.25)

Как видно из картины распределения напряжений, в точке сечения витка на внутреннем радиусе (в точке А) касательные напряжения τ′ и τ′′ совпадают по направлению. Поэтому максимальные напряжения в пружине

,

или

. (7.26)

В большинстве случаев расчёта пружины (проволока относительно тонкая) и скобка в формуле (7.26) становится равной единице. Тогда условие прочности пружины будет

. (7.27)

Напряжения от среза следует учитывать при расчёте “толстых” пружин, таких, например, как применяемых в подвеске железнодорожных вагонов.

Пружины должны сочетать прочность с большой деформативностью, поэтому они изготовляются из высокопрочных материалов с обязательной термообработкой. Величина [τ] зависит не только от материала, но и от диаметра проволоки: чем он меньше, тем [τ] больше. Так, для закалённой пружинной стали [t] = 35 – 50 кН/см² (d = 12 – 6 мм); для хромоникелевых сталей [t] = 70 кН/см² (d = 12 – 6 мм).

Для определения осадки пружины λ (взаимного перемещения её торцов вдоль оси) воспользуемся энергетическим методом. Сила Р совершает работу на перемещении λ. Так как зависимость между ними линейная, эта работа будет равна

A = ½ Pλ.

В пружине, работающей на кручение, накапливается энергия деформации, которую можно найти по формуле (7.18). При этом M_кр = PR, l = 2pRn – длина пружинной проволоки, J_P = pd⁴/32 = pr⁴/2. Получим

.

Приравняв работу внешней силы и потенциальную энергию упругой деформации, получим формулу для λ:

,

. (7.28)

В заключение отметим, что кроме рассмотренных цилиндрических пружин постоянного сечения с пологим наклоном витка, существует целый ряд других конструкций: конические, призматические, фасонные. При этом шаг пружины может быть как постоянным, так и переменным, а сечение витка не только круглой, но и прямоугольной формы. Характеристика таких пружин, как правило, нелинейная, а методы расчёта здесь не рассматриваются.

 

Список литературы

1. Сопротивление материалов / Под ред. А. Ф. Смирнова. – М.: Высшая школа. 1975. – 480 с.

2. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: Наука. 1999. – 536 с.

3. Писаренко Г.С., Агарев В.А., Квитка А.Л., Понков В.Т., Уманский Э.С. Сопротивление материалов. – Киев: Вища школа. 1973. – 672 с.

4. Сопротивление материалов: Методические указания к расчётно-графическим работам №1-3. Издание Санкт-Петербургского института машиностроения. – 1992.

5. Сопротивление материалов: Методические указания к расчётно-графическим работам №4-5. Издание Санкт-Петербургского института машиностроения. – 1992

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1 Введение 1.1. Задачи и методы сопротивления материалов 1.2. Реальный объект и расчётная схема 1.2.1. Модели материала 1.2.2. Модели формы 1.3. Классификация сил (модели нагружения) 1.4. Напряжения 1.5. Общие принципы расчёта на прочность Глава 2. Центральное растяжение - сжатие прямого бруса 2.1. Усилия и напряжения в поперечном сечении бруса 2.2. Условие прочности 2.3. Деформации. Закон Гука 2.4. Расчёт стержня с учетом собственного веса 2.5. Статически неопределимые системы 2.5.1. Расчет на действие нагрузки 2.5.2. Температурные напряжения 2.5.3. Монтажные напряжения 2.6. Механические характеристики материалов 2.6.1. Испытание на растяжение малоуглеродистой (мягкой) стали 2.6.2. Испытание на сжатие различных материалов 2.6.3. Определение твердости 2.6.4. Сравнение свойств различных материалов 2.7. Допускаемые напряжения 2.8. Потенциальная энергия упру гой деформации Глава 3. Напряжённое и деформированное состояние в точке. Теории прочности 3.1. Компоненты напряжений. Виды напряженных состояний 3.2. Линейное напряжённое состояние 3.3. Плоское напряжённое состояние 3.3.1. Прямая задача 3.3.2. Обратная задача 3.4. Объёмное напряжённое состояние. Общие понятия 3.5. Деформации при объёмном напряжённом состоянии Закон Гука 3.5.1. Обобщённый закон Гука 3.5.2. Относительная объёмная деформация 3.6. Потенциальная энергия упругой деформации 3.7. Теории прочности 3.7.1. Задачи теорий прочности 3.7.2. Классические теории прочности 3.7.3. Понятие о новых теориях прочности Глава 4. Геометрические характеристики плоских сечений 4.1. Статические моменты. Определение положения центра тяжести 4.2. Моменты инерции 4.3. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей 4.4. Зависимость между моментами инерции при повороте осей 4.5. Главные оси и главные моменты инерции 4.6. Радиус инерции и момент сопротивления Глава 5. Плоский изгиб прямого бруса 5.1. Конструкция опор. Определение реакций. Внутренние усилия 5.2. Дифференциальные и интегральные зависимости между q, Q и M 5.3. Построение эпюр поперечной силы Q и изгибающего момента M 5.4. Нормальные напряжения при чистом изгибе 5.5. Условие прочности по нормальным напряжениям. Рациональные формы сечений 5.6. Касательные напряжения при поперечном изгибе 5.7. Распределение касательных напряжений в балках различных профилей. Условие прочности 5.8. Напряженное состояние при поперечном изгибе. Потная проверка прочности 5.9. Касательные напряжения в полках тонкостенных профилей. Центр изгиба 5.10. Потенциальная энергия упругой деформации Глава 6. Сдвиг 6.1. Напряжения и деформации при чистом сдвиге 6.2. Проверка прочности и допускаемые напряжения при чистом сдвиге 6.3. Расчет заклепочных и сварных соединений Глава 7. Кручение прямого бруса 7.1. Основные понятия. Определение крутящих моментов 7.2. Напряжения и деформации при кручении стержней круглого и кольцевого сечений 7.3. Расчет валов на прочность и жесткость 7.4. Разрушение валов из различных материалов. Потенциальная энергия упругой деформации 7.5. Кручение стержней прямоугольного сечения 7.6. Расчёт цилиндрических винтовых пружин с малым шагом