Графики нормального закона распределения плотности вероятности

Для нормального закона распределения вероятность того, что случайная составляющая погрешности измерения не выходит за пределы интервала:

±3s, составляет 0,9972; ±2,6s, составляет 0,99;

±2s, составляет 0,95; ±1,6s, составляет 0,9.

Погрешность, равная 3s, принята в радиотехнике за максимальную. При этом из тысячи выполненных измерений только три их погрешности D выходят за пределы интервала (-3s, 3s).

Нормальный закон распределения случайных погрешностей широко ис­пользуется при обработке результатов измерений, что объясняется следую­щими обстоятельствами. Случайная погрешность измерения некоторой ве­личины складывается из многих составляющих, вызванных различными причинами, зачастую трудноуловимыми. Учитывая отмеченное, принимают, что при прямых измерениях закон распределения случайных погрешностей многократных наблюдений некоторой величины соответствует нормальному. Для получения достаточно точных результатов обработки таких наблюдений их число п должно быть не меньше 20.

Закон распределения Стьюдента.Наиболее часто этот закон применяется в процессе обработки результатов небольшого числа многократных наблюдений физической ве­личины (2 £ п < 20) и справедлив, когда случайные погрешности наблюдений распределены по нормальному закону. Этот закон описывает распределение плотности вероятности значений случайной величины t = (-x_и)/s, где = (x₁ + x₂ +...+ x_n)/n — среднее арифметическое значение выполненного ряда наблюдений (x₁, x₂, ..., x_n) величины x_и. Он отличается от нормального зако­на тем, что учитывает число выполненных наблюдений п и задается функци­ей, зависящей от относительного аргумента t = D/s , где D = - x_и — случайная погрешность:

,

Здесь п ³ 2; Г(n/2), Г((n-1)/2) — гамма-функции (интегралы Эйлера).

Из анализа следует, что закон распределения Стьюдента при числе наблюдений п³ 20 практически совпадает с нор­мальным нормированным законом, а при п < 20 отличается от него тем значительнее, чем меньше число наблюдений п. Отличия состоят в увеличении рассеяния относительных погрешностей t около центра t = 0 по мере уменьшения числа наблюдений. Следовательно, при этом сле­дует ожидать уменьшения вероятности Р попадания погрешностей слу­чайной величины t в заданный интервал (-t_r1, t_r1).

Случайная погрешность определяется по формуле D_СЛ= t(Р_д, п)s, где t(Р_д, п) -коэффициент Стьюдента, характеризующий протяженность распределения.

Коэффициенты Стьюдента t(Р_д, п)

n	Pд
0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99
	1,00	1,38	1,96	3,08	6,31	12,71	31,82	63,66
	0,82	1,06	1,34	1,89	2,92	4,30	6,97	9,93
	0,77	0,98	1,25	1,64	2,35	3,18	4,54	5,84
	0,74	0,94	1,19	1,53	2,13	2,78	3,75	4,60
	0,73	0,92	1,16	1,48	2,02	2,62	3,37	4,03
	0,72	0,91	1,13	1,44	1,94	2,45	3,14	3,71
	0,71	0,90	1,12	1,42	1,90	2,37	3,00	3,50
	0,71	0,89	1,11	1,40	1,86	2,31	2,90	3,36
	0,70	0,88	1,10	1,38	1,83	2,26	2,82	3,25
	0,69	0,87	1,07	1,34	1,75	2,13	2,60	2,95
	0,69	0,86	1,06	1,32	1,71	2,06	2,49	2,80

При одной и той же доверительной вероятности с уменьшением числа наблюдений доверительный интервал увеличивается, т.е. точность из­мерений ухудшается.

Равномерный закон распределения плотности вероятности. Данный закон применяется тогда, когда случайная погрешность измерений с идентичной плотностью вероятности принимает любые значения в ог­раниченном интервале. Этот закон характерен для случайных погреш­ностей при измерении непрерывных физических величин методом дис­кретного счета, при преобразовании таких величин в аналого-цифровых преобразователях (погрешности дискретности, квантования), а также для погрешностей отсчета показаний со шкал приборов.

Все возможные случайные погрешности результата измерений, опи­сываемых равномерным законом, расположены в интервале (-D_m, D_m), где D_m — максимальная погрешность. Аналитически плотность вероят­ности равномерного закона распределения определяется по формуле

Вероятность того, что случайная пог­решность результатов измерений D нахо­дится в некотором симметричном интервале (-D_r1, D_r1), определяется выражением (2.5) при подстановке в него значения плотности вероятности r(D) = 1/(2D_m):

На графике площадь заштрихованного прямоугольника с основанием 2D_r1 и высотой 1/(2D_m) численно равна вероятности.