Границы НСП

Всегда остаются неисключенные систематические пог­решности (НСП), определяемые с некоторой погрешностью. Обычно НСП при повторных измерениях с применением других приборов (аналогичного типа) изменя­ются, но остаются в заданных границах. Поэтому по­добные НСП принято рассматривать как случайные с равномерным симметричным законом распределения плотности вероятности и опреде­лять каждую границами ±q_i. Причем в качестве границы q_i принимают, например, пределы допускаемых основных и дополнительных погреш­ностей используемых средств измерений.

Общую границу q = q(Р_д) нескольких НСП вычисляют по формуле

где т — число неисключенных систематических погрешностей измере­ний, k — коэффициент, зависящий от т, принятой доверительной ве­роятности Р_д и соотношения между составляющими q_i. Данная вероят­ность Р_д должна быть равна той, которая была принята при расчете доверительной границы случайной погрешности результата измерения. На практике чаще всего задают доверительную вероятность Р_д = 0,95 и реже Р_д = 0,9.

Выбор коэффициента k может выполняться в соответствии с т и графиками, где l=q₁/q₂ — отношение границ; q₁ — максимальная граница; q₂— граница, ближайшая к q₁.

Рд	m	k
0,95	¾	1,1
0,99	> 4	1,4
£ 4	по графику k(l)|m на рис. 2.9

Границы погрешности результата измерения.В общем случае на по­грешность результата измерения с многократными наблюдениями влияют случайные погрешности и НСП. Методика оценки:

1. Пусть q — граница НСП, — оценка СКО результата измерения, a — доверительная граница случай­ной погрешности результата измерения. Причем оценки q и e вы­полнены при одинаковой доверительной вероятности.

2. Если , то НСП пренебрегают, считая их несущественными по сравнению со случайными погрешностями, и полагают, что граница погрешности ре­зультата измерения .

3. При , пренебрегают случайной погрешностью по сравне­нию с НСП и полагают, что граница погрешности результата измерения D = q.

4. В случаях, когда , границу погрешности ре­зультата измерения вычисляют по формуле D =|q| + e, где q — общая граница НСП, — доверительная грани­ца случайной погрешности.

краткая Методика обработки результатов

многократных измерений

Предполагается, что наблюдения выполняются одним экспериментатором в одинаковых условиях, одним и тем же прибором.

1. Проводят N единичных измерений Y’₁...Y’_N.

2. Исключают известные систематические погрешности из результатов и получают исправленные значения Y₁...Y_N.

3. Находят среднеарифметическое и принимают его за результат измерений (Y_cp).

4. Вычисляют оценку среднеквадратического отклонения результатов:

а) определяют s* (точность метода при единичном измерении);

б) находят относительное значение среднеквадратической погрешности ( точность метода при единичном измерении).

5. Вычисляют оценку среднеквадратического отклонения результатов измерений (это погрешность результата после обработки многократных измерений).

6. Проверяют гипотезу о том, что распределение результатов наблюдений нормальное (например, построением гистограммы).

7. Вычисляют доверительные границы случайной погрешности:

а) задаются доверительной вероятностью, учитывая объем выборки N;

б) вычисляют доверительные границы для данного закона распределения.

3. Правила суммирования погрешностей

Погрешности сложных измерительных приборов зависят от погрешностей отдельных узлов (блоков), также как и погрешности ряда систем и комплексов зависят от погрешности отдельных РИП, преобразователей, мер.

1. Систематические погрешности, если они известны или достаточно точно определены, суммируют алгебраически (т.е. с учетом собственных знаков).

Когда виды погрешностей не определены, их учитывают как случайные (рандомизинируют).

2. Случайные погрешности (среднеквадратические оценки) суммируют с учетом их взаимных корреляционных связей. Например, для двух погрешностей:

, где r Î(-1;+1) - коэффициент корреляции. На практике обычно принимают r = 0;-1;+1. При r = 0 суммирование геометрическое. При r = ±1 суммирование алгебраическое: s_å = s₁ ± s₂.

Некоррелированные погрешности (вызванные независимыми причинами) всегда суммируются геометрически: .

Чем больше n, тем ближе итоговое распределение к нормальному.

При оценке влияния частных погрешностей на результат используют критерий ничтожной погрешности, в соответствии с которой, если вклад от составляющей i-й погрешности приводит к изменению суммарной не более, чем на 5%, то погрешность признается ничтожной.

Принимая во внимание, что d²_å = (d_{å k})² + d²_i , критерий ничтожности имеет вид: d_i £ 0.3d_å. Иногда рассматривают совокупность ничтожных погрешностей:

При округлении окончательного результата могут быть опущены: одна малая составляющая, если она в 5 раз меньше наибольшей из суммируемых составляющих, две составляющие, если они в 7 раз меньше, и четыре, если они в 8 раз меньше наибольшей. Но делать такое заключение можно только после суммирования коррелированных составляющих и приведенных числовых значений погрешности к одному виду.

4. Погрешности косвенных измерений

Особенность косвенных измерений состоит в том, что величина А, значение которой надо измерить, является известной функцией ƒ ряда других величин — аргументов х₁, х₂, …, х_m. Данные аргументы подвер­гаются прямым измерениям, а величина А вычисляется по формуле

A = ƒ(х₁, х₂, …, х_m).

Таким образом, при косвенных измерениях искомое значение находится на основании известной функциональной зависимости по результатам прямых измерений. Определение погрешности базируется на двух теоремах:

Теорема 1:

Если функциональная зависимость линейная:

Y =C₀ + C₁X₁ + C₂X₂ + ... + C_gX_g,

где C₀, C₁, ...,C_g - постоянные коэффициенты; X₁, X₂, ..., X_g - измеряемые прямым путём аргументы; тогда абсолютные систематические погрешности суммируются с теми же коэффициентами: DY_систå = C₁DX₁ + C₂DX₂ +,...,+ C_дDX_д, а среднеквадратическая погрешность находится по формуле:

,

где DX_i - абсолютные систематические погрешности измерения X_i;

s_i - среднеквадратические погрешности измерения X_i.

Теорема 2:

Если функциональная зависимость представляет собой нелинейную дифференцируемую функцию Y = f (X₁,X₂,...,X_g), тогда абсолютные систематическая и случайная погрешности определяются по формулам:

.

Если погрешности коррелировы, тогда:

,

где K_ij - корреляционный момент: K_ij =r_ij s_is_j.

Величину r - выбирают равной 1 при наличии корреляции или 0, если её нет.

Необходимо отметить, что при косвенных измерениях ошибки вычислений должны быть на порядок меньше погрешностей непосредственных измерений аргументов, в противном случае надо учитывать погрешности вычислений как независимые составляющие.

Доверительные границы случайной погрешности и неисключенных систематических погрешностей. При косвенных измерениях, как и при многократных наблюдениях прямых измерений, оценка результата измерения является случайной величиной и отличается от истинного значения. По­этому практический интерес имеет оценка доверительного интервала , в котором находится А_и с заданной доверительной веро­ятностью Рд, где ± D_г — доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения.

При условии распределения плотности вероятности погрешностей ре­зультатов измерения всех аргументов функции по нормальному закону граница D_г вычисляется по формуле:

где t(Рд, п) - коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности Рд; — оценка среднеквадратического отклонения случайной погрешности косвенного измерения.

Граница q неисключенных систематических погрешностей результата косвенного измерения вычисляется без учета знака по формуле

здесь q_i — заданные границы результатов измерений неисключенных систематических погрешностей аргументов; k — поправочный коэффи­циент, значения которого вычисляются с учетом задаваемой доверительной вероятности Рд для оценки значения q, а также числа т составляющих q_i.

Границы погрешности результата косвенного измерения. Суммарные границы ±D погрешности результата косвенного измерения вычисляют с учетом границы НСП q и доверительной границы e случайной погрешности в зависимости от отношения , где — оценка среднеквадратического отклонения случайной погрешности косвенного измере­ния. Порядок такого учета аналогичен соответствующему учету для однократных прямых измерений, где коэффи­циент К зависит от задаваемой доверительной вероятности (Рд = 0,95 или Рд = 0,99) и отношения .