Распределение напряжений по длине волокон
Выше уже говорилось о том, что от матрицы к волокну нагрузка передается касательными напряжениями τ, действующими на границе раздела. Эти напряжения, как и нормальные напряжения в волокнах, на концах волокна и в средней его части не одинаковы.
Разработано несколько моделей, позволяющих установить распределение напряжений. Приводят эти модели к качественно одинаковым результатам. Мы рассмотрим модель, предложенную Б. Розеном.
Рис. 2.12. К расчету распределения напряжений по длине волокна при растяжении однонаправленной композиции с дискретными волокнами: а – модель элемента КМ; б – элементарный отрезок волокна; в – элементарный отрезок матрицы в деформированном состоянии
Модель (рис. 2.12) представляет собой волокно радиусом rв и длиной 2l, жестко связанное с тонким цилиндрическим слоем матричного материала толщиной rм, который в свою очередь окружен оболочкой радиусом rк из материала с осредненными свойствами КМ. Пусть ось волокна совпадает с осью z, а ось х проходит перпендикулярно к ней через середину волокна. Предполагается, что волокна несут только нормальные напряжения 
, а матричный слой – только касательные напряжения τ, которые в этом слое локализуются, а в оболочке с осредненными свойствами композиции отсутствуют. Нагружена модель внешним 
, параллельным оси волокон, при этом торцы волокна в передаче напряжений участия не принимают.
Выделим элементарный отрезок волокна длиной dz (рис. 2.12, б) и запишем условие равновесия сил, действующих на него. Этот отрезок нагружен касательными напряжениями τ по периферии и нормальными 
по торцам. Суммарная сдвиговая нагрузка, действующая на него, равна 
, а суммарная нормальная 
. Условие равновесия запишется так:
(2.32)
Условие равновесия сил, действующих на всю модель в направлении оси z, при условии, что матрица не несет нормальных нагрузок, можно записать в виде:
где:
– нормальное напряжение в осредненном КМ.
Под действием касательных напряжений τ матричный слой и вместе с ним осредненный КМ сдвигаются по отношению к волокну. Для элементарного отрезка матрицы (рис. 2.12, в) тангенс угла сдвига равен:
где:
– осевое перемещение волокна;
U – осевое перемещение осредненного КМ.
Предположим, что волокно, матрица и осредненный КМ деформируются упруго и, следовательно, подчиняются закону Гука. В силу малости угла g можно считать, что tgg » g, и записать
Продифференцируем обе части этого равенства по z, учитывая при этом известные из сопротивления материалов соотношения 
и 
, где e – относительная деформация, Е и G – модули нормальной упругости и сдвига. Тогда получим:
или
здесь e и 
– относительные линейные деформации осредненного КМ и волокна соответственно; Ек и Ев – модули Юнга осредненного КМ и волокна соответственно; G – модуль сдвига матрицы.
После преобразований получим дифференциальное уравнение относительно касательных напряжений τ:
,
где:
Решение уравнения для τ имеет вид:
где знаки sh и сh обозначают гиперболический синус и косинус, соответственно:
;
Используя граничные условия τ = 0 при z = 0 и 
при z = 1 (начало координат находится в середине волокна), приходим к уравнениям, устанавливающим зависимость касательных и нормальных напряжений от координаты z:
Нормальные напряжения в волокне увеличиваются от концов волокон к его середине, достигая при z = 0 максимального значения:
Касательные напряжения имеют наибольшее значение на конце волокна (при z = l) и уменьшаются до нуля в его середине (при z = 0). Распределение нормальных и касательных напряжений по длине волокна представлено на рис. 2.13.
Рис. 2. 13. Распределение нормальных и касательных напряжений по длине волокна при растяжении КМ, содержащего 70% (объемн.) волокон
(отношение модулей упругости волокна и матрицы Ем/Gм = 65)
Если принять, что rк >> rм, то безразмерный параметр β » 2G/[rвЕв(rм – rв)]. И тогда
(2.33)
где:
– максимальное нормальное напряжение в бесконечно длинном волокне.
Если матрица проявляет пластические свойства, то концентрация касательных напряжений у концов волокна уменьшается, однако характер измерения напряжений по длине остается тем же.