Мұндай есеп жеке атом үшін Шредингер теңдеуінің көмегімен шешіледі:
(2.1)
Мұндағы ∆= ∂2\∂x2 +∂2\y2+ ∂2\∂z2 Лаплас операторы; V0( )- потенциалдық энергия; -радиус векторы, -толқындық функция; Е- электронның толық энергиясы.
Қатты дене көптеген электрондар мен атом ядроларынан тұратын жүйе. Мұндай жүйенің энергетикалық спектрін де Шредингер теңдеуін шеше отырып алуға болады. Бірақ қатты денеде әсерлесу саны көп болғандықтан Шредингер теңдеуі күрделенеді:
(2.2) m, M- электронның және ядроның массалары, электрон үшін және ядро үшін радиус-векторлар, Zj, Zn –ядролардың атомдық номерлері, электрондар және ядролар арасындағы ара қашықтықтар, Е – кристалдың энергиясы, электрондар және иондар жүйесінің өзіндік толқындық функциясы. Ол электрондардың, ядролардың кинетикалық энергияларын, ядролардың, электрондардың және электрондардың ядролар мен потенциалдық энергияларының әсерлесуін сипаттайды. Ψ- функциясы да орасан тәуелсіз айнымалыларға тәуелді. (1см3атомда @5*1022 ядро бар), әр атомда орасан көп электрон бар. Сондықтан бұл теңдеуді шешу үшін 2 жуықтау қолданылады:
1) Адиабаталық - ядро массасы электрон массасынан өте көп ауыр, яғни электронға қатысты ядроларды қозғалмайды деп қарастыруға болады. Демек, олар бір–біріне тәуелсіз қозғалады және энергия алмаспайды. Сондықтан, толқындық функцияны келесі түрде көрсетуге болады:
(2.3)
(2.3) (2.2), онда электрон үшін Шредингер теңдеуі келесі түрде жазылады:
(2.4)
2)бір электронды- жеке бір электронды бөліп алып, басқа электрондар кеңістікте таралған заряд ретінде қарастырылады. Бір электрон осы зарядтың сыртқы электр өрісінің әсерінде орналасады (Хартри-Фок әдісі). Бұл өрістің кернеулікті деп белгілейміз. Осылайша, кристалл үшін Шредингер теңдеуіне
(2.5)
басқа потенциалдық функция кіреді. Оны деп белгілейміз: (2.6)
Оны жиі эффективті өрісдеп атайды. Оқшау атомда потенциалдық функцияның түрі – гипербола (2.3-сурет).
2.3-сурет. Оқшау атомдағы электронның потенциалдық энергиясы
Кристалда мұндай гиперболалар кезектескен түрде болады (1-сурет,1). Жеке атомдардың потенциалдық функция мәндерінің қосындысы W (r) ескеріп, суреттегі тұтас сызықпен берілген U(r) функциясын береді. Шредингер теңдеуін шешу үшін осы функцияның аналитикалық мәнін табу керек. Оны Крониг және Пенни тапқан. U(r) функциясының басты сипаты – оның периодтылығы.