Бір ғана х координатына тәуелді электрондардың потенциалдық функциясы үшін Крониг – Пенни шешімін қарастырамыз (бір өлшемді кристалл үшін) .
U(х) функциясы бірдей кезектескен тік бұрышты потенциалды тосқауылдар ретінде жуықталады (2.4-сурет).
2.4-сурет. Крониг-Пенни бойынша кристалда электронның потенциалдық функциясын жуықтау
Тосқауыл ені в, потенциалдар ені а, тосқауыл биіктігін энергиясы U* деп белгілейік. Онда а+в=с шамасы - кристалл тордың периоды. Осындай периодты өрісте орналасқан е- энергиясы тосқауыл биіктігінен аз деп аламыз, Е< U*. Сонда потенциалдық функция соs (λa) + [P\ (λa) ] sin (λa) = cos ψ түрге келеді, . Оны шешу үшін F(λa) және cosψ графиктерін тұрғызамыз (2.5-сурет). Қандайда бір ψ1 таңдап алып, сәйкес cosψ1 табамыз.
у= cosψ1 биіктігінде абцисса осіне параллель түзу жүргізіп, оның F(λa) графигімен қилысу нүктесін табамыз. Осы нүкте абциссасы ψ1 –ге сәйкес берілген теңдеудің түбірі болады. Cosψ + 1-ден -1-ге дейін ғана өзгеретін болғандықтан теңдеудің сол жағын екі көлденең параллель пунктир сызықтар арасындағы аумақта ғана қарастырамыз.
2.5 сурет. Кронинг-Пенни бойынша Шредингер теңдеуінің шешімін
графикалық бейнелеу
Осы түзулердің F(λa) графигімен қиылысқан нүктелерінен а осіне перпендикуляр түсіріп, теңдеу түбірлерін табамыз. Олар абсцисса осінің кейбір учаскелерінде ғана орналасады. Бұл учаскелер а осінде тік сызықшалармен белгіленеді. Осылайша, , яғни Е мәндері дискретті зоналық сипатта болады. Егер осы көрсетілген облыстармен а осіне тігінен қойсақ, онда 2.1,г-суретте бейнеленген суретті аламыз.
Сонымен, сандық қарастыру да кристалда электрондардың энергетикалық спектрінің құрылымы зоналық екеніне алып келеді. 2.5-суреттең көрініп тұр : рұқсат етілген мәндері мәндерге сол жағынан жанасады. Сондықтан оларды келесі түрде жазуға болады: , - зонаның номері, . Онда электрондардың энергиясы , ; .