Үшөлшемді периодты потенциалдық өрісте орналасқан электрондардың күйлері туралы есепті шешу үшін Шредингер теңдеуінен тағы да ψ толқындық функциясын анықтау қажет. Үшөлшемді кристалл үшін U(ź) потенциалдық функциясы барлық х, у, z үш осьтер бойынша период бірдей және а-ға тең.
Бұл есептің нақты шешімі мұнда келтірілмейді. Бір өлшемдегі кристалдағы сияқты үшөлшемді кристалда да электрондардың энергетикалық спектрі тыйым салынған зоналармен бөлінген жеке энергетикалық зоналардан тұрады.
2.6 сурет. Үшөлшемді кристал үшін потенциалдық функциясы.
Бір өлшемді кристалл үшін электрон энергиясы потенциалдық шұңқыр ені, тосқауыл мөлдірлігі 1\р және зона номерімен келесі өрнекпен байланысады: .
Үшөлшемді кристалда бұл өрнек былай өзгереді (Р үлкен):
Яғни үшөлшемді кристалда энергия мәндері nx., ny, nz үш квант сандарына (олардың әрқайсысы = 1,2,3,...) тәуелді болады.
Бұл сандардың әрбір үштігіне белгілі бір энергия деңгейі сай келеді.
Егер аx. = аy= аz , онда .
Жақшаның ішіндегі өрнекті қандайда бір вектор ұзындығының квадраты ретінде беруге болады: .
Онда . Бос электрондардың энергиясы болғандықтан, шамасын зонадағы электрондардың қандай да бір импульсі деп тұжырымдауға болады . Шын импульстен өзгешелігі, векторын кристалдағы электронның квазиимпульсі деп атайды.
Импульс мәні тең болғандықтан және электрондар үшін екенін ескеріп, келесі формуланы аламыз . Демек, ұзындық бірлігінде қанша толқын ұзындығы жататынын көрсететін толқындық вектор .
заңы - дисперсия заңы параболамен бейнеленеді. Және электрон үшін дисперсия заңына электрон кристалда барлық энергия мәнедеріне ие бола алмайтындықтан қисығынан да тыйым салынған зоналарға сәйкес учаскелер алынып тасталу керек, яғни қисығы кейбір нүктелерде үзілу керек.
Электрондардың энергиясы үздіксіз өзгеріп, ал шекараларында үзілетін мәндерінің облысы Бриллюэн зоналары деп аталады.
Графикте Бриллюэн 1- зонасының шекаралары - . 2- зонасы - дан - ға дейін және + -дан + -ға дейін; 3-зона - -дан - -ға дейін және + -дан + және т.с.с.
2.7 сурет. Кристалдың зоналық құрылымы.