В соответствии с общей теорией приема, оптимальная временная обработка принимаемого на фоне стационарного белого шума сигнала u(t) сводится к вычислению корреляционного интеграла, который для скалярного вещественного ожидаемого сигнала x(t, α) с известным параметром α записывается в виде:
. (11.4)
Если а – параметр запаздывания ожидаемого сигнала относительно исходного x(t), то выражение (11.4) аналогично интегралу свертки, описывающему реакцию линейного фильтра с импульсной характеристикой h(t) на сигнал u(s):
.
Эта аналогия позволяет использовать для вычисления корреляционного интеграла линейный фильтр, импульсная характеристика которого согласована с ожидаемым сигналом. Согласование сводится к выбору соответствующей импульсной характеристики фильтра, исходя из условия .
Для рассматриваемого случая приема сигнала на фоне стационарного белого шума импульсная характеристика согласованного фильтра зеркальна по отношению к ожидаемому сигналу:
,
где – запаздывание максимума сигнала на выходе фильтра, которое для импульсного сигнала должно быть ;
α– постоянный масштабный множитель;
– длительность сигнала.
Если на вход фильтра, согласованного с сигналом , поступает аддитивная смесь u(t) сигнала x(t,α) и шума n(t), то напряжение на выходе фильтра при , определяется по формуле:
. (11.5)
В частном случае при n(t) = 0 , где – "автокорреляционная" функция ожидаемого сигнала.
Из выражений (11.5) следует, что выходной сигнал согласованного фильтра с точностью до постоянного множителя совпадает с взаимокорреляционной функцией входного и ожидаемого сигналов, а при этот сигнал с той же точностью совпадает с "автокорреляционной" функцией ожидаемого сигнала в момент времени . Энергетическое отношение сигнал-помеха на выходе согласованного фильтра достигает величины, равной , т. е. совпадают с соответствующим отношением при корреляционной обработке. Следовательно, согласованный фильтр – это оптимальное с точки зрения получения максимального отношения сигнал-шум устройство обработки сигналов.
Реализация аналоговых согласованных фильтров сложна, особенно для широкополосных сигналов. Кроме того, аналоговые фильтры не допускают перестройки параметров. Поэтому во многих случаях целесообразна реализация операций линейной согласованной фильтрации с помощью цифровых устройств (фильтров).
Цифровым согласованным фильтром называется цифровой фильтр с импульсной характеристикой
,
где – число дискретных элементов ожидаемого сигнала.
В дальнейшем для простоты положим и будем считать .
Из сравнения импульсных характеристик аналогового и цифрового согласованных фильтров (СФ) следует, что принципы их работы в основном совпадают. Отличия выходных характеристик этих фильтров вызваны только дискретизацией входной последовательности и квантованием выборок.
По аналогии с (11.5) алгоритм работы цифрового согласованного фильтра (ЦСФ) может быть представлен в виде:
. (11.6)
Цифровые фильтры, реализующие алгоритм (11.6), называют нерекурсивными или фильтрами с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтрами).
Если в (11.6) произвести замену переменных и положить , получим выражение:
, (11.7)
которое называется "автокорреляционной" функцией ожидаемого дискретизированного сигнала. Автокорреляционная функция сигнала на выходе ЦСФ имеет периодический характер по частоте. При малой частоте дискретизации сечения автокорреляционной функции могут перекрываться, что приведет к искажению выходного эффекта. Однако, если частота дискретизации выбрана в соответствии с теоремой отсчетов, эти искажения несущественны.
Как следует из (11.7), при поступлении на вход ЦСФ ожидаемой цифровой последовательности , сигнал на его выходе совпадает (с точностью до постоянного множителя) с автокорреляционной функцией. Поскольку автокорреляционная функция симметрична относительно своего максимума, то выборки последовательности на выходе ЦСФ будут сначала возрастать и достигнут максимального значения, затем спадут до нуля. Огибающая выходной последовательности повторяет огибающую автокорреляционной функции. Описанное свойство выходных сигналов ЦСФ формально совпадает с хорошо известным свойством аналоговых согласованных фильтров.