Пусть пункты приема и источники радиоизлучения расположены в плоскости хОу (рис. 14.6). Положение i-го пункта характеризуется вектором , истинное положение пеленгуемого объекта – вектором . В каждой точке приема измеряется угловое направление – пеленг . Измеренное значение угла вследствие ошибок пеленгования отличается от истинного на угол . Поэтому нельзя достоверно назвать точку х, у, в которой находится цель. Можно говорить лишь о послеопытной плотности вероятности нахождения цели в некоторой области, тем резче ограниченной, чем точнее измеряются пеленги . Зная послеопытную плотность, можно найти оптимальные оценки координат цели и потенциальные точности измерения.
Используя теорему умножения послеопытную плотность вероятности координат при , где К – нормирующий множитель. Значения (β1, β2, …) считаем здесь измеренными в один и тот же момент времени, для которого определяктся местоположение цели.
Принимая ошибки пеленгования случайными и независимыми, а закон их распределения нормальным, имеем:
, (14.1)
где – дисперсия ошибок i-ro пеленга (i – 1, 2, …, п).
С целью представления ошибки пеленгования функции возможных координат х, у излучающего объекта опустим перпендикуляр длиной из точки Ц (рис. 13.6) на линию пеленга. Считая ошибку малой, получим:
, (14.2)
где – ориентировочно определенное расстояние от цели до i-гo пункта. Если ввести единичный орт п°, нормальный к линии пеленга, который связан с координатными ортами соотношением то отрезок определяется величиной скалярного произведения:
. (14.3)
Подставляя соотношения (14.3) и (14.2) в (14.1), послеопытную плотность вероятности представим в виде:
,
или
где – постоянная величина, а
. (14.4)
. (14.5)
Оптимальные оценки х*, у* удовлетворяют условиям:
,
откуда
и
где, как это следует из (14.5), АС–В2>0.
Необходимые для вычисления оптимальных оценок значения коэффициентов А, В, С, D, Е и F рассчитываются по формулам (14.5) после измерения пеленгов ; величина вначале определяется грубо и уточняется в последующих циклах измерений.
Тела неопределенности или позволяют судить не только об оптимальных оценках координат цели, но и о потенциальной точности измерения. Чем уже пик тела, тем выше точность. Сечения этих тел плоскостями или в соответствии с (14.4) и условием представляют собой кривые второго порядка – эллипсы, для которых точка (х*, у*) является центром симметрии. Уравнения эллипсов упрощаются при параллельном переносе осей координат в точку (х*, у*) и их повороте до совмещения с главными осями эллипса. При параллельном переносе начала координат в центр эллипса исчезают члены с первыми степенями переменных, и выражение (13.4) преобразуется к виду:
,
где Н – некоторая постоянная.
В случае совмещения координатных осей с главными полуосями эллипса исчезает член с произведением переменных, т. е.
, (14.6)
где A1 и С1 – новые постоянные.
Чтобы определить A1 и С1 без дополнительных преобразований, воспользуемся произвольным характером выбора ориентации осей координат х, у на рис. 14.6. Поскольку при повороте осей на произвольный угол а в сторону отсчета пеленга углы заменяются на , то при ориентации – координат параллельно главным осям эллипса получим:
. (14.7)
Из последнего уравнения следует:
.
Подставляя (14.7) в (14.6) и заменяя и , приходим к двумерному нормальному послеопытному распределению в новых координатах:
. (14.8)
Семейство эллипсов (эллипсов ошибок), являющихся проекциями сечений поверхности плоскостями р = const на плоскость , описывается уравнением вида:
,
| Рис. 14.7. Эллипсы ошибок |
В силу (14.8) для точек, находящихся на эллипсе с параметром k и в достаточной близости от него, плотность вероятности равна . Поэтому вероятность попадания цели в элемент площади эллипса в виде эллиптического кольца будет:
.
Тогда вероятность попадания цели внутрь эллипса ошибок с полуосями составит:
,
откуда, в свою очередь, .
Таким образом, по заданной вероятности Ро можно найти параметр эллипса ошибок и его ориентацию для произвольных значений пеленгов и дальностей .
Результаты расчета в случае пеленгации в двух пунктах представлены на рис. 14.7, из которого следует, что при фиксированных ошибках угловых измерений точность определения координат существенно зависит от местоположения объекта. Точность измерения наиболее высока, если угол пересечения линий положения достаточно близок к прямому, и заметно снижается, если линии положения пересекаются под острыми углами.
Описанную выше методику анализа можно распространить на случай, когда кроме пеленгов измеряются разности хода , либо измеряются только разности хода до каких-либо пар точек. Обозначим все измеряемые обобщенные координаты, установив единую их нумерацию ( =1, 2, ...). Считая ошибки измерения независимыми, имеем:
.
Из-за аналогии выражений и , сохраняя предположение о малости ошибок, придем к формулам (13.5), (13.7) и т. д.
Уточним выбор обобщенных координат, исходя из целесообразности упрощения расчета. Если i-e измерение определяет пеленг, то можно считать . Если j-e измерение определяет гиперболу, то в качестве можно понимать пеленг, соответствующий касательной к гиперболе, проведенной в окрестности возможного местонахождения цели. Координаты эквивалентного пеленгатора могут быть произвольно выбраны как координаты какой-либо точки, принадлежащей этой касательной. Вместо произведения в формулы подставляется кратчайшее линейное расстояние между двумя гиперболами вблизи цели, для которых значения разности хода отличаются на величину стандартного отклонения .
В окрестности базы . На расстояниях же, много больших баз, , где – угол между нормалью к базе и направлением на излучатель; Bj – размер j-й базы.
Использование всех формул для определения координат совокупности целей требует определенного запаса в производительности вычислительных средств. Поэтому наряду с рассмотренной методикой, может использоваться методика вычисления «по минимуму данных». Дополнительное усложнение расчета потребуется, если, в отличие от изложенного, отсчеты координат производятся неодновременно. Тогда во избежание нарастания ошибок для обеих рассмотренных методик может потребоваться приведение отсчетов к одному моменту времени (экстраполяция исходных данных).