На вход коррелятора при наличии сигнала поступают случайные колебания:
каждое в виде аддитивной смеси полезного сигнала и помехи. Все эти колебания считаем стационарными. Сигналы вначале считаем отличающимися только неслучайным амплитудным множителем, затем перейдем к случаю, когда их начальные фазы отличаются на случайную величину. Мгновенные значения сигналов и помех полагаем распределенными по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием.
Сигналы и помехи в каждом из каналов, а также помехи разных каналов считаем независимыми. Положим далее, что приемные устройства обоих пунктов идентичны, а спектры сигналов и помех равномерны в пределах полосы пропускания.
Тогда нормированная взаимно-корреляционная функция будет:
. (14.9)
Отношения средних мощностей сигнала и помехи в каналах обозначим:
.
Пусть время запаздывания обнаруживаемого сигнала скомпенсирована разностью задержек в каналах коррелятора (рис. 14.6). Полагая в (14.9) = 0, получим коэффициент корреляции входных колебаний:
.
Суммарные мощности (отнесенные к единичному сопротивлению) будут и .
Наряду со случаем, когда сигнал есть, может быть противоположный, когда его нет, а те же суммарные мощности, что и в предыдущем случае, приходятся на одни помехи. Существенно, что в отличие от активной импульсной локации здесь нельзя рассчитывать на возможность измерения уровня мощности помехи, так как наличие стационарного сигнала неизбежно скажется на результате измерений. Поэтому, составляя выражения для и применительно к гипотезе об отсутствии сигнала, альтернативные выражениям, недостаточно приравнять нулю и . Тем самым учитывался бы факт изменения суммарной мощности при выключении сигнала, чего установить не удается. Поэтому в случае отсутствия сигнала полагаем:
Для обеих гипотез каждая из мощностей и остается одинаковой. При отсутствии фазовых сдвигов колебаний решение о справедливости той или иной гипотезы (14.1) или (14.4) принимается по величине интеграла
, (14.10)
который сравнивается с некоторым порогом, зависящим от величины мощностей Р1 и Р2. Порог может быть постоянным, если в каналах используется автоматическая регулировка уровня входных колебаний (или их амплитудное ограничение). Интеграл (14.10) будем называть корреляционным. Величина Т в этом интеграле представляет собой время интегрирования произведения случайных процессов.
Если произведение ширины П спектра частот колебаний на время интегрирования Т существенно больше единицы, то в силу центральной предельной теоремы теории вероятностей случайная величина z имеет нормальный закон распределения как при отсутствии, так и при наличии сигнала. Чтобы записать соответствующие условные плотности вероятности и , достаточно в обоих случаях вычислить первый и второй моменты величины z, т. е. два математических ожидания:
По величине этих моментов в каждом случае можно найти дисперсию величины интеграла z. Для колокольной аппроксимации амплитудно-частотных характеристик радиочастотных цепей приемника и при одинаковой их полосе П на уровне 0,46 имеем:
,
где – коэффициент увеличения дисперсии из-за наличия сигнала:
.
Отношение математического ожидания к стандартному отклонению vcn по аналогии с ранее рассмотренными случаями назовем параметром обнаружения и обозначим буквой q.. При этом
.
Зная условные математические ожидания и дисперсии нормальных величин (при отсутствии и наличии совмещенных по времени и фазе сигнальных составляющих), можно написать соответствующие условные плотности вероятности:
(14.11)
Ширина кривых и неодинакова; при наличии сигнала вторая кривая несколько расширяется пропорционально величине отношения . Пользуясь (14.11), нетрудно рассчитать качественные показатели обнаружения при отсутствии случайного фазового сдвига между сигналами x1(t) и x2(t).
Не ограничиваясь этим, дополнительно введем случайный сдвиг фаз между сигналами. Тогда следует перейти к новому алгоритму обнаружения – сравнению с порогом не самого корреляционного интеграла, а его модульного значения Z. Последнее может быть обеспечено, например, путем квадратурной обработки. Другой способ получения Z – это перемножение колебаний у1(t) и y2(t) на разных промежуточных частотах с последующим интегрированием напряжения разностной частоты на контуре и детектированием огибающей. Условные плотности вероятности величины модульного значения Z могут быть получены аналогично соответствующим выражениям:
Построив законы распределения рп(Z) и рсп (Z), легко найти качественные показатели обнаружения для произвольно выбранного порога (соответствующего пороговому значению , а именно:
. (14.12)
Выражая q0 через F, соотношения (14.12) для D и F объединяем в одно, описывающее семейство кривых обнаружения:
. (14.1)
Из соотношения (14.13) вытекает следующая методика практического определения качественных показателей обнаружения.
Пусть заданы параметры сигнала и системы обработки . Для каждого заданного значения условной вероятности ложной тревоги F требуется найти соответствующее значение условной вероятности правильного обнаружения D.
| Рис. 14.8 Кривые обнаружения для сигналов: с полностью известными параметрами (штрих-пунктир); со случайной начальной фазой (пунктир); со случайной амплитудой и начальной фазой (сплошная) |
Возможно также решение обратной задачи, когда по заданным значениям определяются требуемые значения параметров системы обработки. В этом случае произведения можно найти в соответствии с соотношением (14.11):
,
где величина вычисляется по формуле (14.13) для заданных и , а величина q определяется по кривым, (рис 14.8) для заданного значения D и расчетного значения .
Пусть, например, заданы:
мГц и требуется найти минимально необходимое значение Т. В этом случае , а = 1,05 1. Далее по заданным величинам D = 0,9, Fpacч F = 10-6 находим требуемую величину q 6,4. Тогда по формуле (14.13) легко определить минимально необходимые значения Т = 420, Т = 140 мкс.