Ортогональные сигналы

В общем случае ортогональные сигналы можно сформулировать так. Пусть , – некоторая полная ортонормированная система функций. Тогда любой сигнал , с полосой частот F_с можно представить в виде:

,

где – число отсчетов на интервале T_с по теореме Котельникова,

– коэффициенты разложения.

Геометрически сигнал можно представить вектором в N-мерном пространстве с координатами . Сигналы , будут ортогональны, если для любого i – го сигнала выполняется соотношение:

.

Рассмотрим в качестве примера базисные функции:

,

где частоты , выбираются из условия ортогональности функций

Тогда сигналы

 

образуют ортогональную систему.

Существует бесконечно большое число ортогональных систем функций, на основе которых могут быть сформированы ортогональные коды. При этом сами сигналы получают фазовой манипуляцией несущего колебания по закону кодовых комбинаций.

В общем случае построение ортогональных кодов связано с матрицами Адамара, являющимися квадратными ортогональными матрицами с элементами ±1. Поэтому строки (или столбцы) матрицы Адамара можно использовать для формирования комбинаций ортогонального кода (символ – 1 заменяется символом 0).

Укажем два положения, касающихся существования и построения матриц Адамара.

1. Матрицы Адамара имеют порядок либо N=2, либо , k = 1,2,....

2. Матрица , порядка , полученная из матрицы Адамара , подстановкой матрицы Адамара , вместо элементов +1 и матрицы вместо элементов –1, есть также матрица Адамара.

Таким образом, можно легко строить матрицы Адамара более высоких порядков.

Рассмотрим в качестве примера матрицы Адамара

.

 

Используя указанный способ, нетрудно получить матрицу Адамара порядка N= 8:

.

Если первая строка и первый столбец матрицы Адамара состоят из единиц, то говорят, что матрица записана в нормальной форме.

Ортогональные коды можно построить на основе системы функций Уолша, которые достаточно просто генерируются.

Рис. 1.9. Функции Радемахера

Система функций Уолша впервые была описана математиком Уолшем в 1923 г. В настоящее время существует ряд определений, позволяющих строить различные модификации этой системы, отличающиеся интервалом определения и порядком следования функций. Приведем сначала определение системы, практически совпадающей с системой, введенной Уолшем, в которой упорядочение функций производится по числу пересечений ими нулевого уровня. Система обычно обозначается как , где – период функций. Далее будем рассматривать конечные системы, состоящие из функций. Введем предварительно функции Радемахера (рис. 1.10).

(1.12)

где .

Рис. 1.10. Графики функций Уолша

Из выражения (1.12) следует, что эти функции являются дискретными и принимают только два значения: на подинтервалах , и – 1 на остальных подинтервалах. На рис. 1.9 представлены первые четыре функции .

Система функций Радемахера является ортогональной на интервале [0, 1], но неполной, так как на том же интервале существуют другие функции, ортогональные им.

Система функций Уолша , является расширением системы функций Радемахера до полной системы и определяется как

,

где – значение –го разряда в записи числа i в коде Грея

Получение первых восьми функций Уолша в соответствии с выражением (1.12) наглядно показано в табл. 1.1, а на рис. 1.10 приведены их графики.

Таблица 1.1

Функции Уолша

i	Двоичное представление числа i	Представление числа i в коде Грея

 

Функции Уолша являются дискретными (принимают значения ±1), периодическими с периодом, равным 1. Они удовлетворяют условиям ортогональности, нормировки и мультипликативности:

,

где – условная запись числа, двоичное представление которого получается поразрядным сложением по модулю два двоичных представлений чисел i и j. Следующий пример поясняет нахождение . Пусть i = 7, j = 10. Запишем i и j в двоичной системе исчислений и сложим их поразрядно по модулю два:

.

Полученное двоичное число является двоичной записью числа k. Таким образом, .

Другая система функций Уолша, упорядоченная по числу пересечений нулевого уровня, – это система .

Здесь буквосочетание al связано с фамилией Walsh, а первые буквы указывают на аналогию, в смысле четности и нечетности этих функций, с функциями и .

Функции являются четными, а – нечетными. Параметр i равен половине числа пересечений нулевого уровня соответствующими функциями на интервале единичной длины.

Функции системы связаны с функциями и следующими соотношениями: .

Рис. 1.11. Структурная схема устройства генерирования функции Уолша

На рис. 1.11 в соответствии с соотношениями (10.12) представлена структурная схема простого устройства для генерирования первых 16 функций Уолша.

Функции Уолша не обладают хорошими корреляционными свойствами. Многие из них имеют большие боковые лепестки как АКФ, так и ВКФ. По этой причине они применяются, в основном, в синхронных многоканальных системах.