Для решения задачи обнаружения необходимо иметь соответствующие априорные (доопытные) сведения о статистических характеристиках помех и отраженных от целей сигналов. Эти сведения позволяют найти методы обработки принимаемых полезных сигналов на фоне помех, оптимальные с точки зрения тех или иных критериев.
Результатом воздействия помех является частичная или полная потеря информации, переносимой полезным сигналом. Приемное устройство, осуществляя обработку входного сигнала, являющегося суммой полезного сигнала и помехи, должно обеспечить извлечение из принятого сигнала возможно большего количества необходимой информации.
Основная задача приемника состоит в том, чтобы на основании принятой информации решить наилучшим в каком-то определенном смысле способом, есть ли данный сигнал в данной реализации (задача обнаружения или различения), или определения параметров полезного сигнала (задача восстановления). В связи с этим должны быть выработаны критерии, позволяющие по принятому сигналу оптимальным способом решить поставленную задачу.
Задача выбора оптимального способа обработки сигналов и выработки при этом соответствующих критериев составляет содержание теории статистических решений. Собственно, решение этой задачи определяет конструктивные особенности и алгоритмы обработки сигналов в современных РЛС. Некоторые положения этой теории приводятся ниже.
С целью наглядного представления положений теории статистических решений введены геометрические понятия пространства принимаемого сигнала (пространства наблюдений).
Пусть отсчеты принимаемого сигнала, являющегося суммой полезного сигнала и помехи, осуществляются в дискретные моменты времени t1, t2, …tn. Отсчетные значения принятого сигнала y1, y2,… yn называют выборочными значениями, а их совокупность – выборкой. Число п выборочных значений называют размером или объемом выборки.
Совокупность выборочных значений представляют геометрически в виде радиус-вектора Y в n-мерном пространстве, где y1, y2 ,…,yn координаты конца вектора. Так как величины y1, y2 ,…,yn случайны, то вектор Y также является случайным вектором. Множество возможных значений вектора Y составляет пространство наблюдений V. Общая вероятность попадания конца вектора Y в произвольную точку пространства:
.
По аналогии вводят понятия вектора полезного сигнала и вектора помех и соответственно им понятие пространства полезного сигнала и пространства помех.
После нахождения вектора принятого сигнала Y мы не можем однозначно судить о векторе полезного сигнала X. Речь может идти только об апостериорной плотности вероятности ω(X/Y) = ω(х1, х2, …, хп / у1, у2, … уп), т.е. условной плотности вероятности X, если задан вектор Y.
В соответствии с формулой Байеса апостериорная плотность вероятности можно представить в следующем виде:
где ω(X) – априорная плотность вероятности вектора X; – безусловная плотность вероятности вектора Y; – условная плотность вероятности Y, если задан X.
Безусловная плотность вероятности определяется соотношением:
,
где Vx обозначает, что интегрирование осуществляется в пространстве сигнала Х.
Подставляя значение ω(Y) получим:
. (3.1)
Если вектор Х может иметь конечное число возможных значений х1, х2, …, хr с априорными вероятностями р(х1), р(х2), …, р(хr), то формула (3.1) принимает вид:
где p (X/Y) – апостериорная вероятность вектора X, если задан вектор Y;
p (X) – априорная вероятность вектора X.
Следовательно, для нахождения искомой апостериорной вероятности (или плотности вероятности) необходимо знать Р (X) или ω(X), т. е. априорные характеристики полезного сигнала, и ω(Y/X), определяемые априорными характеристиками полезного сигнала и помехи, атакже характером их композиции.
Для определения апостериорных вероятностей р(X/Y) или плотностей вероятностей ω (X/Y) необходимо знать ω(Y/X), которая при заданном значении Y будет зависеть только от X:
.
Функция L (X) называется функцией правдоподобия. В зависимости от того, является ли Х дискретной или непрерывной величиной, функция правдоподобия L(X) может принимать конечное или бесконечное множество значений.
Задача обнаружения, как отмечалось, состоит в том, чтобы в результате обработки принятого сигнала Y установить, содержится ли в нем полезный сигнал Х или нет.
Пусть, как и раньше, принимаемый сигнал является суммой полезного сигнала и помехи: .
Полезный сигнал может принимать два значения: х1, и х0 с априорными вероятностями соответственно р(х1) и р(х0). Так как сигнал Х наверняка имеет одно из этих значений, то справедливо соотношение
Таким образом, возможны две взаимно исключающие альтернативные гипотезы: в принятом сигнале содержится полезный сигнал (гипотеза Н1) и отсутствует полезный сигнал (гипотеза Н0). Решающее устройство приемника по данным выборки должно установить, какая из этих гипотез является истинной.
В геометрической интерпретации поставленная задача может быть сформулирована следующим образом. Пространство принятых сигналов V условно разбивается на две части: область u1, соответствующую принятию гипотезы Н1 о том, что Х = х1, и область u0, соответствующую принятию гипотезы Н0 о том, что Х = х0. Это значит, что если вектор принятого сигнала окажется в пределах области u1, то принимается гипотеза Н1. Если же вектор сигнала Y окажется в области u0, то принимается гипотеза Н0.
В этих условиях могут иметь место два значения апостериорной вероятности р(X/Y): p(X1/Y) – условная вероятность наличия полезного сигнала Х при данном значении выборки Y, p(x0/y) – условная вероятность отсутствия Х при данном значении выборки Y.
Аналогично можно рассматривать два значения функции правдоподобия
L(X): L(х1) = ω(Y/X) – условная плотность вероятности выборки Y при наличии полезного сигнала X: L(х0) = ω(Y/x) – условная плотность вероятности выборки Y при отсутствии X.