Определим характеристики обнаружения или рабочие характеристики приемника РЛС при его работе с полностью известным (детерминированным) сигналом. Для этого надо вычислить условные плотности вероятности напряжения z(t) вырабатываемого приемником при наличии и отсутствии сигнала в смеси y(t), т.е. вычислить условные вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги.
Поскольку входной шум n(t) является гауссовским случайным процессом, то выходной шум приемника как линейное преобразование этого процесса имеет также гауссово распределение с нулевым средним и дисперсию:
.
Плотность вероятности
. (3.16)
При действии случайная величина z(t) имеет тоже гауссовскую плотность вероятности с математическим ожиданием и дисперсией :
. (3.17)
Отношение правдоподобия для детерминированного сигнала запишется:
.
Оптимальное решающее правило описывается формулой (3.3). Правило сохраняется при переходе к монотонным функциям от .
В частности, применив логарифмическую функцию, получим:
.
Тогда порог
.
В соответствии с правилом обнаружения (3.5) условную вероятность ложной тревоги определим как вероятность превышения порога z0 случайной величиной z, если на вход обнаружителя действует только шум:
. (3.18)
Вероятность правильного обнаружения определяется вероятностью превышения порога zо случайной величиной z, если на входе обнаружителя действуют сигнал и шум:
. (3.19)
Выражения (3.18 и 3.19) можно интерпретировать как заштрихованные площади под кривыми F и D (рис. 3.1).
Для вычисления вероятности F воспользуемся формулой (3.6), подставив туда выражение для , и после замены переменной получим:
, (3.20)
где – Ф(и) есть интеграл вероятности, функция ошибок, функция Крампа, таблицы интеграла приведены в справочниках;
zо– порог;
по– среднеквадратическое (эффективное) значение выходного шума приемника РЛС.
График интеграла вероятности представлен на рис. 3.1.
| Рис. 3.3 График функции |
Рассматривая зависимость F от относительного порога, приходим к очевидному заключению о том, что для уменьшения F необходимо увеличивать напряжение порога zо по сравнению с эффективным значением выходного шума. Величину порога zо можно выбирать непосредственно по заданному уровню F, что соответствует критерию Неймана – Пирсона.
Вероятность правильного обнаружения вычисляется аналогично из формулы (3.19):
,
функция нечетная.
Окончательно
. (3.21)
Отсюда следует, что при заданном уровне шумов по величина D зависит не только от порога zо, но и от величины энергии ожидаемого сигнала Э. Зависимость может быть построена качественно из анализа площади под кривой на рис. 3.1 и количественно – в соответствии с соотношением (3.21). В частности, при Э = 0 значение при энергии сигнала, равной пороговой Э = Э0, значение D = 0,5 и при вероятность правильного обнаружения . Чем выше уровень порога z0 и меньше условная вероятность ложной тревоги F; тем больше кривая двигается вправо. При этом для обеспечения той же вероятности D требуется больший уровень полезного сигнала. Окончательно удобно записать:
| Рис. 3.4.Характеристики обнаружения полностью известного сигнала |
Семейство зависимостей вероятности правильного обнаружения от отношения сигнал- шум при фиксированных значениях вероятности ложной тревоги называют характеристиками обнаружения. Кривые обнаружения сигнала с полностью известными параметрами (детерминированного) сигнала приведены на рис. 3.4. По этим кривым можно определить пороговый сигнал (пороговое отношение сигнал-шум) – сигнал, который при заданной вероятности ложной тревоги F можно обнаружить с требуемой вероятностью правильного обнаружения. Пороговый сигнал в оптимальном приемнике характеризуется энергией и не зависит от формы сигнала. На практике порог устанавливают по величине дисперсии шума на выходе коррелятора . По таблицам или вычислением интеграла вероятности определяют значение аргумента при заданной вероятности ложной тревоги. При известной дисперсии шума (помехи) определяют порог .
На практике работа РЛС с детерминированными сигналами, как правило, не встречается, поэтому приведенные результаты следует рассматривать как потенциальный предел, достижимый при обнаружении сигнала в белом шуме.
Пороговым отношением сигнал-шум называется минимальное отношение, при котором сигнал еще обнаруживается с заданной вероятностью Р на фоне шума, вызывающего ложную тревогу с фиксированной вероятностью . Пороговое отношение сигнал/шум легко определяется по характеристике обнаружения рассматриваемого сигнала . Умножая пороговое отношение сигналшум на уровень шума, получаем пороговый сигнал, точнее его амплитуду, по которой можно определить пороговую энергию Э0. Величина порогового отношения сигнал/шум определяется как свойствами принимаемого сигнала, так и способом его обработки. Пороговое отношение зависит, в частности, от того, известны ли заранее параметры этого сигнала (амплитуда, начальная фаза, частота, длительность, период повторения или нет, подвергается ли этот сигнал флуктуациям и каков их закон, является ли структурная схема применяемого обнаружителя оптимальной или нет и т.п.).
Пусть при оптимальном обнаружении прямоугольного детерминированного радиоимпульса длительностью следует обеспечить вероятность D= 0,85 при F=10–8. По кривым обнаружения рис. 3.4 находим , что соответствует энергии порогового сигнала или его уровня в децибелах:
При этом мощность порогового сигнала
.
Если мощность сигнала или его энергия больше соответствующих пороговых значений, то при установленном значении F=10–8 условная вероятность правильного обнаружения больше чем 0,85. Зафиксировав уровни вероятностей правильного обнаружения и ложной тревоги, определим из (3.22) соответствующее им – пороговое отношение сигнал-шум (по напряжению). Результаты расчетов для D= 0,5 и D– 0,9 и различных значений F сведены в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Пороговые отношения сигнал-шум для полностью известного сигнала
| D | F | ||||||||
| 10–1 | 10–2 | 10–3 | 10–4 | 10–5 | 10–6 | 10–7 | 10–8 | 10–9 | |
| 0,5 | 1,282 | 2,32 | 3,09 | 3,72 | 4,26 | 4,72 | 5,2 | 5,61 | 6,0 |
| 0,9 | 2,56 | 3,60 | 4,37 | 5,0 | 5,5 | 6,03 | 6,48 | 6,89 | 7,38 |
В заключение заметим, что квадрат порогового отношения сигнал-шум равен удвоенному коэффициенту различимости (видимости) приемника РЛС.