Наша задача записать отношение правдоподобия для такого сигнала принятого РЛС.
Совместную плотность вероятности принятой реализации сигнала и шума и случайных неизмеряемых параметров согласно теореме умножения вероятностей можно представить в виде:
. (3.23)
Поскольку по условию нормировки интегрирование условной плотности вероятности всегда дает единицу , после интегрирования левой и правой частей выражения (3.23) по всем значениям получим:
.
Отношение правдоподобия запишется в виде:
. (3.24)
Отношение плотностей вероятностей под знаком интеграла можно рассматривать как условное (частное) отношение правдоподобия при фиксированных значениях параметров . При этом сигнал становится полностью известным, и для условного отношения правдоподобия справедливо выражение .
Чтобы получить искомое отношение правдоподобия для сигнала со случайными параметрами, надо усреднить (проинтегрировать) частное отношение правдоподобия по всем значениям с учетом их плотностей вероятности:
.
При этом условное отношение правдоподобия в этом случае можно представить в виде :
,
где .
Окончательное выражение (безусловное) для отношения правдоподобия при произвольной плотности вероятности случайных параметров сигнала принимает вид:
. (3.25)
Таким образом, методика определения отношения правдоподобия для сигналов со случайными параметрами по принятой реализации сводится к следующему:
1) вычислению корреляционного интеграла, энергии ожидаемого сигнала и частного отношения правдоподобия при фиксированных параметрах ;
2) усреднению частного отношения правдоподобия по случайным неизмеряемым параметрам. Позже мы конкретизируем вид выражения (3.25) для определенных моделей сигнала.
Алгоритм обнаружения сигнала со случайной начальной фазой.Целью наших рассуждений является запись отношения правдоподобия для такого сигнала.
Пусть обнаруживаемый сигнал задан в виде ,
где – случайная начальная фаза сигнала.
Для получения отношения правдоподобия вычислим предварительно энергию сигнала и корреляционный интеграл при фиксированном значении параметра . По формуле косинуса суммы сигнал представим в виде:
. (3.26)
Обозначим:
и запишем ожидаемый сигнал с учетом введенных обозначений:
.
На основании выражения (3.26) условное значение корреляционного интеграла можно записать:
. (3.27)
Найдем условное значение энергии сигнала, т.е. значение энергии при условии, что начальная фаза принятого колебания случайна. При малом изменении амплитуды ХМ и фазы за период колебаний высокой частоты энергия практически не зависит от начальной фазы , т.е., .
Напомним, что все случайные начальные фазы равновозможные, поэтому полагаем их распределение равномерным в пределах от 0 до с плотностью вероятности .Подставив в (3.26) полученное выражение для корреляционного интеграла и энергии и, учитывая плотность вероятности , найдем выражение для отношения правдоподобия ,
или, вводя модифицированную функцию Бесселя первого рода нулевого порядка, имеем окончательно:
, (3.28)
где z – модульное значение корреляционного интеграла, определяемое для принятой реализации y(t) .
Алгоритм обнаружения сигнала со случайной начальной фазой и амплитудой. При рассмотрении этого вопроса теории обнаружения сигналов нашей целью остается запись выражения . Ожидаемый сигнал задан моделью вида:
,
где В – случайный множитель, с плотностью вероятности Рэлея при среднеквадратичном значении, равном единице. Для независимых величин В и совместная плотность вероятности определится:
.
Вычислим корреляционный интеграл и энергию . По аналогии можно получить:
(3.29)
где выражения для z ,Э, совпадают с описанными ранее за исключением того, что энергия зависит от случайного множителя В. При частном значении В = 1 средняя энергия равна Э . Используя общую формулу (3.2) и табличные интегралы, приведем выражение для отношения правдоподобия в окончательном виде:
. 3.30