Понятие оптимального фильтра, его импульсная характеристика

 

Из основ теории оптимального обнаружения (мы рассмотрели основы этого вопроса в главе 3) следует, что основной операцией является вычисление частного значения функции взаимной корреляции (корреляционного интеграла) между принимаемым сигналом y(S) и ожидаемым сигналом :

. (4.1)

Рис.4.1. Взаимно корреляционное устройство

В зависимости от способа вычисления интеграла (4.1) различают два метода приема радиолокационных сигналов: корреляционный прием и метод оптимальной (согласованной) фильтрации.

При корреляционном методе (рис. 4.1) эта операция может быть выполнена взаимно корреляционным устройством (ВКУ), которое состоит из устройства задержки на время , смесителя, обозначен знаком Х и интегрирующего устройства. ВКУ вычисляет каждый раз только одно значение взаимно корреляционной функции, соответствующее определенному времени задержки . Чтобы найти максимум этой функции (максимум z , т.е. выходного напряжения приемника РЛС), необходимо точно знать время прихода сигнала, т.е. . Однако этот случай обычно не наблюдается на практике.

Так, в любых дальномерах время прихода сигнала несет информацию о дальности до цели и поэтому заранее неизвестно.

Являясь линейной системой с переменными параметрами, ВКУ не обладает инвариантностью по отношению к времени прихода, а поэтому при неизвестном времени прихода сигнала устройство должно быть многоканальным.

Поэтому рассмотрим важную для практики возможность реализации ВКУ в виде простого одноканального линейного устройства с постоянными параметрами, вырабатывающего на выходе z( ) так, что временная задержка входного сигнала вносит только соответствующую задержку в сигнал на входе этого устройства.

Такой фильтр в дальнейшем будем называть оптимальным, так как он реализует основную операцию оптимальной обработки - вычисление корреляционного интеграла. В литературе его часто называют согласованным фильтром, относя термин «оптимальный фильтр» не только к обработке сигналов РЛС в виде (4.1), но и к более сложным случаям обработки, например, на фоне небелого шума. Так как рассмотрение ведется для помех в виде белого шума, то термины «оптимальный» и «согласованный» фильтры являются синонимами, Формула (4.1) имеет характер интеграла свертки, который устанавливает связь между напряжением на входе и выходе линейной системы (линейного фильтра).

Действительно , где – импульсная характеристика фильтра.

Импульсная характеристика или функция веса описывает реакцию системы на входное напряжение в виде единичного импульса , поданного в момент времени t = 0 (рис. 4.2). Естественно, что импульсная характеристика принимает отличные от нуля значения лишь при t > 0, так как следствие не возникает ранее вызвавшей его причины.

Рис. 4.2. Пояснение определения импульсной характеристики

Подберем линейный фильтр так, чтобы напряжение на его выходе воспроизводило с точностью до произвольного множителя и с некоторым временным запаздыванием t₀ взаимно корреляционную функцию (значение z(t) )

. (4.2)

Смысл (4.2) состоит в том, чтобы на выходе фильтра последовательно во времени воспроизводились значения корреляционного интеграла с некоторой постоянной задержкой на t₀. Использование временной развертки позволит при этом установить факт превышения порога для произвольного запаздывания сигнала: чем больше запаздывание, тем позже сформируется корреляционный интеграл. Это соответствует положению отметки от цели на экране индикатора дальности: чем меньше расстояние до цели, тем ближе сигнал к началу развертки.

Из (4.1 и 4.2) следует, что это равенство эквивалентно следующему:

. (4.3)

Равенство (4.3) выполняется, если . Вводя новую переменную , получаем окончательное выражение для импульсной характеристики оптимального фильтра

, (4.4)

где с и t_о – постоянные, определяемые его параметрами. Выражение (4.4) показывает, что импульсная характеристика оптимального фильтра получается из функции u(t), описывающей ожидаемый сигнал х(t) путем замены в ней аргумента t на t_о-t.

Такое преобразование соответствует зеркальному отображению функции u(t) относительно прямой . Зеркальная импульсная характеристика оптимального фильтра обеспечивает наилучшее обнаружение сигнала на фоне белого гауссова шума.

Постоянные с и t₀ позволяют учесть практические особенности оптимальной обработки. Коэффициент с учитывает возможность выбора коэффициента усиления, в соответствии с которым выбирается уровень порога, обеспечивающий заданное значение условной вероятности ложной тревоги. Постоянная t₀ выбирается из условия реализуемости так, чтобы отличные от нуля значения импульсной характеристики располагались в области , т.е , где – длительность сигнала.

Напряжение на выходе оптимального фильтра с учетом (4.2 и 4.4) может быть представлено в виде:

. (4.5)

Рис. 4.3. Структурная схема фильтрового обнаружителя и временные диаграммы на его входе и выходе

Амплитуда сигнала на выходе оптимального фильтра определяет модульное значение корреляционного интеграла, необходимое при оптимальном обнаружении сигналов со случайными параметрами. Другими словами, на выходе согласованного фильтра в момент времени обеспечивается отношение сигнал-шум , т.е. такое же, как и на выходе коррелятора. Следовательно, характеристики обнаружения при использовании фильтровых обнаружителей будут такими же, как и рассмотренные ранее.

Структурная схема фильтрового обнаружителя и временные диаграммы на входе и выходе оптимального фильтра показаны на рис. 4.3.