Спектральные характеристики оптимального фильтра, его работа

Установлено, что частотная характеристика К_опт (f) фильтра

 

с точностью до произвольного вещественного множителя с и множителя запаздывания , описывается сопряженной спектральной плотностью q*(f) ожидаемого сигнала:

. (4.6)

 

Воспользуемся записью спектральной плотности через её модуль и аргумент

,

где – модуль соответствует амплитудно-частотному спектру (АЧС) ожидаемого сигнала, а аргумент – его фазочастотному спектру (ФЧС).

В сопряженном спектре (4.6) модуль тот же, а аргумент имеет противоположный знак. Поэтому

. (4.7)

Беря от обеих частей равенства модуль и аргумент, можно перейти к амплитудно - и фазочастотным характеристикам (АЧХ и ФЧХ) оптимального фильтра.

Амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра

пропорциональна амплитудно-частотному спектру ожидаемого сигнала.

Фазочастотная характеристика оптимального фильтра

Рис. 4.4. Преобразование спектра в оптимальном фильтре а – сигнала; б – белого шума

складывается из аргумента спектра ожидаемого сигнала, взятого с обратным знаком, и аргумента задержки Из(4.7) следует, что АЧХ оптимального фильтра отличается только множителем с от АЧС сигнала, для которого оптимален этот фильтр. Вследствие этого происходит относительное ослабление спектральных составляющих сигнала и шума, соответствующих менее интенсивным участкам спектра сигнала. Это ослабление тем больше, чем меньше интенсивность составляющих сигнала на этих частотах. Последние играют меньшую роль в образовании пикового значения выходного сигнала, чем наиболее интенсивные составляющие. Ослабление же спектра шума, равномерного на входе, наблюдается на всех частотах, за исключением только тех, которые соответствуют максимуму спектру сигнала.

Следовательно, в частотной области оптимальный фильтр работает по принципу "дорогу сильному".

Изложенные соображения иллюстрируются на рис. 4.4 для прямоугольного импульса. Видно, что амплитудный спектр выходного сигнала совпадает по форме с энергетическим спектром выходного шума F₂(f). Таким образом, оптимальный фильтр наилучшим образом использует различие спектральных характеристик сигнала и шума, поскольку он своей работой полностью ликвидирует это различие. Поэтому его и можно использовать лишь однократно. Отличие ФЧХ от ФЧС означает, спектральные составляющие сигнала, налагаясь друг на друга, образуют в момент времени наибольший пиковый выброс сигнала. Происходит как бы сжатие сигнала во времени.

Поворот фаз спектральных составляющих шума оптимальным фильтром не изменит их случайного характера, из-за чего результат суммирования на выходе тоже будет случайным. Вероятность того, что составляющие шума в какой-то момент времени сложатся в фазе и образуют шумовой выброс, очень мала, как и на входе фильтра.

Итак, с позиции спектрального подхода механизм работы оптимального (согласованного) фильтра заключается в следующем:

– во-первых, в устранении спектральных различий сигнала и шума;

– во-вторых, в компенсации фазовых сдвигов между спектральными составляющими, сигнала.

Из этого следует, что фильтр, оптимальный для сигнала, будет оптимален для всех других сигналов той же формы, т.е. отличающихся от сигнала только амплитудой и временным положением. Действительно, если один сигнал отличается от другого только тем, что его амплитуда в раз больше, а во времени он расположен позднее на t_t , то спектральная плотность этого сигнала отличается от спектральной плотности второго сигнала лишь множителем . Поэтому соответствующим выбором постоянных с и t₀ можно добиться полной идентичности передаточных функций фильтров, оптимальных этим сигналам. Это и доказывает оптимальность фильтра одновременно для всех сигналов данной формы. Свойство это получило название инвариантности оптимального фильтра. Это свойство весьма важно для практики.

Действительно, обычно амплитуда, запаздывание и начальная фаза принимаемого сигнала не известны. Однако вместе построения громадного числа фильтровых приемников, каждый из которых был бы оптимален для сигнала с конкретными значениями амплитуды, запаздывания и начальной фазы, для осуществления оптимального приема достаточно

Рис. 4.5. Структурная схема фильтрового оптимального обнаружителя сигнала со случайными параметрами

синтезировать один фильтровой приемник, который будет оптимальным для всех сигналов данной формы.

На рис. 4.5 приведена схема фильтрового оптимального обнаружителя, состоящего из оптимального фильтра, амплитудного детектора и порогового устройства. В радиолокации такие параметры сигнала, как амплитуда и начальная фаза, принимают случайные значения и не несут полезной информации. Наличие случайных параметров не меняет структуры оптимального фильтра, но наличие у принимаемых сигналов случайной начальной фазы приводит к необходимости использования после оптимального фильтра амплитудного детектора (или двух квадратурных каналов).