Оптимальная оценка параметра может быть определена как корень одного из уравнений:
| Рис. 5.2. Кривые послеопытной (апостериорной) плотности вероятности и стоимости ошибки . Их взаимное расположение соответствует выбранной оценке |
Эти уравнения носят название уравнений оптимальной оценки. Они являются математической интерпретацией оптимального измерителя, так как описывают операцию получения оптимальной оценки или алгоритм работы оптимального измерителя.
В общем случае оптимальная оценка соответствует "центру тяжести" распределения апостериорной плотности вероятности . Для принятой реализации y(t) (рис. 5.2). Если это распределение симметрично или близко к симметричному и имеет максимум на оси симметрии (нормальный закон), то в качестве оценки может быть принята абсцисса максимума плотности (мода).
Рассмотрим связь критерия максимума отношения правдоподобия по измеряемому параметру с точностью измерения, показателем которой является ошибка измерения . Полагая ошибки измерения малыми, логарифм отношения правдоподобия можно разложить в степенной ряд в окрестности точки . Ограничимся тремя членами результата разложения
.
В соответствии с (5.2) получим:
(5.16)
Потенцируя (5.15), получим:
, (5.17)
где .
При этом усредненное по измеряемому параметру значение отношения правдоподобия будет в окончательном виде равно:
. (5.18)
Из (5.17 и 5.18) следует, что максимуму отношения правдоподобия соответствует минимум дисперсии ошибки измерения параметра. Следовательно, измеритель, синтезированный по критерию максимума отношения правдоподобия, обеспечивает минимум дисперсии ошибки измерения параметра.