Наблюдаемые радиолокационные цели: наземный транспорт, корабли, самолеты, космические аппараты и другие объекты – могут двигаться по самым разнообразным траекториям, имеющим, как правило, случайный характер. Это вызвано тем, что движение любого реального объекта является чрезвычайно сложным, поскольку происходит под действием различных сил, зависящих от особенностей самого объекта, его конструкции, системы управления, свойств среды, в которой он движется, и других факторов. Сложность движения объекта затрудняет его изучение в полном объеме. Поэтому, как это обычно принято при исследовании, реальный процесс движения заменяется некоторой упрощенной моделью.
Математическая модель движения целей представляется в виде некоторых уравнений и ограничений, характеризующих представления о динамических свойствах объектов наблюдения и определяющих взаимосвязь их координат в различные моменты времени. С позиций теории систем совокупность используемых выражений, в общем случае векторных, описывает состояние некоторой динамической системы.
Математическая модель строится на основе всестороннего анализа поведения системы с использованием как априорных сведений, так и результатов статистических испытаний. Всегда существует противоречие между стремлением сделать модель системы наиболее полной, чтобы точнее описать реальный процесс, и необходимостью представления ее в достаточно простой форме, удобной для анализа и использования. Адекватный выбор модели системы, в данном случае – модели движения объекта, является одной из важнейших предпосылок, обеспечивающих построение алгоритма ВО, работающего с требуемым качеством.
Модели движения, используемые при рассмотрении различных объектов, разделяют на динамические и кинематические в соответствии с использованием или неиспользованием в них сведений об инерции движущегося объекта и силах, воздействующих на него. Кинематические уравнения обычно проще динамических, в них учитывается движение только центра масс без выделения причин движения, и именно они чаще всего используются для нужд вторичной обработки.
В соответствии с выбранной моделью могут рассматриваться системы, работающие в непрерывном или дискретном времени. Они могут быть описаны соответственно дифференциальными или разностными уравнениями. Эти уравнения называются уравнениями состояния динамической системы. Для задачи построения траекторий их также можно назвать уравнениями модели процесса движения целей, или просто уравнениями движения цели.
Собственно параметры траектории являются зависимой от времени векторной переменной – решением уравнения состояния динамической системы – и могут быть представлены вектором Х(t) состояния системы, элементы которого – рассматриваемые траекторные параметры некоторой j-й траектории (некоторого j-го объекта)[7].
Для системы непрерывного времени в общем случае уравнение состояния имеет вид:
,
где Е – вектор некоторых параметров, характеризующих объект, внешнюю среду, систему управления и др.;
q(∙)– векторная функция аргументов X, Е, t.
Решая уравнение состояния при некоторых начальных условиях, можно получить вектор состояния динамической системы в любой момент времени t. Тем самым будет определено движение некоторого объекта, т. е. найдена зависимость его траекторных параметров (фазовых координат) от времени, и может быть построена траектория – след от движения объекта.
Для динамической системы дискретного времени в общем случае уравнение состояния имеет вид:
,
где k, k + 1 – целочисленные индексы, обозначающие дискретные моменты времени;
f(∙) – векторная функция, характеризующая переход системы из состояния Xk в Хk+1 (изменение траекторных параметров во времени). Решение этого уравнения, как и в предыдущем случае, определит вектор состояния системы, но в дискретные моменты времени.
Динамические системы (в данном случае процессы, характеризующие движение объектов) могут быть детерминированными или стохастическими. Поскольку реальные системы и воздействие на них внешней среды не может адекватно описать ни одна детерминированная модель, в ходе построения траекторий для учета имеющихся неопределенностей и приближений чаще всего используется стохастическая модель системы. На практике, даже когда точно известна модель системы, но она описывается сложными математическими выражениями, имеет смысл упростить модель введением в нее некоторого эквивалентного случайного возмущения.
Нами в дальнейшем рассматривается случай дискретного времени, как наиболее распространенный при проведении ВО.
В общем случае для стохастических динамических систем дискретного времени уравнение состояния имеет вид:
, (9.1)
где uk – p - мерный вектор детерминированных входных воздействий в момент k,
vk – g- мерный вектор случайных возмущений в момент k.
Вектор состояния X системы имеет размерность b, соответствующую размерности физического пространства, в котором рассматривается траектория, и числу фазовых координат в нем, которыми характеризуются траекторные параметры. Например, для представления вектора состояния размерность с физического пространства равна 3 (три координаты декартового пространства), число оцениваемых параметров по каждой физической координате равно 2 (дальность и скорость при аппроксимации траектории полиномом первой степени (s = 1)); в результате имеем b=c(s+1) = 6. Размерности р и q векторов uk и vk определяются непосредственно соответствующими управляющими и возмущающими воздействиями.
Уравнение (9.1) в общем случае нелинейно, имеет стохастический характер, зависит как от детерминированных, так и от случайных параметров. Явная зависимость вектора состояния от k позволяет описывать нестационарные системы.
Наиболее часто используются линейные приближения, для которых уравнение состояния является векторным линейным разностным уравнением вида:
где Fк+1 Gk+1 Гk+1 – известные матрицы размерности bxb, bxp, bxg соответственно.
Матрица Fк+1 получила название матрицы экстраполяции. Она устанавливает связь траекторных параметров в моменты к и к + 1 при отсутствии возмущающих воздействий.
Матрица Gk+1 характеризует влияние детерминированных возмущений uk в момент k на траекторные параметры в момент k + 1.
Матрица Гk+1 характеризует влияние случайных возмущений vk в момент к на траекторные параметры в момент k + 1.
Для заданных матриц Fk+1 Gk+1 Гk+1 очередное состояние Хk+1 системы определяется текущим состоянием Xk и входными воздействиями uk , vk .
При полиномиальной аппроксимации траектории в одномерном пространстве (с = 1) переходная матрица Fk+1 имеет вид:
,
где xk+1 =tk+1-tk.
Матрица Fk+1 имеет в данном случае размерность bxb = c(s + 1)хc(s +1) и определяется представлением траектории в виде полинома степени s.
В самом простом случае уравнение состояния является одновременно и линейным, и детерминированным:
Xk+1=Fk+1Xk.
Естественно, область применения такой модели ограничена.
При построении траекторий обычно рассматривается линейная модель динамической системы, которая описывается линейным уравнением состояния:
Xk+1=Fk+1Xk + Гk+1vk, (9.2)
где vk – процесс типа белого гауссовского шума с нулевым средним и ковариационной (положительно определенной) матрицей:
Qk=M{vkvkT}. (9.3)
В уравнении (9.2) процесс vk учитывает возмущения траектории флуктуационного типа (обусловленные неоднородностью среды, неточностью системы управления и другими подобного рода факторами).
В радиолокационной практике принято цели разделять на неманеврирующие и маневрирующие. Цель называют неманеврирующей, если она движется по прямой с постоянной скоростью, т. е. по всем физическим координатам описывается полиномом не выше первой степени, и маневрирующей – во всех остальных случаях. Иногда допускают более расширенное толкование маневра. Например, для орбит спутников, которые принципиально имеют нелинейный вид, под маневром понимают лишь переход с одной орбиты на другую. Иногда любую детерминированную траекторию относят к случаю неманеврирующих целей. Если это не будет оговорено специально, мы будем понимать неманеврирующую цель как объект, движущийся прямолинейно и равномерно.
Заметим, что необходимо различать линейную модель системы, описываемую линейным уравнением состояния, и линейную траекторию движения цели. При линейной модели системы траектория (след от движения цели) может быть и линейной, и нелинейной. Строго говоря, рассмотренные выше линейные уравнения состояния только в случае (9.2) и только при использовании полинома первой степени описывают неманеврирующую цель, все другие случаи фактически относятся к маневрирующим целям.
В зависимости от особенностей наблюдаемых целей обычно выделяют преднамеренные и непреднамеренные маневры, маневры большой и малой интенсивности и т. п.
Тот или иной вид движения объекта можно рассмотреть на примере полета воздушной цели. Обычно ее траекторию делят на участки двух типов: практически прямолинейного движения и криволинейного. Используя линейные уравнения состояний, выбирая соответствующим образом их параметры, можно описать оба типа участков траектории. В первом случае движение цели описывают полиномом первой степени и представляют или моделью с отсутствием маневра, или моделью с непреднамеренным маневром малой интенсивности. Для описания движения во втором случае можно, например, использовать модель (9.2) при выборе полинома степени больше первой (детерминированная модель), можно использовать также и модель (9.3).
Обычно выделяют маневрирование по курсовой скорости и по направлению. Для летательных аппаратов маневрирование по курсовой скорости ограничено достижимым ускорением, которое редко превышает (0,8 – 1,0)g0, где – ускорение земного притяжения (ускорение свободного падения). Маневрирование по направлению ограничено допустимой перегрузкой пM – gM/g0 = 5 – 8, где gM – поперечное ускорение маневра. При движении по окружности со скоростью vM минимальный радиус rmin траектории связан с допустимой перегрузкой соотношением
.
Типичные кинематические параметры различных целей приведены в табл. 9.1.
Разработчики РЛС, как правило, стремятся упростить уравнения состояния при минимальном ухудшении точности модели. Чаще всего с этой целью, как уже отмечалось, в уравнения состояния вводится шум, который учитывает неполноту знаний об истинной модели движения и различные непредсказуемые явления.
Однако в ряде случаев, например, при точных расчетах параметров орбит спутников, траекторий ракет, необходимо использовать подробное описание моделей движения в виде нелинейных функций, а в особо сложных случаях переходить от кинематических уравнений к динамическим
Таблица. 9.1
Кинематические параметры целей
| Тип цели | Курсовая скорость, м/с | Параметры поперечного ускорения цели или скорости разворота |
| Корабль Военный: самолет ракета вертолет Гражданский самолет | 0 – 20 50 – 1000 200 – 1200 0 – 80 50 – 300 | 2 град/с 50 – 80 м/с2 до 100 м/с2 1,3 – 3 град/с 1,3 – 3 град/с |
Для траекторной обработки в некотором смысле традицией стало использование уравнений состояния, где по каждой физической координате траектория цели описывается полиномом не выше первой степени с возмущающим воздействием в виде случайного ускорения, представляемого белым гауссовским шумом с нулевым средним и некоторой дисперсией. Этой модели соответствует генеральное движение цели по прямой линии при непреднамеренном маневре шумового характера. Однако и при более сложном поведении цели данную модель используют достаточно часто, а возникающее несоответствие реальному движению компенсируют определенным увеличением дисперсии шума.
В уравнении состояния (9.2) при описании траектории в трехмерном декартовом пространстве вектор состояний имеет вид: X = [λ,x0 λxl λy0 λy1 λz0 λz1,]т; вектор возмущающих воздействий – v=[gx gу gz]T .
Матрицы в этом случае имеют вид:
,
.
Дальнейшее совершенствование модели траектории обычно вызывается необходимостью более точного учета маневров цели.
Для учета разнообразных вариантов движения цели в модели (9.2) можно увеличивать степень аппроксимирующего полинома, вводить ненулевую регулярную составляющую случайного ускорения, зашумление других фазовых координат, а также использовать негауссовские шумовые воздействия.
9.2.2. Модели отсчетов
Для ВО входной информацией, как уже отмечалось ранее, являются отсчеты Z1k, Z2k,...,Zik,..., Zmk, поступающие в k-й момент времени с выхода первичной обработки. При формировании отсчетов определение координат соответствующих им целей производится на основании анализа некоторого сигнала (обычно, как отмечалось ранее, корреляционного интеграла). При наличии шумов (помех), во-первых, возможно необнаружение отсчета от какой-либо цели или обнаружение помеховых отсчетов, во-вторых, произведенные первичные измерения имеют некоторые случайные ошибки относительно истинных значений координат цели.
Поступающие с первичной обработки отсчеты являются для вторичной обработки входными наблюдениями. При математическом описании отсчетов их можно рассматривать как некоторый поток случайных точек. Теория случайных потоков предполагает, что каждая точка потока (отсчет) появляется с некоторой вероятностью в соответствующей области определения (зоне контроля РЛС) и имеет некоторые случайные параметры (измеренные координаты). Статистика отсчетов в существенной мере достаточно стабильна для большинства ситуаций, имеющих место на практике, поскольку входные эхосигналы подверглись целенаправленному воздействию процедур первичного обнаружения и измерения, ориентированных на извлечение информации оптимальным образом.
При предположении о том, что на выходе первичной обработки каждому объекту соответствует не более одного отсчета, а каждый полезный отсчет порожден не более чем одним объектом, совокупность целевых отсчетов образует поток Бернулли. Это соответствует типичному случаю наблюдения разрешенных целей: обнаружению отсчета от цели с вероятностью DOT < 1 и измерению его параметров тем или иным методом. Ошибки нахождения параметров отсчета, как правило, описываются нормальным законом распределения с дисперсиями, определяемыми зондирующим сигналом, отношением сигнал-шум и методом измерения. При оценке нескольких координат, например, дальности, азимута, угла места, радиальной скорости, соответствующие ошибки могут быть как независимыми (чаще всего), так и зависимыми.
Точностные характеристики каждого отсчета[8] Z представляются ковариационной матрицей R ошибок оценивания первичных измерений, в которой диагональные элементы состоят из дисперсий ошибок измеряемых параметров, а недиагональные (ковариации) либо равны нулю, если соответствующие измерения независимы (коэффициент корреляции равен нулю), либо равны некоторым ненулевым значениям.
Поток ложных отсчетов в типичной ситуации является пуассоновским. Интенсивность потока ложных отсчетов определяется вероятностью ложной тревоги FOT, длительностью такта Т1 первичной обработки и размером зоны контроля РЛС. Закон распределения параметров ложного отсчета можно считать равномерным в зоне контроля РЛС (или в некоторой части этой зоны). Могут быть и более сложные модели потоков полезных и ложных отсчетов.
Параметры отсчетов, получаемые в ходе первичной обработки, представляются в станционной (радиолокационной) системе координат; параметры траекторий в соответствии с требованиями вышестоящей системы могут оцениваться в той же системе координат или в некоторой другой и, как правило, с большим числом фазовых координат (обычно за счет дополнительной оценки скорости, ускорения и т. д.).
Например, пусть параметры отсчета Z размерности а = 4 включают:
– дальность до цели r;
– азимут цели β;
– угол места ε;
– радиальную скорость цели vr, т. е.
Z = [r β ε vr ]T.
Вектор состояния X размерности b траектории, представленной в физической системе координат отсчета размерности с = 3, может быть получен для полинома первой степени в виде X = [λ,r0 λrl λβ0 λβ1 λε0 λε1]т, для полинома второй степени в виде X = [λ,r0 λrl λr2 λβ0 λβ1 λβ2 λε0 λε1 λε2]т,
где λr0, λβ0 λε0 – соответствующие координаты положения объекта в станционной (сферической в данном случае) системе координат в момент привязки измерений tпр; λrl, λβ1, λε1– соответствующие составляющие скорости объекта в станционной системе координат в момент привязки измерений tпр; λr2, λβ2, λε2 – соответствующие составляющие ускорения объекта в станционной системе координат в момент привязки измерений tпр.
Траектории, представленные не в физической системе координат отсчета, а, например, в трехмерной декартовой в виде полинома первой и второй степеней, имеют соответственно векторы состояний.
X = [λ,x0 λxl λy0 λy1 λz0 λz1]т,
X = [λ,x0 λxl λx2 λy0 λy1 λy2 λz0 λz1 λz2]т,
где λх0, λу0, λz0 – соответствующие координаты положения объекта в декартовой системе координат в момент привязки измерений tпр; λxl, λy1, λz1 – соответствующие скорости объекта в декартовой системе координат в момент привязки измерений tпр; λx2, λy2, λz2 –соответствующие ускорения объекта в декартовой системе координат в момент привязки измерений tпр.
Траекторные параметры некоторой цели для заданного момента времени, как правило, однозначно определяют соответствующие параметры отсчета. Например, если рассматривается равномерное прямолинейное движение цели на плоскости и вектор траекторных параметров имеет вид:
X = [λ,x0 λxl λy0 λy1]т,
а отсчет Z = [r β]т получен в полярной (станционной) системе с общим началом координат, то связь пространства параметров отсчета с пространством параметров траектории (при отсутствии шумов измерений) определяется векторным соотношением
Заметим, что вычисление вектора Х по единственному отсчету не всегда возможно, поскольку необходимые для этого измерения могут отсутствовать на этапе первичной обработки радиолокационной информации.
Функция связи h(X) пространства параметров отсчета с пространством параметров траектории может быть нелинейной (как в приведенном выше примере) и линейной. В простейшем случае линейная функция связи встречается при использовании одних и тех же физических координат для полиномиального представления фазовых координат отсчета и траектории. Например, пусть рассматривается равномерное прямолинейное движение цели в полярной системе координат с вектором траекторных параметров Х = [λ,r0 λrl λβ0 λβ1]T, а отсчет получается в той же системе координат, но без скоростных компонент Z = [r β]т; тогда связь пространства параметров отсчета с пространством параметров траектории или параметров отсчета с параметрами траектории (при отсутствии шумов измерений) определяется соотношением:
h(x)= [r β]т; r = λr0, β=λβ0.
Если истинные траекторные параметры j-й цели в k-й момент времени равны Xjk, то параметры отсчета Zik от той же цели в тот же момент времени, полученные на выходе первичной обработки информации, всегда будут искажены шумами измерения (гл. 5). В самом общем виде можно записать:
Zik=g(Xjk,, εik , k), (9.4)
где εik – r-мерный вектор ошибок измерения параметров отсчета, g(∙) векторная функция аргументов Xjk,, εik , k.
Соотношение (9.4) называется уравнением измерений. Пользуясь терминологией теории систем, можно сказать, что функция g(∙) отображает внутреннее состояние системы Xjk на измеряемые параметры отсчета Zik, а также характеризует влияние случайных ошибок первичных измерений. Введение в явной форме в уравнение (9.4) зависимости от k, позволяет описывать нестационарные процессы в ходе первичных измерений. Функция g(∙) может быть линейной и нелинейной.
В случае отсутствия ошибок измерений при нахождении отсчета функция g совпадает с соответствующей функцией связи пространства параметров отсчета с пространством параметров траектории. Например, если рассматривается равномерное прямолинейное движение цели на плоскости, а отсчет получается в полярной системе координат, то функция g(–) описывается нелинейными соотношениями; если рассматривается равномерное прямолинейное движение цели в полярной системе координат и отсчет получается в той же системе координат, то функция g(∙) описывается линейными соотношениями. Ошибки измерения параметров отсчета могут учитываться в уравнении измерений как нелинейно, так и линейно.
Особое место в теории систем и во вторичной обработке информации занимает случай, когда уравнение измерений является линейным. Тогда его можно представить в виде:
Zik=Hk,X jk+εik ,
где Hk – известная матрица пересчета пространства состояния динамической системы (пространства траекторных параметров) в пространство отсчетов.
Матрица Нk получила название матрицы связи пространства параметров отсчета с пространством траекторных параметров.
Обычно вектор εik, характеризующий шум измерений параметров отсчета, является реализацией случайного процесса типа белого шума с нулевым средним и матрицей ковариации. Диагональные элементы матрицы Rjk представляют дисперсии ошибок измерений параметров отсчета .