Оценка траекторных параметров движения цели в соответствии с общей структурной схемой ВО проводится в блоке О (рис. 9.2) по отсчетам, отобранным в ходе операции селекции и относящимся к одной цели. Не учитывая возможные ошибки селекции, положим, что параметры каждой у -й траектории должны оцениваться по набору относящихся к ней отсчетов, полученных с начала ее наблюдения t1 до текущего момента времени tk.:
Ω =[Zj(t1) Zj(t2) ... Zj(tk)]T.
Предполагается, что набор данных по каждой траектории j формируется в процессе селекции кластером первого вида (рис. 9.4, а). В рамках базовых алгоритмов ВО оценивание траекторных параметров проводится по каждой траектории независимо друг от друга.
Для решения задачи оценивания траекторных параметров в настоящее время обычно используют два подхода: на основе фиксированной выборки измерений и на основе последовательных во времени измерений при рекуррентном уточнении параметров траектории.
В первом случае в текущий момент времени tk по данным предыдущих п тактов первичной обработки сначала для некоторой j-й цели формируют фиксированную выборку наблюдений, являющуюся некоторой частью полного объема отсчетов полученных по этой траектории:
=[Zj(t k-(n-1)) Zj(t k-(n-2)) ... Zj(tk)]T.
Затем по этой выборке проводится оценка Хj(tпр) траекторных параметров на некоторый момент времени tnp (обычно предполагают, что tnp = tk).
Во втором случае для некоторой j-й цели оценку (tпр) траекторных параметров вычисляют рекуррентно после получения в текущий момент времени tk с первичной обработки соответствующего отсчета Zj(tk) с учетом оценки (tk-1) траекторных параметров на предыдущем такте.
При оценке по фиксированной выборке, как правило, используются очень простые, детерминированные и потому «грубые» модели движения целей. Это вполне допустимо при малом временном интервале ∆t = (tk - tk-(n-1)) формирования выборки (при выборе малого ∆t любую кривую можно аппроксимировать с точностью, достаточной для практических задач, даже отрезком прямой линии). На практике оценку траекторных параметров по фиксированной выборке обычно применяют либо в режиме «скользящего» окна для заданного интервала ∆t (или, что то же самое, по соответствующей величине объема выборки n), либо в ходе операции завязки, когда информация о параметрах движения цели еще крайне скудна и необходимо получить о траектории движения цели первые сведения.
Для нахождения оценки траекторных параметров по фиксированной выборке чаще всего используют метод максимального правдоподобия.
Опуская (для упрощения записи) номер анализируемой траектории и считая tk-(n-1) первым моментом времени, tk-(n-2) – вторым,…, tk- – n-м, входную выборку отсчетов можно записать в виде:
Ω=[z1 z2 ... zn]T.
Для линейного уравнения измерений и стационарной матрицы связи Н = Н1,...,Нn имеем:
Z1=HX1+ε1,
Z2 = НХ2+ε2,
.......................
Zn=HXn+εn,
где Xi, –, i = 1, 2, ..., n, –траекторные параметры цели в i-й момент времени;
εi, i = 1,2, ..., п, – ошибки измерения параметров цели (в пространстве наблюдений отсчета) на этапе первичной обработки в i–й момент времени.
Для полиномиальной детерминированной модели движения цели, положив tпр = tn имеем:
Xn=Fn X,
Xn-1=Fn-1 X,
.......................
X1=F1 X,
где Х = Хn , F1=F(τ1), F2=F(τ2), ..., Fn = F(τn) F(0) = I, τ1 =t1 -tn,, τ2 =t2 -tn, ..., τn=tn-tn=0 – времена экстраполяции, I – единичная матрица. Тогда
Полученную систему уравнений обычно представляют в векторном виде:
,
где A = [HF1T HF2t ... HFnT] , Е(n)=[ε1, ε2 ... εn]T.
Например, при полиномиальной аппроксимации траектории в пространстве с одной физической координатой с = 1 матрица А имеет вид:
.
При гауссовской модели ошибок измерения параметров отсчета для совокупности ошибок Е(n) закон распределения будет также нормальным:
,
где а – размерность отсчета,
– ковариационная матрица совокупности ошибок измерения параметров отсчетов Е(n).
Из этого, с учетом ранее рассмотренного можно записать функцию правдоподобия совокупности отсчетов Ω(n):
, (9.5)
где С – постоянный множитель.
Находя экстремум функции (9.5) после ее логарифмирования и дифференцирования по составляющим вектора оцениваемых траекторных параметров, приравнивая производную нулю при X = , получим векторное уравнение правдоподобия:
.
Решая векторное уравнение (9.5), получим оценку траекторных параметров:
,
где является ковариационной матрицей полученных оценок траекторных параметров
. (9.6)
Если вектор X состоит из b траекторных параметров, то ковариационная матрица имеет размерность bxb:
. 9.7
Каждый диагональный элемент этой матрицы является дисперсией соответствующего траекторного параметра, а недиагональный – ковариацией соответствующих траекторных параметров.
Заметим, что полученные на основании критерия максимума функции правдоподобия соотношения (9.6) и (9.7) в случае нормальных ошибок измерений совпадают с результатами, которые следуют из критерия минимума средневзвешенных квадратов.
Выражения (9.6) и (9.7) позволяют решать задачи, связанные с оценкой траекторных параметров по фиксированной выборке как для простейших случаев, так и для достаточно сложных .
Например, найдем оценку траекторных параметров линейной (s =1) траектории Х = [λ0 λ1]т для некоторого одномерного (с = 1) физического пространства (индекс, обозначающий рассматриваемую координату физического пространства, для сокращения записи опущен) с числом фазовых координат b= c(s +1) = 2 в условиях некоррелированных, равноточных ошибок измерения параметров совокупности отсчетов Ω(n), состоящих из координатных членов zi , i = 1,2,..., п:
в той же физической системе координат, что и X (при этом Н = [1 0]), и получаемых через равные (равнодискретные) промежутки времени Т = const (при этом τi = T(i - n)).
В данном случае имеем:
,
где – дисперсии ошибки единичного измерения параметров отсчетов в 1-й, 2-й, ..., n–й моменты времени (заметим, что в данном случае ковариационная матрица Ri каждого i-го отсчета есть скаляр ).
Подставляя исходные данные в выражения (9.6), (9.7), получим:
, (9.8)
где
получим также
, (9.9)
где .
При этом – дисперсия оценки ошибок траекторного параметра λ.0 (координатного члена) в момент привязки измерений tnp=tn, – дисперсия оценки ошибок траекторного параметра λ1 (скоростного члена) в момент привязки измерений tnp =tn, – ковариация ошибок измерения параметров λ0 и λ1, – коэффициент корреляции ошибок оценивания траекторных параметров λ0 и λ1.
| Рис. 9.5. Нормированные элементы ковариационной матрицы |
При п → ∞ ошибки стремятся к нулю.
Аналогичные результаты можно получить, используя соотношения (9.8) и (9.9) для любого набора параметров отсчета и траектории. Например, пусть параметры отсчета в i-й момент времени помимо измерения координаты z0i, включают и скорость ее изменения z1i, т. е. Z1 =[z0i z1i]T, a точности измерения характеризуются ковариационной матрицей:
,
где – соответственно среднеквадратические отклонения (СКО) и коэффициент корреляции ошибок измерения координаты и скорости ее изменения.
Все измерения (отсчеты), которые после операции селекции сформированы для некоторой цели (индекс траектории для упрощения записи здесь также опускаем) в виде некоторой фиксированной выборки объемом n, запишем следующим образом:
.
Соответственно, ковариационная матрица ошибок совокупности измерений при отсутствии корреляции в разные моменты времени будет иметь вид:
.
Если, например, вектор оцениваемых параметров является траекторией, описываемой полиномом второй степени, в той же физической системе координат, что и параметры отсчета, т. е. Х = [λ0 λ1 λ2]Т, тo для рассматриваемого примера матрица А имеет вид:
.
Заметим, что матрицу А для данного примера можно переписать в виде:
,
где Vx – векторный оператор дифференцирования;
X, τ) – соотношение, описывающее траекторию движения цели;
ξx(Х, τ) – соотношение, описывающее траекторию скорости цели.
Подставляя матрицы , и А в выражения (9.6), (9.7), получим соотношения для оценки искомых траекторных параметров и их точностей. Для равноточных равнодискретных некоррелированных ошибок измерения параметров отсчетов в фиксированной выборке оценка и ковариационная матрица Ψ будут находиться из соотношений (9.8) – (9.9). Ошибки оценки траекторных параметров при увеличении п также уменьшаются и при п → ∞ стремятся к нулю. Полученный результат полностью объясним для выбранной детерминированной модели движения цели.
При равноточных равнодискретных измерениях оценка траекторных параметров, производится нерекурсивным фильтром. Для получения таким фильтром текущей оценки на момент последнего измерения необходимо обеспечить его работу в режиме «скользящего окна», когда при поступлении нового измерения первое измерение отбрасывается, все остальные сдвигаются, новое измерение становится n-м.
В реальных условиях, рассматривая движение объекта на сравнительно небольшом временном интервале, методику нахождения оценки (9.8) и ковариационной матрицы Ψ (9.9) можно распространить и на изначально неполиномиальную траекторию, и на нелинейную связь пространства параметров отсчета с пространством параметров траектории, произведя линеаризацию уравнения состояния и функции связи h(X). Тогда таким же образом, как в приведенных выше примерах, представляются параметры X, , а матрица А находится в соответствии с выражением:
,
после чего, подставляя матрицу А в соотношения (9.6) и (9.7), получим искомую оценку траекторных параметров и соответствующую ковариационную матрицу.
Если априори неизвестна степень полинома, которым целесообразно описывать движение некоторого объекта наблюдения, то эту задачу можно решать следующим образом. Будем характеризовать качество полученных оценок траекторных параметров следующим квадратичным показателем:
.
В случае гауссовского шума J(n) имеет χ2 – распределение с r степенями свободы (r = па-b, а – размерность параметров отсчета, b – размерность траекторных параметров).
Если выбранная степень полинома мала, то
,
где – квантиль соответствующего – распределения для вероятности ошибочного решения α, которая обычно выбирается в диапазоне от 0,01 до 0,1.
Если выбранная степень полинома слишком велика, то оценка будет статистически недостоверной. Этот факт можно установить из нарушения распределения параметров оценки компонент траекторных параметров по соответствующей физической координате, например х. Распределение каждого траекторного параметра λxj, i = 0,1,..., s, должно подчиняться нормальному закону N [λxi, ], где – дисперсия оценки траекторного параметра λxi, а N [m, σ2] – оператор нормального закона распределения с математическим ожиданием т и дисперсией σ2. Если по результатам статистической проверки окажется, что величину траекторного параметра λxj, i> 0, с высокой вероятностью можно считать равной нулю (верна гипотеза Н0), то лучше отказаться от оценки данной фазовой координаты. Гипотезу H1 (параметр λxj не равен нулю) можно принять, если
,
где F(1-α/2) – квантиль стандартного нормального распределения для вероятности ошибочного решения α.
Если гипотеза H1 отвергается, то недостоверный траекторный параметр исключается из вектора состояний и оценки траекторных параметров находятся заново для вектора состояний меньшей размерности.
Часто необходимо предсказать (экстраполировать) параметры траектории на любой момент времени tm, отличный от момента tПP = tk привязки траектории. Для полиномиальной модели траектории – уравнения состояния – экстраполированную оценку траекторных параметров Хэm можно найти с учетом линейного преобразования случайных величин:
Xэm=FmXk,
где τт =tm -tk – время экстраполяции.
Можно показать, что экстраполированная ковариационная матрица в этом случае имеет вид:
.
Оценка траекторных параметров, рассмотренная в данной главе, используется, как уже отмечалось, для сравнительно небольшого объема выборки, согласованного с особенностями движения объекта лоцирования и условиями измерения. Чаще всего подобный подход реализуется на этапе завязки траектории (блок 3 на рис. 9.3) при небольших выборках, число элементов которых редко превышает 10.
9.4. Рекуррентная оценка траекторных параметров
9.4.1. Основные соотношения калмановской фильтрации
При рекуррентной (последовательной) оценке траекторных параметров некоторой j-й цели[9] их уточнение производится после поступления каждого нового k-гo отсчета с выхода первичной обработки. Значения предыдущих отсчетов, как это предполагается при оценке по фиксированной выборке, не хранят, используют лишь данные о траекторных параметрах предыдущего шага. Такой подход применяется сейчас наиболее часто. Это удобно по ряду причин: при последовательной обработке точность оценки не ограничена фиксированным числом используемых данных, после поступления новых измерений с выхода первичной обработки не требуется повторения расчетов при использовании большого числа «старых» входных данных, как в режиме «скользящего окна», наконец, организация рекуррентного вычислительного процесса более удобна и естественна при наблюдении в течение неопределенного числа тактов за перемещающейся целью.
Алгоритм рекуррентной оценки в ходе своей работы уменьшает воздействие различных шумов на определяемые параметры, иначе говоря, осуществляет их фильтрацию, именно по этой причине он может рассматриваться в виде некоторого фильтра.
Рекуррентные соотношения для оценки траекторных параметров, являющиеся разновидностями формул калмановского фильтра, давно используют при построении траекторий различных объектов. Для дискретного времени уравнения калмановской фильтрации в классическом случае были получены при рассмотрении задачи оценивания состояния стохастической линейной динамической дискретной системы с уравнением состояния вида
по данным линейных измерений Zik=Hk,X jk+εik.
Априорные сведения о модели состояния системы (модели движения) и модели измерений предполагают следующие допущения .
– начальное состояние системы (параметры траектории в нулевой момент времени) является случайным вектором Х0 с математическим ожиданием М{Х0} и ковариационной матрицей Ψ0;
–детерминированное входное воздействие (управление) uk, если оно есть, известно;
–случайное возмущение vk траекторных параметров имеет характер гауссовского шума с нулевым средним и известной ковариационной матрицей Qk.;
–ошибки измерений параметров отсчета (шум наблюдений εk) представляют собой процесс типа гауссовского шума с нулевым средним и известной ковариационной матрицей Rk;
–случайные процессы vk и εk взаимно не коррелированы;
–начальное состояние Х0 не коррелировано с возмущениями vk, εk.
Изложенные условия образуют линейное гауссовское допущение.
Одним из наиболее распространенных подходов при выводе уравнений калмановского фильтра является использование критерия минимума среднего риска при квадратичной функции потерь. Показано, что оптимальный фильтр должен при оценивании параметров траектории в k-й момент времени вычислять условное среднее
,
где w – область значений возможных состояний системы (область возможных траекторных параметров);
w(Xk| ) – многомерная условная плотность вероятности того, что траекторные параметры цели будут равны Xk, если к k-му моменту времени наблюдалась последовательность отсчетов или, иначе говоря, апостериорная плотность вероятности того, что в k-й момент времени состояние динамической системы будет Хk, если с выхода первичной обработки получен отсчет Zі, і= 1, 2, ..., к, т. е.
.
Используя введенное обозначение М{∙} для нахождения условного среднего, можно записать
. (9.10)
Ошибка оценки траекторных параметров имеет вид:
. (9.11)
Условная ковариационная матрица Yk оценки траекторных параметров по определению вычисляется следующим образом:
. (9.12)
Выражение (9.12) можно записать следующим образом:
. (9.13)
Выражения (9.10) или (9.11) и (9.12) или (9.13) являются исходными для синтеза алгоритма оценивания траекторных параметров к и соответствующей ковариационной матрицы к.
При сделанных выше предположениях были получены (подробный вывод формул калмановской фильтрации можно найти у многих авторов) рекуррентные соотношения для оценивания состояния к. Они позволяют вычислять оценку траекторных параметров к на текущем k-м шаге с учетом текущих измерений параметров отсчета Zk по результатам оценивания траекторных параметров к-1 на предыдущем (k - 1)-м шаге:
, (9.14)
где Хэk – экстраполированная оценка состояния системы на k-й шаг;
Wk – коэффициент усиления фильтра;
∆Zk – невязка измерений.
Экстраполированная оценка состояния (экстраполированные параметры траектории) для линейной модели движения находится следующим образом:
. (9.15)
Для рассматриваемой линейной модели измерений экстраполированные параметры отсчета связаны с экстраполированными параметрами траектории следующим образом:
Zэk = HэkXэk. (9.16)
Невязка измерений есть разница между полученными параметрами отсчета Zk на k-м шаге и экстраполированными параметрами отсчета Zэk:
. (9.17)
Коэффициент усиления фильтра находится из соотношения:
, (9.18)
где эk – экстраполированная на k-й шаг ковариационная матрица оценки траекторных параметров на k-м шаге:
; (9.19)
Sэk – экстраполированная ковариационная матрица параметров отсчета:
. (9.20)
Выражения (9.14) – (9.20) определяют рекуррентный алгоритм вычисления оценки состояния системы – алгоритм оценки траекторных параметров.
Ковариационная матрица оценки траекторных параметров в k-й момент вычисляется следующим образом:
, (9.21)
где I – единичная матрица.
Выражение (9.21) также может быть записано в тождественной форме:
.
Ковариационную матрицу оценки траекторных параметров лучше вычислять, используя форму Джозефа, которая менее чувствительна к округлению ошибок и не приводит к отрицательным собственным значениям:
. (9.22)
Иногда уравнение (9.16) называется уравнением обновленного состояния, а уравнение (9.22) – уравнением обновленной ковариации. Эти уравнения определяют операцию калмановской фильтрации при построении траектории сопровождаемой цели.
В процессе фильтрации важную роль играет величина Wk — коэффициент усиления фильтра. Из выражения (9.18) видно, что он пропорционален экстраполированной ковариационной матрице траекторных параметров Ψэk и обратно пропорционален экстраполированной ковариационной матрице параметров отсчета Sэk.
Таким образом, коэффициент усиления будет «большим», если прогноз (экстраполяция) параметров траектории является «грубым», а текущие измерения параметров отсчетов, поступившие с выхода первичной обработки, являются «точными», т. е. текущие измерения в этом случае будут учитываться в большей степени, чем оценки параметров траектории в предыдущий момент времени. Коэффициент усиления будет «малым», если прогноз параметров траектории является «точным», а текущие измерения параметров отсчета являются «грубыми».
Итак, последовательность операций при оценке траекторных параметров методами калмановской фильтрации (при условии, что все другие операции в соответствии со схемой, приведенной на рис. 9.2) можно представить так.
До начала работы фильтра (априори), исходя из условий задачи, задаются:
–все компоненты уравнения динамического состояния системы (модели движения объекта), т. е. матрицы Fk, Gk, Гк и ковариационная матрица Qk;
–все компоненты уравнения измерений параметров отсчета – матрица Нk и ковариационная матрица Rk.
На предыдущем (k– 1)-м шаге необходимо вычислить или определить:
–оценку состояния к-1 системы (траекторные параметры) на (k-1)-м шаге;
–ковариационную матрицу к-1, оценки состояния системы (ковариационную матрицу оценки траекторных параметров) на (k-1)-м шаге.
На текущем k-м шаге вычисляют:
–экстраполированную оценку Хэk состояния (экстраполированные параметры траектории) по формуле (9.15);
–экстраполированную ковариационную матрицу Ψэk оценки состояния (ковариационную матрицу экстраполированных траекторных параметров) по формуле (9.19);
–экстраполированные (прогнозируемые) измерения Zэk по формуле (9.17);
–экстраполированную ковариационную матрицу Sэk параметров отсчета по формуле (9.20);
–невязку измерений ∆Zk по формуле (9.17);
–коэффициент усиления фильтра Wk по формуле (9.18);
–ковариационную матрицу к состояния системы (ковариационную матрицу оценки траекторных параметров) на текущем k-м шаге по формуле (9.21);
–оценку состояния к системы (оценку траекторных параметров) на текущем к-м шаге по формуле (9.14).
Для выполнения перечисленных операций необходимо определить параметры стартовой точки: 0 и 0. Если значения выбранных параметров сильно отличаются от истинного, а выбранная ковариационная матрица этого не учитывает, то при малых значениях элементов ковариационной матрицы, а следовательно, при малых размерах строба сопровождения может произойти срыв сопровождения. Если предположить, что стартовая точка выбрана с большой ошибкой, то, во-первых, время сходимости фильтра будет продолжительным, во-вторых, сильно увеличатся размеры строба сопровождения, а значит, возрастет вероятность появления в нем ложных отсчетов, что также может привести к срыву сопровождения.
Ошибка начальной оценки состояния должна быть согласована с начальной ковариационной матрицей. При выборе начальной ковариационной матрицы необходимо, чтобы ошибки по соответствующей координате по крайней мере в 2 раза превышали среднеквадратическое отклонение, в этом случае фильтр сходится достаточно быстро.
На практике выбор стартовой точки может быть сделан с использованием нескольких последовательных (обычно не более 2 – 4) измерений местоположения, как при построении траекторий по фиксированной выборке.
Например, если параметры отсчета представляют собой скаляр, измеряется только одна из координат z цели, а в качестве траекторных параметров оцениваются эта координата и скорость ее изменения по двум измерениям можно получить:
(9.23)
где Т– период измерений,
σ2 – дисперсия ошибок измерения дальности z.
9.4.2. Стационарный режим калмановского фильтра
Представляет интерес исследование калмановского фильтра при неограниченном увеличении интервала наблюдений. Важно знать, существуют ли предельные значения коэффициента усиления фильтра, ковариационных матриц ошибок измерения, экстраполяции, и если существуют, то при каких условиях они не зависят от начального состояния.
Предположим, что модели движения объекта и измерений параметров отсчетов инвариантны во времени, т. е. матрицы F, G, Г, Н от времени не зависят. Предположим также, что возмущающее воздействие v на параметры траектории и шум измерений ε параметров отсчетов являются стационарными в широком смысле, т. е. их ковариационные матрицы Q и R не зависят от времени. Даже в таких условиях сохраняется зависимость коэффициента усиления от времени, что обусловлено, в первую очередь, эволюцией ковариационной матрицы Ψэk.
Рекуррентное выражение для Ψэk при экстраполяции на один шаг имеет вид:
. (9.24)
Уравнение (9.24) является разностным матричным уравнением Рикатти.
Ковариационная матрица экстраполяции при к → ∞ принимает предельное значение Ψэ, являющееся решением алгебраического уравнения Рикатти:
. (9.25)
Выражение (9.25) справедливо, если при положительно определенной начальной ковариационной матрице траекторных параметров ( 0 > 0) модель движения цели и модель измерений предотвращают неопределенность состояния траекторных параметров и их оценок[10].
Уравнение Рикатти описывает появление установившегося режима в фильтре Калмана. Установившийся, или стационарный, режим фильтра характеризует потенциальные возможности фильтрации траекторных параметров в ходе вторичной обработки.
9.4.3. Состоятельность калмановского фильтра
Калмановский фильтр, работающий в полном соответствии с условиями, для которых он был синтезирован, позволяет получить несмещенную и эффективную оценку траекторных параметров. Однако на практике при некоторых отступлениях от этих условий можно столкнуться с явлением расходимости фильтра. Под этим явлением понимают ситуацию, когда средняя квадратическая ошибка оценивания траекторных параметров намного превышает величину самой оценки и значение средней квадратической ошибки со временем неограниченно возрастает. Расходимость фильтра может возникнуть из-за:
1) заметного несоответствия модели состояния динамической системы реальному процессу движения цели и (или) модели измерений – реальной помеховой обстановке, а также неправильного выбора параметров стартовой точки;
2) ошибок в процессе численных вычислений (особенно при матричных вычислениях) из-за недостаточной точности представления чисел в ходе практической реализации алгоритма калмановской фильтрации на средствах вычислительной техники;
3) ошибок при выполнении операции селекции в условиях сложной помеховой и целевой обстановки.
Из анализа соотношений, определяющих работу калмановского фильтра, видно, что перечисленные факторы могут привести к возрастанию величины невязки измерений до такого значения, при котором она становится несогласованной с коэффициентом усиления фильтра, в результате чего оценка траекторных параметров не корректируется регулярно до нужных значений. Поскольку почти всегда любая модель содержит некоторые аппроксимации и погрешности, а численные расчеты выполняются с конечной точностью, вопрос о приемлемых текущих ошибках оценивания траекторных параметров, означающих отсутствие расходимости фильтра, является одним из важнейших при разработке алгоритмов ВО. Для характеристики с этих позиций работоспособности калмановского фильтра вводится понятие его состоятельности, несколько отличающееся от традиционного.
Состоятельной оценкой некоторого постоянного параметра называют оценку, которая сходится к истинному значению рассматриваемого параметра при увеличении числа наблюдений. Соответственно, алгоритм, производящий такое оценивание, можно назвать состоятельным.
Состоятельным калмановскии фильтром называют фильтр, в котором первый и второй моменты ошибок получаемых оценок траекторных параметров соответствуют теоретически предсказанным, т. е. средняя ошибка равна нулю (оценка является несмещенной), а второй момент соответствует ковариационной матрице ошибок, вычисляемой фильтром.
Для проверки состоятельности калмановского фильтра используется тот факт, что при линейном гауссовском допущении условная плотность распределения w(Xk| ) траекторных параметров должна подчиняться нормальному закону распределения с параметрами к и k, вычисляемыми фильтром в некоторый k-й момент времени:
, (9.26)
где N[Xk,k,k ] – условная запись нормального закона распределения величины Хк с математическим ожиданием к и ковариационной матрицей k. Поэтому одним из способов проверки состоятельности фильтра является проверка справедливости выражения (9.27).
Статистические характеристики распределения можно задавать его моментами, причем для гауссовского распределения достаточно двух моментов. Тогда выражение (9.26) эквивалентно условиям:
(9.27)
которым должен удовлетворять фильтр.
Условие (9.27) является требованием несмещенности для оценок траекторных параметров (т. е. нулевой средней ошибки оценивания) и условием согласованности моментов, т. е. того, что действительная ковариационная матрица (левая часть) равна ковариационной матрице, вычисленной фильтром (правая часть).
В качестве статистики, которую можно применить для проверки соотношений (9.27), целесообразно использовать нормированный квадрат ошибки оценки траекторных параметров:
Если вычисленная фильтром ковариационная матрица к соответствует оценкам траекторных параметров и действительной ковариационной матрице, то при гауссовском допущении эта статистика подчиняется χ2-распределению с b степенями свободы (b – размерность вектора траекторных параметров). При попадании этой статистики в заданный доверительный интервал анализируемый калмановский фильтр можно полагать состоятельным. Заметим, что статистика δ2(Х) чувствительна к невыполнению условия (9.27).
Тест на основе статистики δ2(Х) можно использовать при проверке состоятельности фильтра по результатам статистических испытаний. Пусть после моделирования с помощью метода Монте-Карло получена выборка М независимых случайных величин δ2(Х)i, i = 1,2,...,М. Среднее значение δ2-статистики имеет вид:
.
Тогда величина М 2 (X) будет иметь χ2-распределение с r = Mb степенями
свободы.
Гипотеза о состоятельности фильтра принимается, если
, (9.28)
где границы двухстороннего доверительного интервала определяются квантилями соответствующего χ2-распределения для допустимой вероятности ошибки :
.
Например, для доверительной вероятности РД0В =0,95, где РДОВ = 1 -α, b = 2, М = 50, имеем с1 = 74,2 и с2 = 130.
Условие (9.28) может не выполняться из-за различных причин, например, из-за наличия смещения оценок. Дополнительную проверку на наличие смещения можно провести, используя среднюю ошибку оценки траекторных параметров, нормированную к соответствующему значению среднеквадратической ошибки. При выполнении условий (9.27) распределение нормированной средней ошибки должно подчиняться нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Тестируя полученную после статистического моделирования последовательность ошибок оценок траекторных параметров, легко принять решение о наличии или отсутствии смещения.
Всеми указанными выше свойствами обладает невязка
.
Квадрат нормированной невязки определяется выражением:
,
где Sэk – экстраполированная ковариационная матрица параметров отсчета.
Для гипотез, при которых фильтр является состоятельным, квадрат нормированной невязки имеет χ2-распределение с а степенями свободы, где а – размерность вектора параметров отсчета. После М независимых испытаний величина М 2 (X) тестируется аналогичным образом, исходя из χ2-распределения с Ма степенями свободы.
Заметим, что тестирование с использованием нормированного квадрата ошибки оценки траекторных параметров можно проводить только по результатам статистического моделирования, а тестирование с использованием нормированного квадрата невязки можно проводить и в реальном времени в процессе работы фильтра
9.4.4. (α–β) – фильтры
В случае равноточных (Rk = R) равнодискретных (tk–tk-1) = T для любых k измерений параметров отсчета при неискаженном движении объекта (Q = 0) уравнения калмановской фильтрации существенно упрощаются. При измерении в момент k на этапе первичной обработки одной обобщенной координаты zk (zk – скаляр) в случае, если оцениваются дальность λz0 k и скорость λz1 k цели, соответствующие оценки траекторных параметров после преобразования и упрощения соотношений могут быть записаны в следующем виде: где
(9.29)
Соотношения типа (9.29) получили название (α–β) – фильтров по коэффициентам αк и βk (коэффициентов усиления), учитывающих влияние невязки измерений ∆zk = zk - λzэ0,k при коррекции экстраполированных параметров траектории λzэ0,k и λzэ1,k. Для оценки скорости движения цели и ускорения применяют (α–β–γ) – фильтры. Их структура аналогична структуре (α–β) – фильтров.
Область применимости соотношений (9.29) достаточно ограничена вследствие того, что коэффициенты αk и βk в данном случае с увеличением k стремятся к нулю. При фильтрации результаты последних измерений учитываются с всё меньшим весом и, наконец, фильтр перестает реагировать на изменения входного сигнала. Фильтр становится несостоятельным и расходится.
По указанным причинам фильтр, для которого оценки описываются соотношениями (9.29), используется без каких-либо дополнительных условий в радиолокационной практике только в ограниченных случаях, когда k невелико. Однако простота реализации (α-β) – фильтра и небольшие требования к вычислительным мощностям обусловили большой интерес к фильтрам с подобной структурой. Для решения практических задач был проведен значительный объем исследований (α–β) – фильтров для зашумленных кинематических моделей движения целей, прежде всего, для случаев, когда ускорение описывается белым шумом, а также когда ускорение описывается процессом Винера. Естественно, коэффициенты αk и βk в этом случае рассчитываются по более сложным формулам (9.29).
Во многих случаях параметры (α–β) –фильтров могут быть получены в результате анализа их стационарных режимов. Как указывалось ранее, оценка и ковариационная матрица ошибок траекторных параметров для систем с постоянными коэффициентами в уравнениях, описывающих процесс движения целей и измерения параметров отсчета, будут сходиться при определенных условиях (выполняющихся для рассматриваемых моделей) к установившемуся значению. Это позволяет получить точные значения для ковариационной матрицы и коэффициента усиления фильтра и использовать их при нахождении параметров (α-β)-фильтров:
,
где – размерность вектора параметров траектории.
Тогда для оценивания дальности и скорости движения цели (как при выводе соотношений (9.29)) получим:
,
где – дисперсия ошибок измерения отсчета z.
Аналогично можно найти коэффициенты и для ( –β–γ) –фильтров, a также для других видов шумов измерений параметров отсчета.
Заметим, что (α–β) – и (α–β–γ) – фильтры являются простейшими из возможных фильтров. Они используют фиксированные или предварительно вычисленные коэффициенты усиления. Естественно, они не являются оптимальными в течение переходного периода (в начале сопровождения), а также в случае, если шумы возмущения нестационарны. Поэтому без специальных мер коррекции рассмотренные фильтры мало пригодны для использования в автоматизированных системах обработки радиолокационной информации. Однако, как уже указывалось, они могут применяться для реализации алгоритмов сопровождения в реальном времени, где получаемые характеристики оценки траекторных параметров удовлетворяют потребителей информации.
9.4.5. Расширенный фильтр Калмана
В случае линейных моделей движения целей и измерений параметров отсчетов для возмущений параметров траектории гауссовского типа и гауссовских ошибок измерения параметров отсчета рекуррентный процесс вычисления оценок траекторных параметров реализует калмановский фильтр. Однако в практике радиолокации такая ситуация, строго говоря, является скорее исключением, чем правилом. Одна из причин этого – несовпадение пространства параметров отсчетов и траекторий. Действительно, измерения на этапе первичной обработки производятся обычно в радиолокационной системе координат, которая является полярной, а оценку траекторных параметров желательно выполнять в другой системе координат, чаще всего – в декартовой. В результате уже в простейшем случае, а тем более при наблюдении объектов со специальными видами маневра, связь параметров отсчетов с фильтруемыми параметрами траекторий становится нелинейной.
В этой ситуации можно применить синтез алгоритмов на основании теории нелинейной фильтрации. Однако эта теория в настоящее время окончательно не разработана, а известные нелинейные алгоритмы крайне сложны в реализации. Поэтому в инженерной практике вместо оптимальных находят широкое применение субоптимальные алгоритмы с возможно более полным использованием подходов и структур, разработанных для линейных фильтров Калмана. К числу таких алгоритмов относится расширенный фильтр Калмана, который представляет субоптимальный нелинейный алгоритм.
Расширенный фильтр Калмана первого порядка основан на:
–минимума сред линеаризации нелинейностей в уравнении модели процесса движения целей и модели измерений параметров отсчетов;
–оценивании траекторных параметров так же, как и в линейном фильтре, на основе критерия него риска при квадратичной функции потерь.
В расширенном фильтре Калмана второго порядка используется дополнительно втрой член ряда в разложении соответствующих нелинейных функций.
Рассмотрим нелинейную модель движения объекта в виде:
, (9.30)
где fk(∙), γk(∙) – матрицы нелинейных функций, зависящих от дискретного времени и дискретного вектора траекторных параметров соответствующих размерностей.
Модель измерений параметров отсчета рассмотрим в виде:
Zk=hk(Xk) + εk, , (9.31)
где hk(∙) – матрица нелинейных, зависящих от дискретного времени функций связи пространства параметров отсчета Zk и траекторных параметров Xk. Характеристики шумов возмущения траекторий vk и шумов измерения параметров отсчета εk предполагаются такими же, как и ранее.
Из сравнения соотношений (9.30) и (9.32) с предыдущими формулами видно, что приведенные здесь модели не являются общими, однако опыт показывает, что с их помощью можно описать большинство задач, встречающихся в радиолокационной практике.
В расширенном фильтре Калмана начальное состояние и связанная с ним ковариационная матрица выбираются так же, как и ранее.
Аналогично линейному случаю модели состояния систем и модели измерений считаем, что оценка в момент времени k есть приблизительно условное среднее:
. (9,32)
Эта оценка характеризуется соответствующей ковариационной матрицей k. Строго говоря, матрица к не является истинной ковариацией оценки, а является матрицей, удобной для построения фильтра.
В рассмотренном фильтре Калмана нелинейные функции считаются достаточно гладкими, что позволяет разложить их в ряд Тейлора и аппроксимировать членами ряда невысоких порядков (чаще всего первого). Введем матрицы:
. (9.33)
Заметим, что в выражениях (9.31) – 9.33) используются разложения функций F, Г, Н в окрестности некоторой точки X. Выбор точки разложения должен быть произведен таким образом, чтобы линейная аппроксимация соответствующих функций была достаточно корректной. Необходимо выбирать величину X так, чтобы она была достаточно близкой к истинному значению Xk. Обычно предполагается, что если аппроксимация допустима в окрестности истинного значения Xk, то она допустима и в окрестности оценки этого вектора. Учитывая изложенное выше, в уравнении движения цели для матриц Fk, Гk целесообразно выбрать значение Х0 = к-1, а в уравнении измерения параметров отсчета при вычислении матрицы Нk – экстраполированное значение .
С учетом сделанных допущений уравнения расширенного фильтра Калмана после поступления в k-й момент времени вновь полученных параметров отсчета Zk будут иметь вид:
;
;
;
;
;
;
;
.
Расширенный калмановский фильтр является нелинейным, поскольку в его соотношения вводятся так или иначе сведения о предполагаемых параметрах траектории и отсчета, которые образуют цепь обратной связи.
Использование разложения в ряд при экстраполяции параметров траектории и экстраполяции параметров отсчета может привести к появлению непредусмотренных ошибок. В результате этого ошибки экстраполяции могут иметь смещенное среднее. При вычислении ковариационных матриц также возникают ошибки. Поэтому необходимо особое внимание к контролю возможной расходимости фильтра и проверке его на состоятельность.
Используемые тесты будут такими же, как и в случае обычного фильтра Калмана.
Если фильтр оказывается несостоятельным, то для устранения этого можно применить ряд эвристических методов. Так, при экстраполяции целесообразно добавлять к ковариационной матрице шумов возмущения траектории некоторую положительно определенную матрицу Qk' и использовать вместо Qk матрицу
.
Это увеличивает коэффициент усиления, что позволяет лучше учитывать данные последних измерений.
Устранить несостоятельность фильтра можно также с помощью умножения ковариационной матрицы экстраполированной ошибки на некоторую величину φ > 1 в каждом периоде выборки. Если указанные меры значительно ухудшают точности получаемых оценок траекторных параметров, то целесообразно использовать другие модели движения объекта и измерений, более адекватные реальной ситуации.
В некоторых случаях при описании движения целей нелинейными дифференциальными уравнениями экстраполяцию состояния можно получить численным интегрированием динамического уравнения. Возможны и другие методы устранения несостоятельности фильтра, более строго учитывающие возможные маневры цели.
Для оценки работоспособности расширенного фильтра Калмана и его характеристик необходимо использовать метод статистического моделирования. Только с его помощью при проверке состоятельности фильтра можно получить реальные границы использования расширенного фильтра Калмана.
9.5. Селекция отсчетов
9.5.1. Алгоритм селекции отсчетов по минимальному отклонению от центра строба
Входе операции селекции, осуществляется отбор совокупностей отсчет – траектория, относящихся к соответствующим целям. От выполнения этой операции зависит качество работы всего алгоритма ВО, и в ней, в свою очередь, учитываются результаты других операций В (а также качество выполнения первичной обработки радиолокационной информации).
Операция селекции, в основе которой лежит принцип отбора отсчета на k-м такте наблюдения, с наибольшей вероятностью относящемуся к прогнозируемому положению цели в этот же момент времени, оказывается осложнена рядом обстоятельств. Так, из-за ошибок измерения параметры полученного отсчета никогда не совпадают с прогнозируемым положением цели, тоже определяемым с некоторыми ошибками. Поскольку целевой отсчет обнаруживается с вероятностью, меньшей единицы, в текущем такте он вообще может отсутствовать, а при наличии шумов может появиться ложный отсчет. В многоцелевой ситуации может также произойти перепутывание отсчетов от соседних целей.
При решении задачи селекции в процессе отбора отсчета, относящегося к траектории некоторой цели, в k-- момент времени так или иначе анализируется величина рассогласования экстраполированной оценки положения j-й цели (j-й траектории) с положением i-го отсчета, т. е. невязка измерений ∆Zjik =∆Zji(tk). В ходе операции селекции проверяется гипотеза о согласованности или несогласованности величины ∆Zjik с характеристиками возможных ошибок.
Предположим, что измерения параметров отсчета Zjk в k-й момент времени и ошибки экстраполяции – случайные процессы с ковариационными матрицами Rik и Ψэjk соответственно. Для определенности считаем, что рассматривается базовый случай модели движения объекта, когда возмущения v вызывают случайные ускорения, задаваемые гауссовским процессом с ковариационной матрицей Qjk. При сделанных предположениях невязка ∆Zjik является случайной величиной с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей:
,
где .
Обычно селекция выполняется в несколько этапов. На первом этапе производится отбраковка отсчетов, которые заведомо не могут относиться к цели с траекторией Хj; на последующих этапах осуществляется окончательная селекция, т. е. собственно отбор отсчета, с высокой вероятностью относящегося к траектории рассматриваемой цели.
На первом этапе, как обычно при проверке статистических гипотез, задается допустимая вероятность отбраковки правильного отсчета из-за слишком большого отклонения ∆Zjik и в соответствии с теми или иными критериями согласия решается задача отбора или неотбора рассматриваемого отсчета Zik для продолжения рассматриваемой траектории Xj.
Операция селекции предполагает нахождение двух областей, одна из которых располагается в непосредственной близости от экстраполяризованного положения Zэik цели, имеющей траекторию Xj, а другая далеко от него (попадание целевого отсчета в нее маловероятно). Первая область образует некоторый корреляционный строб (иначе говоря, строб сопровождения, или зону связи прогнозируемого положения цели с отсчетом от нее). Вероятность нахождения отсчета в корреляционном стробе получила название вероятности правильного стробирования.
Выполнение операции стробирования оказывается достаточно для окончательного решения задачи селекции уже на первом этапе при выполнении всех следующих условий:
а) в корреляционном стробе не могут появиться отсчеты от нескольких целей;
б) вероятность Dот правильного обнаружения отсчета от цели с рассматриваемой траекторией близка к 1;
в) вероятность Fот появления ложного отсчета в стробе близка к 0.
Ясно, что полностью обеспечить выполнение перечисленных условий в РЛС практически невозможно, но желательно к нему стремиться. Тогда операция селекции проводится наиболее просто. При этом вероятность правильного стробирования Рстр практически совпадает с вероятностью правильной селекции Рс.
При явном невыполнении перечисленных условий возникает необходимость второго этапа селекции, в ходе которого конкретизируется отсчет, подтверждающий рассматриваемую траекторию. При правильном выборе параметров первого этапа характеристики двухэтапной процедуры селекции приближаются к характеристикам операции селекции на основе полного перебора всех гипотез отождествления отсчетов и траекторий. В некоторых особо сложных случаях в явном виде операция селекции вообще не производится, однако при построении траекторий учитываются все возможные комбинации всех траекторий, обрабатываемых алгоритмом ВО, со всеми поступающими отсчетами. Траектории, построенные по ложным или относящимся к другим траекториям отсчетам, сбрасываются с сопровождения, как только будет обнаружено какое-либо их несоответствие целевой траектории. Такие подходы требуют весьма больших вычислительных затрат.
Основные факторы, которые могут повлиять на выполнение операции селекции, изображены на рис. 9.6, где указано, какие параметры целевого потока, характеристики радиолокационной станции и условия ее работы необходимо учитывать при выборе метода селекции.
Часто изменения лишь одного фактора из перечисленных вызывают «цепную реакцию», неминуемо оказывающую влияние на операцию селекции и работу всего алгоритма ВО в целом. Например, ухудшение точности измерений, характеризуемых матрицей Rjk, приведет к такому изменению ковариационной матрицы Sэijk, которое расширит границы корреляционного строба, что повлечет увеличение вероятности появления в нем ложных отсчетов. При ошибочной селекции калмановский фильтр перестает в некоторых тактах работы следить за целью, в результате ухудшается точность оценки траекторных параметров, возрастает вероятность срыва цели с сопровождения. Можно привести и другие аналогичные примеры.
| Рис. 9.6. Условия операции селекции |
9.5.2. Селекция методом стробирования
Селекция методом стробирования применяется в качестве самостоятельного метода, когда условия селекции близки к идеальным. Допускается некоторое смягчение условия б): вероятность правильного обнаружения отсчета должна быть не ниже 0,8 – 0,9 (на 10 тактах наблюдения должно быть не более 1 – 2 пропусков полезного отсчета, пропуск подряд двух отсчетов маловероятен).
Допускается некоторое смягчение условия (в): вероятность появления ложного отсчета в стробе должна быть много меньше 1, обычно Fст < 0,1 (на 10 тактах наблюдения в стробе возможно появление не более одного ложного отсчета). Следует отметить, что вероятность Fст зависит от размеров корреляционного строба и элемента разрешения. В корреляционном стробе может быть большое число Nэ элементов разрешения: десятки, сотни и даже тысячи.
Величина Fст связана с Fот соотношением:
.
Можно считать (если NэFот< 1 и отброшенные члены ряда пренебрежимо малы по сравнению с N\Fот ), что
.
В случае гауссовских ошибок измерений параметров отсчета, гауссовских ошибок экстраполированных параметров измерений и гауссовских возмущений траектории движения цели, формируемый строб представляет собой эллипс, размеры которого определяются матрицей Sэjik и заданной вероятностью стробирования Рст – вероятностью того, что при имеющихся ошибках отсчет от цели будет находиться внутри этого строба. При этом ориентация строба зависит от взаимной ориентации главных осей эллипсоида ошибок измерений параметров отсчета, эллипсоида экстраполированных ошибок траекторных параметров, эллипсоида экстраполированных возмущений траектории движения цели и их соотношений.
При ориентации системы координат по главным полуосям эллипсоида плотность вероятности соответствующих случайных величин ∆η, ∆ξ, ∆ζ, характеризуемых среднеквадратическими отклонениями ση, σξ, σζ, имеет вид:
,
гдe .
Вероятность попадания случайной точки в подобный эллипсоид определяется из выражения:
,
где – интеграл вероятности.
При r, равном 3,5, вероятность стробирования приблизительно равна 0,993.
Типичный пример селекции методом стробирования в штатном режиме на нескольких тактах работы алгоритма ВО для двухмерного случая показан на рис. 9.7. Для траектории с параметрами j(ti) в момент времени ti экстраполируется положение цели Xэj (t2) на момент t2..Затем относительно экстраполированных параметров отсчета Zэj (t2) = НэХэj(t2) строится корреляционный строб. После выполнения в момент t2 операций первичной обработки и получения отсчетов оказывается, что в корреляционный строб попал отсчет Zj(t2). В соответствии, например, с формулами калмановской фильтрации находится оценка параметров траектории j (t2) на момент t2. Та же процедура повторяется для всех последующих тактов работы.
При работе алгоритма возможны случаи, когда в строб сопровождения не попадут отсчеты от цели. Тогда траектория либо экстраполируется дальше, либо сбрасывается (в зависимости от алгоритма обнаружения – сброса).
Предположим, что в момент времени t4 в стробе не оказалось подтверждающего отсчета. В этом случае (если траектория не сбрасывается с сопровождения) происходит экстраполяция уже на момент времени t5. При увеличении времени экстраполяции возрастает значение элементов экстраполированной ковариационной матрицы Sэji(t5) экстраполированного отсчета Zэj(t5) и, следовательно, увеличиваются размеры корреляционного строба, как условно показано на рис. 9.7. При попадании в этот строб отсчета от цели Zi(t5) уточняется оценка j(t5), соответствующая ковариационная матрица и т. д.
| Рис. 9.7. Селекция методом стробирования |
Метод стробирования может быть реализован различными способами. Учитывая гауссовское распределение величины невязки, в качестве меры рассогласования можно использовать соответствующую квадратичную форму:
.
Поскольку величина δ2(Zji) при правильном отборе отсчета и траектории имеет χ2-распределение с числом степеней свободы, соответствующим количеству координат параметров отсчета, то, задавая вероятность Рстр, можно найти интервал (с1,с2), при попадании в который значения квадратичной формы δ2(Zji) принимается решение об отборе рассматриваемого отсчета для продолжения рассматриваемой траектории.
Иногда стробирование имеет смысл проводить геометрически. Однако построение эллипсоида и определение местоположения отсчетов относительно него нецелесообразно из-за трудоемкости вычислений. Поэтому для РЛС формируется строб более простой формы, обычно подобный элементу разрешения РЛС по измеряемым координатам. Например, это может быть строб, задаваемый размером по дальности ∆rстр и по двум угловым координатам: по азимуту ∆βстр и углу места ∆εстр. При этом величины ∆βстр , ∆εстр ,∆dстр выбираются таким образом, чтобы в выделенном объеме помещался эллипсоид любой ориентации с заданным r.
В результате форма строба существенно упрощается, но объем элипсоида увеличивается по сравнению с расчетным.
Это уменьшает заданную ошибку стробирования, но увеличивает вероятность появления ложных отсчетов в стробе. Если это недопустимо, то объем «прямоугольного» строба уменьшают для обеспечения заданной вероятности Рстр.
При наблюдении целей, которые могут осуществлять более сложные маневры, чем предусмотренные случайными ускорениями в виде гауссовского процесса с ковариационной матрицей Q, форма строба может существенно отличаться от эллипсоида.
В настоящее время селекция методом стробирования, как уже отмечалось, в отдельности применяется редко, только в простой целевой и помеховой обстановке. Чаще этот метод используют в двухэтапных алгоритмах в качестве первого вспомогательного этапа. В этом случае с помощью стробирования отсекаются отсчеты, заведомо не подходящие для продолжения траектории. Это позволяет осуществлять более тонкое селектирование, не затрачивая вычислительные ресурсы на обработку заведомо неподходящих отсчетов