Вероятность ложного обнаружения траектории

 

Структура простейшего алгоритма завязка – обнаружение – сброс «2 из m» + «l из n» – «s» в виде направленного графа приведена на рис. 9.9. Направленный граф отображает все возможные состояния логического обнаружителя и все возможные переходы одного состояния в другое. Переход логического обнаружителя из одного состояния в другое происходит в зависимости от подтверждения траектории в каждый момент времени отсчетом (появления логической единицы) или от ее неподтверждения. Вероятность подтверждения в общем случае зависит как от текущего времени t_k, так и от текущего состояния обнаружителя, т. е. р_i = p_i(t_k), где i – номер состояния обнаружителя. Чтобы не усложнять рисунок, на нем зависимость появления логической единицы от времени t_k, не отражена.

Рис. 9.9. Граф алгоритма «2 из m» + «1 из n» – «s» при обнаружении ложной траектории

Исходное состояние обнаружителя – нулевое (0). С приходом первого отсчета алгоритм переходит в состояние 1. Это событие характеризуется вероятностью р_о. Очевидно, за величину р_о можно принять вероятность ложного обнаружения отсчета F_от. На следующем такте вероятность появления ложного отсчета р₁ в стробе сопровождения зависит от вероятности обнаружения ложного отсчета в элементе разрешения F_от и от размеров строба для первого такта, что характеризуется числом N_э1 элементов разрешения в нем. Можно считать, что

.

С учетом логики работы алгоритма появление второго (ложного в данном случае) отсчета в корреляционном стробе (при выполнении правила «2 из т») переводит его в состояние т – «завязка траектории».

Вероятности непоявления отсчетов можно вычислить следующим образом: q_о=1-p_о, q₁=1– p₁ и т. д. Значение соответствующей вероятности р_i для i-го состояния рассчитывается аналогично р₁. При переходе обнаружителя из одного состояния в другое вероятности p_i, изменяются, что вызвано, прежде всего, размером строба сопровождения и, соответственно, числом N_эk элементов разрешения в нем.

В ходе траекторной обработки необходимо выбором всех параметров РЛС (размера элемента разрешения, величины корреляционного строба, вероятности F_от) обеспечить выполнение неравенства p_i << l.

При переходе обнаружителя в состояние т фиксируется факт завязки траектории. Затем начинается второй этап работы обнаружителя – этап окончательного обнаружения траектории. Таким же образом, как и раньше, в зависимости, прежде всего, от размера строба вычисляются вероятности р_k и q_k и строятся соответствующие ветви графа. Траектория считается обнаруженной в данном примере при переходе графа в состояние т+п.

В дальнейшем траектория может оставаться в состоянии т+п либо быть сброшена при пропуске подряд s отсчетов.

Вероятность обнаружения ложной траектории определяется вероятностью первого достижения состояния т + п.

Анализ графа производится с использованием теории марковских цепей. Обычно для этой цели ограничиваются простой цепью Маркова, которая задается матрицей переходных вероятностей П(t_k) и вектором-строкой начального состояния цепи В(t₀)=[b₀(t₀) b₁(t₀) b₂(t₀)]. Для упрощения записи зависимость от текущего времени t_k будем показывать номером соответствующего такта: П(t_k) ≡ П(k):

.

Для представленного на рис. 9.9 логического обнаружителя матрица переходных вероятностей имеет вид:

.

Для расчета вероятностей состояния графа (обнаружителя) используется соотношение:

. (9.35)

Задаваясь начальным состоянием обнаружителя В(0), можно рассчитать в любой k-й момент времени все состояния обнаружителя. Искомая вероятность ложного обнаружения траектории для рассматриваемого примера есть вероятность первого достижения состояния т+п, т.е.

. (9.36)

Рис. 9.10. Вероятности ложного обнаружения

Произвести строгие вычисления по формулам (9.35) и (9.36) для нахождения F_тр в силу нестационарности задачи достаточно сложно. Можно упростить задачу, сделав предположение о постоянстве матрицы перехода П(k)=П. В этом случае, естественно, с определенной погрешностью можно вычислить вероятность ложного обнаружения траектории по формулам (9.31), (9.32), воспользовавшись формулой финальных вероятностей В=ВП, приблизительно считая неизменными все параметры вектора состояний и матрицу переходных вероятностей (это справедливо для предельных состояний эргодической цепи Маркова).

В ряде случаев для несложных обнаружителей можно использовать и более простой вероятностный расчет. Например, для обнаружителя «2 из m» + «1 из n» для оценки вероятности ложной тревоги можно воспользоваться выражением:

,

где q_i – вероятность неполучения отсчета в первой серии наблюдений (в ходе завязки),

q_j – вероятность неполучения отсчета во второй серии наблюдений (в ходе окончательного обнаружения).

Очень часто применяют обнаружители типа «r из т» – «s», в которых имеется только два этапа: завязка и сброс. Завязка при этом выполняется в блоке завязки, сброс – в блоке обнаружения–сброса. Некоторые вероятностные характеристики таких обнаружителей при фиксированных вероятностях появления логических единиц приведены на рис. 9.10.

Следует отметить, что сброс траектории с сопровождения при фиксированном числе пропусков отсчетов от цели не учитывает всю предысторию рассматриваемой траектории и всю дополнительную информацию, накопленную о цели в процессе сопровождения. В частности, можно корректировать критерий сброса траектории величиной требуемого корреляционного строба. Если он превышает определенные размеры, то сброс может производиться с меньшим числом пропусков, чем в случае строба с малыми размерами. Дополнительную информацию для уточнения критерия при принятии решения о сбросе может дать характер движения цели, наличие и отсутствие маневра и т.д.

Окончательно настройка алгоритма требует проведения моделирования и уточнения его параметров, а иногда и натурных экспериментов.