Решение систем линейных алгебраических уравнений

 

Цель работы: Изучение возможностей пакета MS Excel при решении задач линейной алгебры. Приобретение навыков решения систем линейных алгебраических уравнений.

 

Задание: Решить систему линейных уравнений:

a) Методом обратной матрицы (на листе 1);

b) Методом Крамера (на листе 2).

 

Варианты задания

 

Порядок работы:

При выполнении лабораторной работы систему линейных алгебраических уравнений необходимо решать методом обратной матрицы и методом Крамера. Вспомним основные формулы, используемые в этих методах.

Метод обратной матрицы.

Систему линейных алгебраических уравнений AX=b умножим слева на матрицу, обратную к А. Система уравнений примет вид: A^-1AX=A^-1b, EX=A^-1b (E - единичная матрица).

Таким образом, вектор неизвестных вычисляется по формуле X=A^-1b.

Метод Крамера.

В этом случае неизвестные x1,x2,…, xn вычисляются по формуле:

Метод Крамера.

В этом случае неизвестные x₁,x₂,…, x_n вычисляются по формуле:

x_i =∆_i/∆ ,i=1,...,n

где ∆ – определитель матрицы A;

∆_i –определитель матрицы, получаемой из матрицы А путем замены i-го столбца вектором b.

Обратите внимание на особенность работы с матричными формулами: необходимо предварительно выделять область, в которой будет храниться результат, а после получения результата преобразовывать его к матричному виду, нажав клавиши F2 и Ctrl+Shift+Enter.

Теперь рассмотрим решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Крамера на конкретных примерах. Решим следующую систему линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы:

В этом случае матрица коэффициентов А и вектор свободных коэффициентов b имеют вид:

Введём матрицу A и вектор b в рабочий лист MS Excel.

Ввод матрицы A и вектора b

 

В нашем случае матрица А находится в ячейках B1:Е4, а вектор b в диапазоне G1:G4. Для решения системы методом обратной матрицы необходимо вычислить матрицу, обратную к A. Для этого выделим ячейки для хранения обратной матрицы (это нужно сделать обязательно!!!); пусть в нашем случае это будут ячейки B6:E9. Теперь обратимся к мастеру функций, и в категории «Математические» выберем функцию МОБР, предназначенную для вычисления обратной матрицы, щелкнув по кнопке OK, перейдём ко второму шагу мастера функций. В диалоговом окне, появляющемся на втором шаге мастера функций, необходимо заполнить поле ввода «Массив». Это поле должно содержать диапазон ячеек, в котором хранится исходная матрица – в нашем случае B1:E4. Данные в поле ввода «Массив» можно ввести, используя клавиатуру или выделив их на рабочем листе, удерживая левую кнопку мыши.

Мастер функций

 

Нахождение обратной матрицы

 

Если поле «Массив» заполнено, можно нажать кнопку OK. В первой ячейке, выделенного под обратную матрицу диапазона, появится некое число. Для того чтобы получить всю обратную матрицу, необходимо нажать клавишу F2 для перехода в режим редактирования, а затем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter. В нашем случае рабочая книга MS Excel примет следующий вид.

Фрагмент рабочего листа с полученной обратной матрицей A_обр

 

Теперь необходимо умножить полученную обратную матрицу на вектор b. Выделим ячейки для хранения результирующего вектора, например G6:G9. Обратимся к мастеру функций, и в категории Математические выберем функцию МУМНОЖ, которая предназначена для умножения матриц. Напомним, что умножение матриц происходит по правилу строка на столбец и матрицу А можно умножить на матрицу В только в том случае, если количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В. Кроме того, при умножении матриц важен порядок сомножителей, т.е. АВ≠ВА

Перейдём ко второму шагу мастера функций. Появившееся диалоговое окно содержит два поля ввода Массив1 и Массив2. В поле Массив1 необходимо ввести диапазон ячеек, в котором содержится первая из перемножаемых матриц, в нашем случае B6:E9 (обратная матрица), а в поле Массив2 ячейки, содержащие вторую матрицу, в нашем случае G1:G4 (вектор b)

 

Перемножение обратной матрицы Aо_бр и вектора В

Если поля ввода заполнены, можно нажать кнопку OK. В первой ячейке выделенного диапазона появится соответствующее число результирующего вектора. Для того чтобы получить весь вектор, необходимо нажать клавишу F2, а затем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter. В нашем случае результаты вычислений (вектор X), находится в ячейках G6:G9.

Фрагмент рабочего листа с найденным вектором X

 

Таким образом, мы решили систему линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы. Корни: X1, X2, X3, X4 будут, в нашем случае, соответствовать ячейкам G6, G7, G8 и G9.

Для того чтобы проверить, правильно ли решена система уравнений,

необходимо умножить матрицу A на вектор Х и получить в результате вектор b. Умножение матрицы A на вектор Х осуществляется при помощи функции МУМНОЖ(В1:Е4;G6:G9) так, как было описано выше.

В результате проведенных вычислений рабочий лист примет следующий вид

Фрагмент рабочего листа с результатом проверки решения

 

Теперь рассмотрим пример решения этой же системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера. Введём матрицу А и вектор b на рабочий лист. Кроме того, сформируем четыре вспомогательные матрицы, заменяя последовательно столбцы матрицы A на столбец вектора b.

Фрагмент рабочего листа с результатом решения системы методом Крамера

 

Для дальнейшего решения необходимо вычислить определитель матрицы A. Установим курсор в ячейку H6 и обратимся к мастеру функций. В категории Математическиевыберем функцию МОПРЕД, предназначенную для вычисления определителя матрицы, и перейдём ко второму шагу мастера функций. Диалоговое окно, появляющееся на втором шаге, содержит поле ввода Массив. В этом поле указывают диапазон матрицы, определитель которой вычисляют. В нашем случае это ячейки B1:E4.

Для вычисления вспомогательных определителей введем формулы:

H7=МОПРЕД(B6:E9),

H8=МОПРЕД(B11:E14),

H9=МОПРЕД(B16:E19),