Последовательных приближений

В стационарном режиме в любой гидравлической системе должны соблюдаться массовый и энергетический балансы – приток среды равен расходу среды из системы, сообщаемый системе положительный напор от источников энергии должен полностью тратиться в системе. При этом, в каждом узле должен соблюдаться баланс расходов, а в каждом замкнутом контуре – баланс напоров или давлений. Эти положения позволяют составить для рассматриваемой системы некоторую систему нелинейных уравнений, которую можно решить относительно неизвестных расходов на каждом элементе и неизвестных напоров в узлах системы. Учитывая, что преобразовать систему уравнений к одному алгебраическому уравнению с одним неизвестным чаще всего невозможно, то решение системы уравнений производится обычно методами приближений.

Суть метода последовательных приближений (МПП) заключается в том, что вначале произвольно задаются некотором начальным режимом работы системы (расходами на каждом участке или распределением давлений или напоров в узлах системы). При начальном режиме вышеуказанные балансы обычно не сходятся, то есть начальное распределение параметров не является решением системы и принято с некоторой погрешностью. Однако существуют специальные методы, которые позволяют рассчитать такие поправки к каждому значению параметра, которые обеспечат более правильное соблюдение балансов в системе. Таким образом, рассчитав и введя поправки, на каждом шаге приближаются к некому точному решению. Эта последовательность шагов по вычислению поправок, делающих более точным полученное на каждом очередном шаге решение, и является реализацией метода последовательных приближений.

Отметим, что во многих практических задачах не имеет смысла стремиться к абсолютно точному решению набора уравнений, так как заранее известно, что сама задача поставлена и описана уравнениями с некоторой погрешностью. Невозможно точно описать все факторы, влияющие на результат решения. Процесс решения некоторой технической задачи можно представить в виде схемы, приведенной на рисунке 6.1.

 

 

 

Рисунок 6.1 – Общая схема решения прикладной задачи

 

Прикладной технический расчет касается какого-либо оборудования, явления или процесса – в общем понимании некоторого физического явления. Любое физическое явление настолько многогранно, что произвести его полный расчет просто невозможно. Поэтому на начальной стадии анализируется рассматриваемое физическое явление, и выбираются его наиболее значимые параметры, факторы и особенности с точки зрения решения поставленной задачи. Малозначимые факторы при этом игнорируются, то есть отбрасываются. Иначе говоря, на этом этапе происходит упрощение физического явления до некоторой воображаемой физической модели.

После того, как разработана физическая модель, производится ее описание набором некоторых уравнений. Количество, вид и сложность используемых уравнений определяет разработчик метода решения задачи. Для описания взаимного влияния двух параметров можно использовать самые разные уравнения, и это повлияет на точность решения, окончательный вид расчетных зависимостей, сложность процесса решения и многое другое. В любом случае, результатом этого процесса является математическая модель явления, то есть набор уравнений, достаточно полно и правильно описывающий разработанную физическую модель (с точки зрения разработчика). Физика на этом этапе временно заканчивается.

Для полученной математической модели выбирается один из возможных способов решения системы уравнений. В самом простом случае это может быть последовательный, не разветвляющийся алгоритм. К сожалению, не так уж много серьезных реальных задач можно решить таким способом. При необходимости, применяют разветвляющиеся алгоритмы и методы последовательных приближений.

Следующим этапом является подготовка исходных данных в соответствии с разработанной математической моделью. Очень важным моментом является структура записи или хранения данных – она должна обеспечивать понятность и простоту корректировки для человека, и при этом одновременно удовлетворять простоте и легкости ввода данных в компьютер в виде, приемлемом для используемого программного обеспечения. Учитывая, что совместить выполнение этих противоречивых требований нелегко, часто используют дополнительные программы для перекодировки или переформатирования данных из одной формы в другую.

Когда данные подготовлены, производится решение задачи выбранным методом. Учитывая, что решение может быть не единственным, в итоге получают некоторые наборы параметров – варианты решения задачи.

Анализ полученных вариантов решения исключительно важен. Во-первых, требуется отбросить явно нереальные варианты, которые чаще всего возникают при решении степенных уравнений (квадратное уравнение может иметь два корня, кубическое – три). Дальше следует оценить полученные решения с точки зрения корректности составленной физической модели. Не следует забывать, что часть физических факторов была отброшена на этапе составления физической модели, однако полученное решение может вступить в конфликт с ранее отброшенными факторами. Следует проверить корректность математической модели, то есть правильности описания взаимосвязей между параметрами – ошибки могут возникнуть даже из-за простой описки. Далее следует оценить точность полученного решения, корректность введенных исходных данных. При необходимости, решение производится повторно.

Из рассмотренной модели ясно, что решение реальной задачи сопровождается многими моментами, которые снижают точность полученного ответа. Во многих случаях ориентируются на некоторые средние значения физических параметров, характеристик материалов, климата, условий работы объекта. Многие исходные данные в принципе не могут быть заданы с высокой степенью точности. Кроме того, расчеты систем производятся, как правило, на предельные режимы, а реально они работаю в некоторых промежуточных режимах. Все это говорит о том, что стремление к достижению абсолютно точного ответа в большинстве ситуаций не оправдано. Следует оговорить некоторое допускаемое значение погрешности ответа, и стремиться к тому, чтобы весь процесс решения задачи – подготовка данных, подбор уравнений, способ решения – не приводил бы к возникновению погрешностей, превышающих оговоренные значения. При таком подходе использование методов приближения, когда процесс вычисления прекращают по достижении заданной точности, абсолютно естественно и оправдано.

Методов последовательных приближений много. Это отдельный раздел математики, который тесно связан с физическими особенностями решаемых задач. Существует много книг, посвященных теории и практической реализации МПП, здесь мы рассмотрим только общие вопросы, касающиеся применения этого метода для относительно простых задач. В настоящем пособии разбираются наиболее простые и легко реализуемые методы.

Не существует одного универсального МПП, так как каждый обладает определенными преимуществами и недостатками. В зависимости от решаемой задачи, предъявляемых требований к методу решения, личных взглядов исполнителя расчета и других факторов выбирается тот или другой метод.

Оценку качества МПП, можно свести к следующим критериям:

– надежность или сходимость, которая означает, что метод гарантированно приводит к решению при любых заданных начальных исходных данных. Следует отметить, что многие МПП не обладают абсолютной надежностью, так как сходимость решения может быть потеряна на любом шаге. Однако другие их преимущества позволяют эффективно использовать их для решения широкого круга задач при соответствующем построении программ, позволяющем избежать «зацикливания» процесса решения.

– скорость, которая означает, что метод быстро приводит к решению. Часто быстрые методы менее надежны, чем медленные, но в тех ситуациях, когда требуется выполнять расчет для большого числа уравнений, особенно в режиме реального времени, часто предпочтение отдается быстрым методам.

– сложность программной реализации, которая для специализированных задач не имеет в большинстве случаев принципиального значения. Для студентов этот фактор имеет существенное значение, ввиду ограниченности времени, не слишком высокого уровня знания языков программирования и математики, особенно векторной и матричной.

– общее затраченное время, которое складывается из времени на составление программы и ее отладку, времени на подготовку, проверку и набор на клавиатуре исходных данных, и времени собственно на расчет.

Отметим, что опыт расчетов на современных высокопроизводительных компьютерах показывает, что время, затрачиваемое на подготовку исходных данных, многократно превышает время, затрачиваемое компьютером на выполнение вычислений. Поэтому при решении относительно небольших студенческих задач скорость счета не имеет принципиального значения, и можно с успехом использовать простые и надежные МПП, хотя и не очень быстрые.

Большинство методов требует записи решаемого нелинейного уравнения в виде Y(Х) = 0. Решением данного уравнения является нахождения приближенного значения Х, при котором выполняется уравнение.

Отметим, МПП применяются для решения самого широкого круга задач, не как стационарных режимов, так и нестационарных. Но в любом случае мы имеем уравнение или систему уравнений, которые требуется решить с определенной точностью.