Метод половинного деления
Метод половинного деления - раздел Образование, РАБОТЫ ТРУБОПРОВОДНЫХ СИСТЕМ
При Вычислении Корня Нелинейного Уравнения Методом Половинног...
При вычислении корня нелинейного уравнения методом половинного деления (метод ПД) решаемое уравнение должно быть приведено к виду
Y(Х)= 0 (7.1)
Графическая иллюстрация метода половинного деления приведена на рисунке 7.1.
Рисунок 7.1 – Графическая иллюстрация метода половинного
деления
Последовательность действий при решении уравнения методом ПД изложена ниже.
1) Задаются требуемой погрешностью вычислений εх по Х
Для большинства прикладных задач этот этап не вызывает затруднений, так как из физического смысла задачи и целей расчета достаточно ясно следуют требования к точности вычисления искомого параметра. Очевидно, что температуру в дымовой трубе котла нет смысла определять с точностью до сотых долей градуса. Весьма практично вначале задаться требуемой относительной точностью определения параметров, а затем перейти к абсолютным величинам погрешностей. Во многих расчетах относительная погрешность в 1-2 % вполне достаточна.
2) Задаются левой Хл и правой Хп границами интервала, на котором гарантированно находится решение. Решение на заданном отрезке должно быть только одно.
Для большинства прикладных задач и этот этап не вызывает затруднений, так как из физического смысла задачи достаточно очевидны минимальное и максимальное значение Х, которые могут наблюдаться в рассматриваемой ситуации. Например, температура некого тела, обменивающегося теплом конвекцией и излучением с другими телами, не может быть больше максимальной температуры окружающих тел, и меньше их минимальной температуры. В задаче, рассмотренной выше (рисунок 6.3), напор в точке Х не может быть больше отметки самого высоко расположенного бака, и не может быть меньше отметки самого низко расположенного бака.
Если все-таки поиск интервала вызывает затруднения, то задаются левой границей Хл, вычисляют значение Y(Хл), а затем с определенным шагом увеличивают Х, вычисляя каждый раз значение Y(Х), пока не изменит знак по отношению к Y(Хл). Найденное значение Х принимается за правую границу, а предыдущее значение Х – за левую. Действуя таким образом, можно существенно сузить начальное значение интервала.
3) Вычисляют значение Y(Хл) на левой границе интервала.
4) Вычисляют значение Хср в середине интервала
Хср = (Хл + Хп) / 2 (7.2)
5) Вычисляют значение Y(Хср) в середине интервала
6) Если Y(Хср) = 0, то Хср есть решение, и расчет закончен. В противном случае расчет продолжается.
7) Определяют совпадение знаков функции на левой границе интервала Y(Хл) и в середине Y(Хср) путем их перемножения (если знаки одинаковы, то произведение будет положительным, а если разные, то отрицательным).
В = Y(Хл) × Y(Хср) (7.3)
8) Если знак произведения В положителен, значит решение находится правее середины интервала, и левую границу следует переместить в середину, в противном случае в середину перемещается правая граница интервала.
если В>0, тогда Хл = Хср , Y(Хл) = Y(Хср) (7.4)
если В<0, тогда Хп = Хср (7.5)
Данное правило действует при любом наклоне линии функции Y(Х), как показано на рисунке 7.2
а) произведение В меньше 0
б) произведение В больше 0
Рисунок 7.1 – Иллюстрация правила сдвига границ интервала
9) Проверяют, не достигнута ли требуемая точность расчета. Если требуемая точность достигнута, то расчет прекращают, и за решение принимается середина интервала.
если (Хп – Хл )/2 ≤ εх, тогда Х = (Хл + Хп)/2 (7.6)
10) Проводят следующий цикл вычислений, повторяя этапы расчета с пункта 4.
Таким образом, на каждом цикле расчета принятый ранее интервал сужается в два раза. После выполнения N итераций ширина интервала уменьшается в 2N раз.
Метод ПД является достаточно медленным, так как на любом шаге следующее приближение может оказаться дальше от истинного решения, чем полученное на предыдущем шаге. Так, в примере на рисунке 7.1 значение середины отрезка на первом шаге Xср1 значительно дальше отстоит от истинного решения, чем начальное приближение Xср0, полученное делением исходного отрезка пополам.
Зато данный метод является очень простым и надежным, гарантирующим нахождение решения независимо от вида функции Y(Х). Сама функция может быть любой и иметь перегибы, максимумы и минимумы. Преимуществом этого МПП является так же то, что его реализация не требует вычисления производной от функции.
Программная реализация метода ПД очень проста, и составляет всего несколько строк на любом языке программирования.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Государственное образовательное учреждение... высшего профессионального образования Тихоокеанский государственный университет...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Метод половинного деления
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Все темы данного раздела:
Некоторые термины и понятия
Трубопроводная система предназначена для перемещения на определенное расстояние некоторой транспортируемой среды, которой чаще всего является вода или воздух
Конструктивные характеристики трубопроводных систем
Трубопроводная сеть состоит из отдельных трубопроводов, каждый из которых может иметь свои индивидуальные характеристики. Рассмотри основные характеристики трубопроводов.
&
Характеристики перемещаемой среды
Характеристики перемещаемой среды имеют важное значение для расчета гидравлического режима системы. К ним относятся плотность и вязкость
Режимные параметры трубопроводных систем
Основными параметрами работы любой трубопроводной системы или ее отдельного элемента являются, расход, скорость среды, давление или напор, потери напора, потребляемая мощ
Потери давления и напора в трубопроводе
Как указывалось выше, при движении жидкости по трубопроводу энергия потока, то есть его давление или напор, уменьшается, в итоге потерянная механическая энергия потока переходит в т
Понятие характеристик трубопровода и нагнетателя
Как ясно из изложенного выше, потери давления в неком участке трубопровода зависят от расхода, характеристик трубопровода и перемещаемой среды.
Зависимость потерь давления
Разбиение системы на нагнетатель и сеть.
Реальная трубопроводная система может состоять из большого числа отдельных элементов, однако при расчетах и анализах ее работы часто удобнее представить ее состоящей всего из двух у
Уравнения балансов среды и энергии в системе
Многие технические задачи решаются на основе составления балансных уравнений. Слово «баланс» означает «равенство», «равновесие» неких движущих сил или параметров процесса и сил и па
Графический метод наложения характеристик
Наличие балансов среды и энергии в системе позволяют получить систему из двух уравнений, которую можно решить относительно р
Причины необходимости сложения характеристик
Как ясно из предыдущего раздела, для нахождения рабочего режима системы по методу наложения характеристик требуется рассматривать систему как состоящую только из двух элементов — нагнетательной уст
Системы при последовательном соединении
Последовательное соединение— это такое соединение, при котором два элемента имеют одну общую точку, причем конец первого элемента соединен с началом второго, а
Параллельном соединении
Параллельное соединение—это такое соединение, при котором два элемента имеют две общих точки, при этом начало первого элемента соединено с началом второго, конец первого элемен
Логарифмической системе координат
Логарифмическая система координат очень часто используется для отображения гидравлических характеристик вентиляторов и элементов вентиляционных сетей – решеток, воздухораспределител
Аналитическое сложение характеристик трубопроводов
Во многих случаях при расчетах систем требуется определить итоговую характеристику сети, состоящей из нескольких участков трубопровода или нескольких единиц оборудования. Если извес
Характеристик
При нахождении режимов трубопроводных систем рекомендуется придерживаться определенного порядка действий, не стремясь сразу начинать графические построения (может оказаться, что они
Гидростатическим напором в сети
Рассмотрим решение простой задачи для схемы системы, приведенной на рисунке 4.4.
Этап 1. Предполагаемое направление расходов указано стрелками на схеме. В данной системе при большой высоте
Системы
Знание напоров или давлений в отдельных точках системы является исключительно важным с точки оценки требуемой прочности трубопровода, анализа возможности развития разрыва потока и кавитационных про
Последовательных приближений
В стационарном режиме в любой гидравлической системе должны соблюдаться массовый и энергетический балансы – приток среды равен расходу среды из системы, сообщаемый системе положительный напор от ис
Решение для системы с одним узлом
Рассмотрим простую задачу, состоящую из двух участков с подключенными к ним емкостями (рисунок 6.2).
Метод хорд
При вычислении корня нелинейного уравнения методом хорд решаемое уравнение также должно быть приведено к виду (7.1). Метод хорд дает хорошие результаты на плавных кривых, имеющих мо
Метод Ньютона (метод касательной)
При вычислении корня нелинейного уравнения методом Ньютона решаемое уравнение также должно быть приведено к виду (7.1). Метод Ньютона дает хорошие результаты на плавных кривых, имею
Метод простой итерации
Казалось бы, это один из самых простых методов решения нелинейных уравнений. В данном методе решаемое уравнение F(Х)= 0 необходимо представит в виде
Х = f(Х)
Режимов трубопроводных систем
8.1 Вывод расчетного уравнения для решения методом узловых давлений
8.2 Метод контурных расходов
Решение задач потокораспределения в трубопроводных
Давлений
Снова рассмотрим систему из трех участков, для которой производилось определение расходов методом приближения (рисунок 8.1).
Контурных расходов
Рассмотрим элемент трубопроводной системы, состоящий из четырех участков, образующих замкнутый контур (рисунок 8.2). Предполагаемые направления потоков на участках показаны на рисун
Устойчивости
Понятие устойчивости является общеинженерным и встречается при анализе режимов работы самых различных систем: устойчивость положения механической системы, устойчивость строительных
Процессы помпажа в насосных системах
Рассмотрим работу системы, состоящей из насоса, трубопровода и напорного бака (на рисунке 9.3а). Линия характеристика насоса имеет «провал» и «горб» в пределах первого квадранта – т
Причины возникновения помпажа
Помпаж в трубопроводных насосных системах возникает из-за сочетания ряда обстоятельств, каждое из которых может способствовать возникновению помпажа, но само по себе не является для
Конструктивные мероприятия
Учитывая, что для насосов с непрерывно падающей характеристикой возникновение помпажа в принципе невозможно, казалось бы очевидным использовать всегда именно такие насосы. Однако наличие горба на х
Проектные мероприятия
На этапе выполнения проектных работ необходимо так подобрать оборудование и его размещение, чтобы возможно было впоследствии эксплуатировать насосную установку без возникновения помпажа. Для этого
Причины разрыва потока в трубопроводных системах
При определенных условиях в трубопроводах гидравлических систем могут возникать разрывы сплошности потока, то есть часть или все сечение трубопровода занято не перемещаемой средой, а ее паром или в
Кавитация в насосах
Кавитацией называется комплекс явлений, связанных с образование парогазовых полостей в проточной части какого-либо устройства из-за вскипания жидкости в зоне местного понижения стат
Допустимая геометрическая высота всасывания
Основной задачей при эксплуатации насосов является недопущение возможности возникновения кавитации в насосе. Достигается это правильным выбором геометрической высоты всасывания насоса Н
Мероприятия против возникновения кавитации
Из (10.11) следует, что для уменьшения возможности возникновения кавитации и увеличения допустимой высоты всасывания необходимо соблюдать следующие рекомендации:
а) перекач
Новости и инфо для студентов