Метод хорд

 

При вычислении корня нелинейного уравнения методом хорд решаемое уравнение также должно быть приведено к виду (7.1). Метод хорд дает хорошие результаты на плавных кривых, имеющих монотонный наклон. Его преимуществом является более быстрая сходимость, чем метода ПД. Объясняется это тем, что метод имеет монотонную сходимость – каждое последующее приближение находится ближе к истинному решению, чем предыдущее.

Как и для метода ПД, не требуется вычисление производной.

 

Графическая иллюстрация метода хорд приведена на рисунке 7.2.

 

 

Рисунок 7.2 – Графическая иллюстрация метода хорд

 

Последовательность действий при решении уравнения методом хорд изложена ниже.

 

1) Задаются требуемой погрешностью вычислений ε_х по Х

 

2) Задаются левой Х_л и правой Х_п границами интервала, на котором гарантированно находится решение. Решение на заданном отрезке должно быть только одно.

 

3) Вычисляют значение Y(Х_п) на данном шаге решения на правой границе интервала.

 

4) Вычисляют значение Y(Х_л) на данном шаге решения на левой границе интервала.

 

5) Вычисляют значение X в точке пересечения хорды и оси абсцисс

Из построений на рисунке 7.2 можно записать пропорцию

(0 – Y_л) / (Y_п – Y_л) = (Х – Х_л) / (Х_п – Х_л) (7.7)

 

Из (7.7) получим выражение для вычисления положения точки пересечения хорды и оси абсцисс

 

X = Х_л – Y_л /[(Х_п – Х_л)/(Y_п – Y_л)] (7.8)

или

X = Х_п – Y_п /[(Х_п – Х_л)/(Y_п – Y_л)] (7.9)

 

При этом выражение в квадратных скобках является тангенсом наклона хорды, соединяющей крайние точки функции.

 

6) Вычисляют значение Y(Х) на данном шаге решения в точке пересечения хорды и оси абсцисс.

 

7) Определяют совпадение знаков функции на левой границе интервала Y(Х_л) и в середине Y(Х) путем их перемножения (если знаки одинаковы, то произведение будет положительным, а если разные, то отрицательным).

В = Y(Х_л) × Y(Х) (7.10)

 

8) Если знак положителен, решение находится правее точки Х, и тогда левую границу следует переместить в точку Х, в противном случае в точку Х перемещается правая граница интервала.

 

если В>0, тогда Х_л = Х (7.11)

 

если В<0, тогда Х_п = Х (7.12)

 

9) Проверяют, не достигнута ли требуемая точность расчета. Если требуемая точность достигнута, то расчет прекращают, и за решение принимается середина интервала. Проверка точности является наиболее сложной задачей. Обычно оценивают разницу значений, полученных на предыдущем и текущем шаге

 

если |(Х_i – Х_i-1 )| ≤ ε_х, тогда Х = Х_i (7.13)

 

10) Проводят следующий цикл вычислений, повторяя этапы расчета с пункта 3.

 

Таким образом, на каждом цикле расчета принятый ранее интервал сужается. Метод хорд является достаточно быстрым, так как на любом шаге граница интервала неизбежно приближается к истинному решению – уход дальше просто невозможен.

Данный метод является очень простым и надежным, особенно он хорош для «гладких» функций, не имеющих перегибов. Достоинством этого МПП является так же то, что его реализация не требует вычисления производной от функции.

Программная реализация метода очень проста.