Метод Ньютона (метод касательной)

 

При вычислении корня нелинейного уравнения методом Ньютона решаемое уравнение также должно быть приведено к виду (7.1). Метод Ньютона дает хорошие результаты на плавных кривых, имеющих монотонный наклон. Его преимуществом является более быстрая сходимость, чем у других методов. В начале расчета задается интервал, а начальная точка (начальное приближение). В данном методе требуется вычисление производной.

Графическая иллюстрация метода Ньютона приведена на рисунке 7.3.

 

 

Рисунок 7.3 – Графическая иллюстрация метода Ньютона

 

Последовательность действий при решении уравнения методом Ньютона изложена ниже.

 

1) Задаются требуемой погрешностью вычислений ε_х по Х

 

2) Задаются значением начального приближения Х = Х₀ . В некоторых случаях следует задаться начальной точкой, так как одному и тому же значению Х может соответствовать различное значение Y(Х).

Выбор точки начального приближения очень, важен, так как не при всяком начальном приближении процесс решения сходится к истинному решению.

 

3) Вычисляют значение Y= F(Х) на данном шаге решения.

 

4) Вычисляют значение производной F'(Х) на данном шаге решения.

 

5) Вычисляют поправку по Х

 

X = Х – Y(Х) / F'(Х) (7.14)

 

При этом выражение в квадратных скобках является тангенсом наклона хорды, соединяющей крайние точки функции.

Обращаем внимание, что если производная функции равно 0 (точка А на графике), то вычисление по формуле (7.14) невозможно.

 

6) Проверяют, не достигнута ли требуемая точность расчета. Если требуемая точность достигнута, то расчет прекращают, и за решение принимается значение Х на текущем шаге.

Проверка точности является наиболее сложной задачей.

 

если |(Х_i – Х_i-1 )| ≤ ε_х, тогдаХ = Х_i (7.15)

 

10) Проводят следующий цикл вычислений, повторяя этапы расчета с пункта 3.

 

Таким образом, в каждом цикле расчета точка Х все ближе приближается к истинному решению. Метод Ньютона является очень быстрым, так как наклон касательной позволяет наиболее правильно предсказывать положение точки пересечения. Особенно быстро сходится решение на конечном этапе.

Данный метод является достаточно критичным к выбору начального приближения и к виду функции F(Х). Не для всех функций возможно применение данного метода, особенно это касается функций с разрывом. На рисунке 7.4 изображены две функции – окружность F₁ и гипербола F₂ . Если принять за начальное приближение для окружности в точке А, то ответ может быть найден методом Ньютона, а если принять точку Б, то первое же приближение даст ответ за пределами области существования функции (процесс расходится). В точке В производная равна бесконечности, поэтому приращение равно 0, и процесс не может дать новое значение очередного приближения. Для гиперболы точки Г и Д могут быть приняты в качестве начального приближения, а точка Е – нет.

Точного математического описания приемлемости выбранной точки в качестве начального приближения нет.

Для более корректного поиска точки начального приближения полезно построить график функции, однако для решения практических систем такой подход неприемлем, так как невозможно отобразить конечное выражение функции. Кроме того, при вариантном проектировании параметры системы изменяются пользователем, что приводит к изменению функции. В реальной ситуации для поиска начального приближения с приемлемой погрешностью можно использовать какой-либо МПП, обладающий безусловной сходимостью, например, метод половинного деления. После нахождения начального приближения переходят на продолжение решения по методу Ньютона и быстро достигают ответа с достаточной точностью.

 

 

Рисунок 7.4 – К вопросу о выборе точки начального приближения

 

В том случае, когда вычисление производной затруднено или требует больших затрат машиннного времени, можно использовать метод секущих (рисунок (7.5). Здесь вместо наклона касательной вычисляется наклон секущей, проходящей через вспомогательные точки А и Б, которые выбираются вблизи текущей точки Х по обе стороны от нее на равном расстоянии. Такой выбор вспомогательных точек позволяет построить секущую с наклоном, близким к наклону касательной к линии функции.

 

 

Рисунок 7.5 – Графическая иллюстрация метода секущих