Рассмотрим элемент трубопроводной системы, состоящий из четырех участков, образующих замкнутый контур (рисунок 8.2). Предполагаемые направления потоков на участках показаны на рисунке стрелками.
В данный контур входят четыре узла и четыре участка. Рассмотрим, как можно определить режим работы участков, используя метод Ньютона.
Если обойти последовательно все участки контура , начиная с узла А и заканчивая им же, то сумма изменений напоров на участках контура теоретически должна равняться нулю.
НА – Н1 – Н2 + Н3 – Н4 = НА (8.17)
+ Н1 + Н2 – Н3 + Н4 = 0 (8.17а)
Σ Нi = 0, (8.17б)
где i – номер участка.
Рисунок 8.2 – Расчетная схема контура трубопроводной сети
При подсчете потерь напоров на участках знак «плюс» принимают для участков, направление расходов на которых совпадает с направлением обхода контура, и знак «минус», если направление расхода противоположное. Таким образом, суммирование следует производить с учетом знака.
На самом деле, когда задаются начальным приближением, расходы на участках определены с некоторой погрешностью, и суммирование потерь напоров дает значение, отличное от нуля.
При квадратичном режиме течения потери напора для каждого участка определяются по выражению
Нi = А i Q2i (8.18)
Итоговая невязка напоров в контуре j равна сумме потерь напора на участках этого контура
ΔНj = ΣА i Q2i (8.19)
Для того, чтобы баланс напоров стал равен нулю, требуется изменить расходы на участках. При этом необходимо, чтобы суммарный расход в узлах контура не изменился – тогда расход, проходящий через контур в другие участки системы, останется тоже неизменным. Для обеспечения этого условия к расходу каждого участка надо прибавить с нужным знаком одно и то же значение поправки к расходу. Фактически это означает, что в контур вносится некоторый дополнительный поправочный расход ΔQj в направлении обхода контура или противоположном, в зависимости от знака невязки напоров.
После внесения поправки к расходам потери напора на участке тоже изменятся. Тогда выражение (8.18) для отдельного участка запишется следующим образом
Нi + ΔНi = А i (Qi + ΔQj )2 (8.20)
После возведения в квадрат получим
Нi + ΔНi = А i (Q2i + 2 Qi ΔQj + ΔQ2j ) (8.21)
Пренебрегая значением ΔQ2j ввиду большего порядка малости и раскрывая скобки, получим выражение
Нi + ΔНi = А i Q2i + 2 А i Qi ΔQj (8.22)
С учетом (8.18) получим
ΔНi = 2 А i Qi ΔQj (8.23)
После внесения поправки к расходам баланс напоров в контуре должен стать нулевым. Для этого сумма изменений потерь напоров на участках должна равняться невязке напоров в контуре
Σ ΔНi = Σ Нi = Σ А i Q2i (8.24)
С учетом (8.23) получим
Σ А i Q2i= 2 ΔQj Σ А i Qi j (8.25)
Окончательно получим выражение для поправочного контурного расхода
ΔQj = Σ А i Q2i / 2 ΣА i | Qi | (8.26)
Здесь излагается только общий вывод расчетной формулы для увязочного расхода. В реальных расчетах ситуация более сложная. Во-первых расходы в узлах сети не обязательно должны равняться нулю – это условие выполняется только для узла простого разветвления или слияния участков. Для большинства узлов в сетях водоснабжения, теплоснабжения и газоснабжения каждому приписывается некий узловой расход, равный расчетному расходу потребителей, присоединенных к этому узлу. В этом случае сумма расходов на участках узла должна равняться расчетному узловому расходу.
Во-вторых, набор уравнений по контурам должен быть дополнен набором уравнений баланса расходов по узлам, чтобы получить систему, в которой количество уравнений равно количеству неизвестных. Поэтому формирование набора данных в методе контурных расходов является более сложным, и реализуется в виде наборов таблиц (матриц). Желательно, чтобы окончательное формирование системы контуров выполнялось не вручную, а при помощи самой используемой компьютерной программы.
В целом считается, что метод контурных расходов обеспечивает несколько лучшую сходимость, чем метод узловых давлений.
Более подробно о реализации данных методов следует читать в литературе, посвященной этому вопросу.