Устойчивости

 

Понятие устойчивости является общеинженерным и встречается при анализе режимов работы самых различных систем: устойчивость положения механической системы, устойчивость строительных конструкций, устойчивость режима электрической схемы, устойчивость системы автоматического регулирования и тд. В общем смысле термин «устойчивость» понимается как некоторая стабильность системы, способность ее возвращаться к некоторому состоянию, если по тем или иным причинам параметры ее режима незначительно отклоняются от среднего значения.

На рисунке 9.1 приведен пример двух вариантов простейшей системы – шарик расположен на некоторой поверхности.

 

а) б) в) г)

 

Рисунок 9.1 – К понятию устойчивости объекта

 

Состояние шарика, находящегося в выемке на поверхности (положение а), является состоянием устойчивого равновесия. Сила тяжести mg и сила реакции поверхности R равны по величине и направлены в противоположные стороны, поэтому взаимно уравновешиваются. Равнодействующая сил равна нулю. Если к шарику приложить некоторое боковое усилие, то мы выведем шарик из положения а, переведя в положение б. В этом положении за счет наличия уклона сила реакции, действующая всегда перпендикулярно поверхности, отклонится от вертикали. Появится равнодействующая R_х, направленная вбок, в сторону прежнего положения шарика. Если убрать ранее приложенное усилие, которым было вызвано смещение шарика, то эта равнодействующая вызовет смещение шарика вбок, и он вернется к прежнему своему положению а. Таким образом, незначительные усилия и отклонения в принципе не способны перевести систему в другое положение.

Если приложенное усилие и вызванное им отклонение будет значительным, то шарик может оказаться на вершине бугра поверхности (положение в), которое является состоянием неустойчивого равновесия. Сила тяжести mg и сила реакции поверхности R в нем тоже взаимно уравновешиваются, и равнодействующая сил равна нулю. Однако, при незначительном отклонении от положения в появляется горизонтальная составляющая, направленная в сторону от вершины бугра к впадине. Она стремится увести шарик еще дальше от состояния неустойчивого равновесия, и отклонение может только увеличиваться. Таким образом, шарик в принципе не может сам вернуться в состояние в.

Состояние шарика, находящегося на горизонтальной части поверхности (положение г), является состоянием безразличного равновесия. Сила тяжести mg и сила реакции поверхности здесь тоже взаимно уравновешиваются, однако при отклонении шарика от этого положения из-за отсутствия наклона поверхности не появляется горизонтальной составляющей, и поэтому шарик остается в новом положении сколь угодно долго.

Отметим попутно, что из состояния б в исходное состояние а шарик может вернуться только путем некоторого переходного процесса. Очевидно, что на гладкой поверхности это процесс будет колебательным – шарик многократно будет прокатываться через впадину на поверхности, а затем снова подниматься на противоположный склон. Как и у обычного маятника, в нижней точке скорость шарика и его кинетическая энергия будут максимальны, а в верхних точках траектории скорость и кинетическая энергия равны нулю, но максимальна потенциальная энергия шарика. В процессе своего движения шарик будет терять энергию за счет наличия трения о поверхность, при этом амплитуда колебаний будет постепенно уменьшаться (затухающие колебания), и в конце концов шарик остановится в самой нижней точке впадины – в положении а.

Однако, если весь процесс происходит в среде с большой вязкостью, то колебательного процесса может и не быть – шарик просто медленно скатится в выемку, так как вязкая среда не позволит шарику развить существенную скорость движения и запасти кинетическую энергию. Таким образом, вид переходного процесса определяется параметрами системы.

Если в переходном колебательном процессе обеспечить подпитку системы энергией, то можно получить незатухающие колебания. Примером устройств с незатухающими колебаниями являются маятники часов, генераторы электрических колебаний радиопередатчиков.

Огромное количество технических устройств используют перевод системы из одного устойчивого состояния в другое. Яркими примерами являются обыкновенный электрический выключатель, устройства хранения информации ЭВМ.

В трубопроводных системах, как и любых сложных системах, режим системы определяется большим количеством факторов. Учитывая, что большинство этих факторов являются постоянными, или меняются достаточно медленно, мы вправе ожидать, что режим трубопроводной системы в течение некоторого промежутка времени можно считать неменяющимся во времени, стационарным. При кратковременном изменении одного из параметров и последующего его возврата к прежнему значению рабочий режим системы также вернется к прежнему значению. Таким образом, обычно режим системы является устойчивым. Однако могут быть ситуации, когда режим, получаемый по расчету, не может существовать продолжительный период времени, так как является неустойчивым.

Рассмотрим два варианта графического решения для системы из нагнетателя и трубопровода (рисунок 9.2).

 

а) устойчивый режим б) неустойчивый режим

 

Рисунок 9.2 – Графическое отображение устойчивого и

неустойчивого режимов насосной системы

 

Согласно методу наложения характеристик, на рисунках а и б рабочий режим системы должен установиться в точке Ф – точке пересечения характеристик сети и нагнетательной установки. Однако, в системе всегда имеются случайные пульсации расхода и напора. Сам процесс работы лопаточного рабочего колеса насоса, имеющего конечное число лопаток, приводит к тому, что поток поступает в сеть не абсолютно равномерно, а напор на выходе насоса испытывает периодические колебания. Вихреобразование в местных сопротивлениях сети также приводит к колебаниям расхода и напора. Поэтому правильнее говорить не о расходе и напоре насоса (или системы в целом), а о некотором среднем значении расхода и напора. Мгновенные же значения рабочих параметров могут отклоняться от среднего в ту или другую сторону. Рассмотрим, как будут реагировать на эти отклонения насосные системы, характеристики нагнетательной установки и сети которых изображены на рисунках 9.2а и 9.2б.

Вначале проанализируем рисунок 9.2.а. В точке Ф , которая одновременно принадлежит и характеристике сети, и характеристике насосной установки, расходы и напоры насоса и сети одинаковы – имеют место материальный и энергетический балансы. Если в данной системе по каким-либо причинам расход уменьшится от значения Q_ф до Q₁ , то изменятся напоры, развиваемые насосной установкой Н_н1 и теряемые в сети Н_с1, причем Н_н1 > Н_с1 . Энергетический баланс системы нарушится. Избыточный напор насоса, который не может быть затрачен в сети при расходе Q₁ , будет затрачиваться на ускорение потока, в результате чего расход в системе возрастет, и режим вернется в исходную точку Ф. При отклонении расхода в другую сторону, до значения Q₂ , соотношение напоров станет другим: Н_н2 < Н_с2 . Избыточные затраты напора в сети по сравнению с напором насоса, приведут к торможению потока, в результате чего расход в системе уменьшится, и режим также вернется в исходную точку Ф. Таким образом, при таких характеристиках нагнетательной установки и сети режим системы является устойчивым, и при небольших отклонениях его от среднего значения он автоматически сам стремиться вернуться к среднему (точка Ф). Фактически, режим все время колеблется вокруг точки Ф.

В системе на рисунке 9.2б ситуация будет складываться совершенно противоположным образом. При уменьшении расхода от значения Q_ф до Q₁ , то напоры изменятся так, что Н_н1 < Н_с1 . Избыточные затраты напора в сети по сравнению с напором насоса приведут к торможению потока, в результате чего расход в системе должен еще больше уменьшиться, и режим уже не может вернуться в исходную точку Ф. При отклонении расхода в другую сторону, до значения Q₂ , соотношение напоров станет другим: Н_н2 > Н_с2 . Избыточный напор насоса, который не может быть затрачен в сети при расходе Q₂ , будет затрачиваться на ускорение потока, в результате чего расход в системе возрастет, и режим также уже не может вернуться в исходную точку Ф, а перейдет в точку устойчивого режима Ф_уст. Таким образом, при таких характеристиках нагнетательной установки и сети режим системы является неустойчивым, и при небольших отклонениях его от среднего значения он автоматически сам стремится еще сильнее отклониться от теоретического значения (точка Ф). Режим не может стоять в точке Ф даже не продолжительное время, так данная точка находится в зоне переходных режимов.

Математическое условие устойчивости режима записывается очень просто

d Н_ну /d Q < d Н_с / d Q (9.1)

 

Учитывая, что производная отражает наклон касательной к линии характеристики, можно сказать, что для обеспечения устойчивости режима в точке пересечения наклон линии характеристики нагнетательной установки должен быть меньше наклона характеристики сети. Характеристика сети должна идти более круто вверх. Критической точкой является точка, в которой характеристика на сети является касательной к характеристике насосной установки. Здесь касательные к обеим характеристикам имеют одинаковый наклон, поэтому эта точка является точкой неустойчивого равновесия.

При определенных условиях вследствие изменения рабочего режима могут возникать ситуации, когда режим более не может быть устойчивым. Тогда могут происходить резкие срывы работы насоса и системы в целом, сопровождающиеся сложными переходными процессами. Это явление получило название помпаж. Ниже рассматриваются процессы помпажа в различных системах.