Залежність питомої теплоємності від температури можна виразити рівнянням

де с₀ — питома теплоємність при 0°С;

b — температурний коефіцієнт теплоємності.

Виразимо масу М через щільність γ, переріз q і довжину провідника l:

Після підстановки і спрощення матимемо:

Зробимо інтегрування правої і лівої частин рівняння :

де t_кз—тривалість короткого замикання;

q_н—температура провідника до початку короткого замикання (звичайно при протіканні тривалого номінального струму);

q_кз — температура провідника при короткому замиканні до моменту часу t_кз.

Припустимо, що струм I не змінюється за своїм діючим значенням. Надалі буде показано, що отримані формули можуть бути використані й у випадку, коли діюче значення I змінюється.

У результаті інтегрування одержимо:

де d — щільність струму;

A_qкз і A_qн — значення інтеграла правої частини при верхньому (q_кз) і нижньому (q_Н) межах інтегрування.

q — переріз провідника.

З метою спрощення розрахунків побудовані криві q= f(A_q) для різних матеріалів (рис. 28). За допомогою цих кривих легко зробити розрахунок на термічну стійкість апарата.

Відповідно до властивостей провідника й ізоляції вибирається припустима температура при короткому замиканні q_кз і номінальному струмі q_н. За допомогою кривих на рис. 28 знаходимо A_qкз і A_qн, що відповідають температурам q_кз і q_н. Знаючи d²t, можна при даних t і I визначити переріз провідника q або при відомих t і q знайти припустимий струм короткого замикання. Якщо відомий припустимий струм I₁ при часі t_кз1, то припустимий струм при часі t_кз2 дорівнює:

Рис. 28 – Криві для визначення температури провідників при проходженні струму короткого замикання.

 

Рівняння не враховує тепловіддачу в навколишнє середовище, тому ним можна користуватися при часі не більше 10 с.

 

Якщо використовується матеріал, для якого немає кривих, аналогічних рис. 28, то при b<<a розрахунок термічної стійкості роблять за допомогою рівняння

b — температурний коефіцієнт теплоємності;

α—температурний коефіцієнт опору матеріалу;

 

Фізичні сталі провідникових матеріалів, що широко застосовуються в апаратах, наведені в [1-3].

При короткому замиканні поблизу генератора через перехідні процеси величина змінної складової струму, що протікає через апарат, змінюється. У цьому разі розрахунок термічної стійкості ведуть по усталеному струму короткого замикання I_¥.

Час проходження сталого струму I_¥. приймається рівним фіктивному часу t_ф.

Фіктивний час t_ф — це час, при якому тепло, що виділяється при проходженні сталого струму I_¥., дорівнює теплу, що виділяється при проходженні реального струму за реальний час протікання.

Фіктивний час для періодичної складової струму короткого замикання t_ф.пер. знаходять за допомогою кривих рис. 29. Для даного генератора визначають b"=I"/I_¥. (I"— діюче значення надперехідного струму) і, знаючи дійсний час проходження струму t_кз = t і b", знаходять t_ф.пер..

Фіктивний час для аперіодичної складової струму може бути знайдений за спрощеною формулою з [1-8]:

Фіктивний час

Рис. 29 – До розрахунку фіктивного часу t_ф = f (b , t)

 

Фіктивний час