Робоча програма і короткий конспект лекцій до самостійного вивчення курсу Економетрія 7.050106 Облік і аудит і 7.050107 Економіка підприємств

Міністерство освіти і науки України

Харківська національна академія

міського господарства

Робоча програма і короткий конспект лекцій

до самостійного вивчення курсу „Економетрія”

(для студентів денної і заочної форм навчання

спеціальностей 7.050201 "Менеджмент організацій",

7.050106 "Облік і аудит" і 7.050107 "Економіка підприємств")

Харків – ХНАМГ - 2006

Робоча програма і короткий конспект лекцій до самостійного вивчення курсу "Економетрія" (для студентів денної і заочної форм навчання спеціальностей "Менеджмент організацій", "Облік і аудит" та "Економіка підприємства"). Укл.: Скоков Б.Г., Мамонов К.А. - Харків: ХНАМГ, 2006 – 105с.

Метою курсу є вивчення методів економіко-математичного моделювання виробничих процесів і їх практичного застосування для вирішення завдань організації, планування і управління.

У результаті вивчення теоретичного курсу, виконання практичних і лабораторних завдань студенти повинні засвоїти методику математико-статистичної обробки виробничої інформації при вирішенні конкретних завдань з організації, планування і управління; використовувати методи кореляції і регресії та інші методи для розв’язання виробничих і планово-економічних завдань.

Укладачі: Б.Г.Скоков, К.А.Мамонов

Рецензент: В.Т.Доля

Рекомендовано кафедрою "Облік і аудит",

протокол №7 від 26.12.2005р.

Харківська національна академія міського господарства,2006

Зміст

Загальні вказівки................................................................................
Робоча програма курсу......................................................................
Короткий конспект лекцій................................................................
Тема 1. Предмет, мета і завдання курсу..........................................
Тема 2. Основні теоретичні положення математико-статистичного моделювання техніко-економічних показників.………………….
2.1. Випадкові події і величини, їх числові характеристики.........
2.2. Закон розподілу випадкової величини.....................................
2.3. Статистичні гіпотези та їх перевірка........................................
2.4. Попередня обробка результатів спостережень і техніко-економічної інформації.....................................................................
Тема 3. Метод кореляції і регресії...................................................
3.1. Загальні відомості й теоретичні положення............................
3.2. Обґрунтування форми зв’язку змінних і розрахунок параметрів теоретичної лінії регресії..............................................
3.3. Оцінка тісноти, суттєвості і лінійності (нелінійності) зв’язку між змінними....................................................................……….....
Тема 4. Математичні методи прогнозування..................................
4.1. Прогнозна модель, її характеристики і план складання.........
4.2. Тимчасові ряди. Виявлення загальної тенденції.....................
4.3. Авторегресійні моделі прогнозування.....................................
Ключові питання для контролю знань............................................
Загальна й додаткова література..............................................…....

Загальні вказівки

Курс "Економетрія" є одним з основних для студентів, які навчаються на факультетах економічному та менеджменті. Він складається з чотирьох… На лекціях студенти знайомляться зі способами й прийомами… У результаті вивчення курсу студенти повинні знати:

Робоча програма курсу

Тема 1. Предмет, мета і завдання курсу

Необхідність, можливість та значення використання економіко-математичних методів у плануванні й управлінні. Роль методів і прийомів об’єктивного, якісного і кількісного дослідження економічних явищ для вирішення завдань з ефективного використання трудових, матеріальних і фінансових ресурсів.

Особливості економіко-математичного моделювання масових явищ і дослідження статистичних сукупностей. Науково обґрунтовані передумови якісного й кількісного аналізу техніко-економічних показників, виявлення об’єктивного їх взаємозв’язку з умовами виробництва.

Мета і завдання курсу. Його взаємозв’язок з профілюючими дисциплінами.

Тема 2. Основні теоретичні положення математико-статистичного моделювання техніко-економічних показників

Випадкові події та величини, їх числові характеристики

Достовірні, неможливі, випадкові й невизначені економічні процеси і явища. Випадкові події й випадкові величини. Генеральна й вибіркова сукупність. Роз’єднання досліджуваної сукупності, побудова статистичних і часових рядів розподілу. Узагальнюючі статистичні характеристики ряду розподілу випадкових величин. Імовірність як математичне визначення об’єктивної можливості відбутися чи не відбутися випадковому явищу. Роль закону великих чисел у дослідженні випадкових величин.

Закони розподілу випадкових величин

Форми відображення законів розподілу. Закон нормального розподілу та його значення в математичній статистиці. Встановлення імовірності попадання значення випадкової величини у визначений інтервал.

Стандартизація нормального розподілу.

Статистичні гіпотези та їх перевірки

Оцінка точності вихідної інформації. Грубі, систематичні й випадкові помилки. Розподіл випадкових помилок та їх властивості. Довірчі межі вибіркової середньої та максимальне відхилення із заданим рівнем надійності. Принцип практичної неможливості малоймовірних подій та його застосування в оцінці статистичних гіпотез. Поняття нульової (основної) та конкуруючої (альтернативної) гіпотез. Область прийняття гіпотези та критична область.

Попередня обробка результатів спостережень та техніко-економічної інформації

Етапи математично-статистичного моделювання. Основні принципи відбору змінних. Обґрунтування обсягу вибірки або достатності вихідної інформації. Виявлення спостережень, що різко відрізняються від основної маси вибіркових даних. Перевірка статистичної однорідності вибіркової сукупності. Дослідження закону розподілу функціональної ознаки.

Тема 3.Кореляція і регресія

Основні положення і етапи розробки кореляційних та регресивних залежностей

Функціональні й стохастичні відносини між явищами. Характер стохастичних відносин. Завдання регресивного аналізу при встановленні співвідношень між окремими змінними. Причинно-наслідкова, непряма й неправдива регресія. Регресивна модель як математичне відбиття закономірного зв’язку. Етапи розробки кореляційних і регресивних залежностей.

Основні форми зв’язку і розрахунок параметрів теоретичної лінії регресії

Групування дослідних даних, побудова кореляційного поля емпіричної лінії регресії. Підбір форми математичного рівняння залежності, що найчастіше зустрічаються й використовуються в економічних дослідженнях.

Обґрунтовані форми теоретичної лінії регресії. Зведення математичних функцій до лінійного виду шляхом функціонального перетворення змінних. Спосіб знаходження невідомих параметрів порівняння, мажорантність середніх при переході від порівнянь, де залежна змінна підлягала функціональному перетворенню. Використання ЕОМ для находження парних кореляційних залежностей між досліджуваними змінними.

Оцінка тісноти, суттєвості й лінійності (нелінійності) зв’язку між змінними

Показники ступеня розсіювання функцій для різних значень аргументу.

Емпіричне кореляційне відношення. Коефіцієнти парної кореляції й формули для його обчислення. Перевірка гіпотези суттєвості коефіцієнта кореляції.

Виявлення лінійності або нелінійності між функціональною ознакою та аргументом.

Перевірка відповідності отриманого рівняння дослідним даним

Якісний аналіз суті досліджуваного явища. Оцінка відхилень досліджених даних відносно теоретичної лінії регресії. Залишкова теоретична дисперсія.

Критерій адекватності Філера.

Множинна регресія

Необхідність виявлення відокремленого "чистого" впливу визначених факторів-аргументів у дослідженому процесі. Об’єднання парних рівнянь у випадках перетворення та не перетворення функціональних ознак. Складання системи порівнянь для визначення множинної регресії у натуральному й стандартизованому масштабі. Стандартна помилка коефіцієнтів регресії.

Проблема мультиколінеарності. Методика виявлення мультиколінеарності за зворотною кореляційною матрицею. Прийоми послаблення внутрішніх зв’язків між аргументами. Підбір функціональних перетворень та ортогоналізація змінних.

Тема 4. Математичні методи прогнозування

Прогнозуюча модель, її характер та загальний план складання

Необхідність обліку фактора часу при вирішенні завдань з удосконалення управління виробництвом, прогнозуванні науково-технічного прогресу та соціально-економічних процесів при розробленні господарських планів. Методичні основи й методи прогнозування моделей. Мета і етапи моделювання.

Тимчасові ряди. Виявлення загальної тенденції

Збирання вихідної інформації для формування тимчасових рядів. Переваги прогнозуючих рівнянь по окремих об’єктах у порівнянні з просторовими рівняннями по групі об’єктів. Графічне зображення даних на координатній сітці. Виявлення загальної тенденції й дослідження відхилень від неї.

Вирівнювання по слизькій середній. Обробка рядів динаміки при наявності сезонних коливань, виявлення загальної тенденції. Визначення середньої по частинах циклу. Авторегресія. Коефіцієнт авторегресії, його суттєвість.

Виявлення достатнього числа членів авторегресійної моделі. Виявлення точності й надійності авторегресії.

Складання багатофакторних прогнозуючих моделей

Особливості використання регресивного аналізу до рядів динаміки. Ряди динаміки для відхилень від меж трендів функціональних і факторіальних ознак. Коефіцієнти кореляції між відхиленнями. Виявлення лагів впливу факторів на функціональну ознаку. Багатофакторні регресійні залежності з урахуванням фактора часу. Методика складання багатофакторного рівняння регресій в "синхронній формі". Авторегресія для факторів, що діють синхронно. Складання багатофакторного порівняння, що встановлює значення прогнозованої функціональної ознаки за значеннями усіх аргументів за попередні періоди прогнозуючого порівняння, використання економіко-математичних методів для вирішення виробничих завдань.

Короткий конспект лекцій, поняття і визначення

Тема 1. Предмет, мета і завдання курсу

У цих умовах підвищення якості господарського керівництва за допомогою математичного апарату і ЕОМ по всій системі управління, є важливою частиною… У постановах Ради Міністрів України неодноразово вказувалося на необхідність… Математика, як і інші науки, виникла і розвивається з потреб і запитів суспільства, з розвитку продуктивних сил і…

Випадкові події і величини, їх числові характеристики

- достовірні (визначені), які обов'язково відбудуться, якщо буде здійснена певна сукупність умов, і приймуть умови, які явно можна передбачити; - неможливі, які явно не відбудуться в певних умовах; - випадкові, які при сукупності умов можуть відбутися або не відбутися, в результаті випробувань можуть прийняти…

Закони розподілу випадкової величини

Найпростішою формою завдання такого закону служить таблиця, в якій перераховані можливі значення випадкової величини і відповідні їм ймовірності. … Таблиця 2.3-Значення випадкової величини і відповідні їм ймовірності … Щоб надати ряду розподілу наочний вигляд, будують його графічне зображення у вигляді гістограми, полігону, кумуляти і…

Статистичні гіпотези та їх перевірка

Грубі помилки за абсолютними величинами значно відрізняються від всього ряду помилок і підлягають виключенню з ряду спостережень. Систематичні помилки є наслідком впливу певних чинників, що спотворюють… Випадковими називають такі помилки, характер зміни яких не володіє видимою закономірністю. Кожна подальша помилка за…

Попередня обробка результатів спостережень і техніко-економічної інформації

Математико-статистичному моделюванню передує чітке уявлення суті вирішуваної задачі, аналіз її змісту з використанням технологічної, економічної і… - вивчити літературу і узагальнити професійні знання про об'єкт дослідження; … - чітко сформулювати мету і завдання дослідження;

Тема 3. Метод кореляції і регресії

Загальні відомості й теоретичні положення

Розрізняють два види залежності між економічними явищами і процесами: - функціональні, коли зміна однієї змінної Х (аргументу, чинника) на одиницю… - стохастичні (вірогідність), при яких зміна однієї випадкової величини Х викликає зміну ряду розподілу (середнього…

Обґрунтування форми зв'язку змінних і розрахунок параметрів теоретичної лінії регресії

- за дослідженими даними складатися кореляційна таблиця і кореляційне поле в звичайній декартовій координатній сітці; - обчислюються середні і будується емпірична лінія регресії по Хi, що… Середні інтервальні значення визначаються за допомогою співвідношення

Оцінка тісноти, суттєвості й лінійності (нелінійності) зв'язку між змінними

Кутовий коефіцієнт лінійного кореляційного зв'язку між у і х, який показує, на скільки одиниць в середньому зміниться функція, якщо аргумент… Для оцінки тісноти зв'язку між змінними використовується емпіричне кореляційне… σ2y= σ2y/х+ δ. (3.14)

Тема 4. Математичні методи прогнозування

Прогнозна модель, її характеристики і план складання

· одночинники, що виражають зміну самого показника; · парні регресійні, що виражають зміну показника залежно від зміни одного… · багаточинники, що виражають зміну показника залежно від групи найважливіших, які визначаюють його чинників.

Тимчасові ряди. Виявлення загальної тенденції

Як прямі приклади тимчасових рядів можна вказати щомісячну, щоквартальну, щорічну собівартість перевезення пасажирів, обсяг пасажирів, що… Маючи в розпорядженні свій тимчасовий ряд для досліджуваного показника і для… Тренд – це рівняння У=d(t), що виражає в середньому зміну в часі показника, заданого рядом динаміки. Таке рівняння…

Авторегресійні моделі прогнозування

Методика прогнозування цінна в тому випадку, якщо вона спирається на обґрунтовану теорію, що встановлює правомочність прогнозування за допомогою даної моделі і помилки вірогідності прогнозу. Оцінка такої помилки за допомогою функції зростання неможлива, тому особливий інтерес представляють авторегресійні моделі.

Авторегресією називається рівняння, що визначає змінну Хj у момент t (або t-й період) через її значення в попередні періоди: (t-1) (t-2)... (t-к). Лінійне авторегресійне рівняння записуємо у вигляді

Х_t= а₁ Х_t-1 + а₂ Х_t-2 + + а_к Х_t-к. (4.18)

Першим етапом дослідження тимчасового ряду змінної Х є виділення загальної тенденції у вигляді функції d(t) і визначення залишків ε_t у формі ε_t = Х_t - d(t) чи ε_t₌d(х_t).

Якщо залишки ε_t незалежні, тобто не можуть бути представлені як функція часу, то функція d(t) охоплює повністю еволюційну складову змінної Х_t. При цьому залишається знайти закон їх розподілу ε_t і, прийнявши гіпотезу про збереження цього закону розподілу на прогнозований період, побудувати довірчий інтервал для прогнозованої величини Х_t за функцією d(t). Якщо ж залишки ε_t залежні, тобто містять деяку тенденцію, то її можна виявити за допомогою коефіцієнта автокореляції. Проводячи зсув значень ε_t на один рядок і останнє значення переміщаємо на перше місце, одержуємо табл. 4.6.

Таблиця 4.6 – Залишки змінних ряду динаміки

ε_t	ε_t-1
ε₁	ε_n
ε₂	ε₁
ε₃	ε₂
…………	…………..
ε_n	ε_n-1

Обчислюємо циклічний коефіцієнт кореляції між рядами ε_t і ε_t_-1 за формулою

r(ε_t, ε_t_-1) = . (4.19)

Ця формула (4.19) виходить із звичайної формули для визначення коефіцієнта кореляції, якщо покласти

∑ ε_t₌∑ ε_t_-1= 0; (4.20)

∑ (ε_t _-1)²=∑ (ε_t)². (4.21)

Формула (4.20) виходить з того, що параметри функції d(t) визначаються за методом якнайменших квадратів, а формула (4.21) - з циклічної табл. 4.6.

Аналогічно, зсовуючи ε_{t на 2,3….К}рядків, одержуємо циклічну таблицю послідовних відхилень

Таблиця 4.7 - Циклічна таблиця послідовних відхилень

t	ε_t	ε_t-1	ε_t-2	………	ε_t-к+1	ε_t-к
	ε₁	ε_n	ε_n-1		ε_n-k+2	ε_n-k+1
	ε₂	ε₁	ε_n		ε_n-k+3	ε_n-k+2
	ε₃	ε₂	ε₁		ε_n-k+4	ε_n-k+3
….	….	….	….	….		….
К	ε_k	ε_k-1	ε_k-2		ε₁	ε_n
К+1	ε_k+1	ε_k	ε_k-1		ε₂	ε₁
К+2	ε_k+2	ε_k+1	ε_k		ε₃	ε₂
…..	…..	….	….	….	….	….
n	ε_n	ε_n-1	ε_n-2		ε_n-k+1	ε_n-k

За даними табл. 4.7 визначаємо всі циклічні коефіцієнти автокореляції:

r(ε_xt ε_xt-j) = , i, j = 1,2,…..K; (4.22)

r(ε_xt_-1 ε_xt_-_j) = . (4.23)

Циклічний коефіцієнт автокореляції не підпорядковується нормальному закону розподілу, його розподіл асиметричний, суттєві величини коефіцієнтів автокореляції при певному рівні значущості різні для позитивних і негативних його значень. 5% - й і 1% - й рівні значущості коефіцієнтів автокореляції подані в спеціальних таблицях. Знайдені значення r₁, r₂… r_n_-к-1перевіряємо по таблиці 5% - х і 1% - х рівнів вірогідності коефіцієнтів автокореляції. Якщо | r_{стат. (}_n₎ | < | r_{5%. (}_n₎ |, то приймаємо гіпотезу неавтокорельованості залишків ε_t; якщо | r_{стат. (}_n₎ | > | r_{1%. (}_n₎ | відкидаємо гіпотезу їх неавтокорельованості.

За циклічними коефіцієнтами автокореляції складаємо матрицю і її обертаємо. Як і в разі звичайної регресії багаточинника, перевіряємо наявність мультиколінеарності кожного з чинників ε_xt_-_j, j=1,2-k від сукупності інших і зберігаємо тільки лінійно незалежні аргументи.

Будуємо лінійну авторегресійну модель

ε_t = а₁ ε_t-1 + а₁ ε_t-2 + ….+ а_к ε_t-к, (4.24)

що виражає ε_t в період t за допомогою значень ε_t-j, j = 1,2…К за К попередніх періодів. При цьому в рівнянні повинні бути збережені тільки суттєві і лінійно незалежні коефіцієнти.

Якщо виявляються а_j – коефіцієнти, що не задовольняють вказаним вимогам, то модель потребує перерахунку (починаючи з розрахунку автокореляційної матриці більш низького порядку).

Оскільки параметри рівняння тренда визначали за методом найменших квадратів, то в разі його коректного підбору відповідні відхилення підкоряються нормальному розподілу, і, отже, рівняння регресії можна відшукувати в лінійній формі

ℓ_nX_t = a₁ ℓ_n X_t-1 + a₂ ℓ_n X_t-2+…….+a_k ℓ_n X_t-k+ F(t); (4.25)

X_t= a₁ X_t-1 + a₂ ℓ_n X_t-2 +……..+ a_nX_t-k+ F(t). (4.26)

Яким повинне бути число членів рівняння, це питання слід вирішувати в поєднанні професійних вимог процесу, що по суті вивчається, з математико-статистичними критеріями. Так, якщо статистичний ряд містить тижневі дані, то особливий інтерес являє чотиричленна модель залежності рівня показника від тижневих рівнів за весь попередній місяць. У разі місячних даних цікава тричленна авторегресія, а для даних, зібраних по роках, – п’ятичленна.

Статистичні критерії покликані встановити відсутність автокорельованості залишків від віднімання з табличних значень ε_t їх розрахункових значень

η_t = ε_t– (a₁ ε_t-1+ a₂ ε_t-2 +…+ a_k ε_t-2k). (4.27)

Існує декілька статистичних критеріїв. Один з них заснований на порівнянні середнього квадрата послідовних різниць η_t:

. (4.28)

З дисперсією величини

(4.29)

Складаємо відношення середнього квадрата послідовних різниць, до середнього квадрата самих величин:

К = . (4.30)

Якщо К_стат., потрапляє в допустиму область при рівні значущості 5%, а саме К_5%(n-k) < К_стат(n-k) < К¹_5%(n-k), то приймаємо гіпотезу неавтокорельованості залишків η_t, а, отже, і достатності числа членів К авторегресійної моделі.

Якщо ж К_стат (n-k) < К_%(n-k) або К_стат> К_1% (n-k), то відкидаємо гіпотезу неавтокорельованості залишків η_t і рахуємо число членів рівняння недостатності. У цьому випадку число членів рівняння треба збільшити, якщо довжина ряду дозволяє це.

Користуючись для прогнозу розробленими рівняннями, можна знайти довірчий інтервал для значення прогнозованого показника.

Якщо прогнозований показник рівний, то розмір показника Х_t записуємо у вигляді

- ≤ Xt ≤ + . (4.31)

Викладена методика складання авторегресійних моделей, використані критерії і побудований довірчий інтервал можна застосовувати тільки для великих вибірок, коли довжина ряду n не менше 30.

Помилка прогнозу по отриманих рівняннях визначається за дисперсії ε_t. Оскільки

- Х_t = ε_t, (4.32)

то Β_ер = | ε_t| ≤ t_α σ_ε= P_α, (4.33)

де P_α – задана вірогідність, P_α = 1-α, а t_α- відповідна межа по С (n-k) ступеням свободи Стьюдента:

σ_ε = . (4.34)

Розглянемо приклади складання авторегресійних моделей.

Одночленна модель. Щомісячний пробіг рухомого складу міського електротранспорту на 1000 пасажирів, що перевозяться, заданий рядом в графі 2 табл. 4.8. Наявність експоненціального ряду (див. рис. 4.3.) дозволяє розраховувати на придатність одночленної моделі = а₁Х_t-1.

Система нормальних рівнянь для визначення параметра а₁ має вигляд

= а₁_. (4.35)

З табл. 4.3. (графи 4 і 5) виходить 367673,4 = 364278,2 а₁

Звідки а_{1 =}= 1,0087 ≈ 1,01.

Одержуємо рівняння = 1,01 Х_t-1. Обчислюємо значення = 1,01 Х_t_-1 (графа 6) і знаходимо значення ε_t₌X_t -Х_t_-1 (графа 7) ∑ ε_t = 9,4, що несуттєво в порівнянні з розмірами X_t.

Обчислюємо коефіцієнт циклічної автокореляції r₁. За графами 9 і 10 отримаємо

r₁ = r(ε_t, ε_t_-1) = (4.36)

З табл. 4.3 знаходимо n¹ = 15-1=14, r<0, r_5% = -0,479.

Оскільки | r₁| < | r_5%|, кореляція ε_t, ε_t_-1несуттєва.

Аналогічно за графами 12 і 10 (табл. 4.8.) одержуємо r₂ = = 0,416, що свідчить про несуттєвість кореляції ε_t и ε_t-2.

У даному випадку переважний критерій Дж. Неймана. Обчислюємо різницю ε_t-ε_t-1за графами 13 і (ε_t-ε_t-1)² – за графами 14. Одержуємо

K= (4.37)

За табл. 4.3 для n₁ = 14 рівень значущості К_5% рівний 1,2725 при r > 0 і 3,0352 у разі r < 0. Розрахунки свідчать, що коли в генеральній сукупності автокореляція між залишками ε_t відсутня, то в 95% вибірок буде К > 1,272 у випадку r > 0 и К < 3,0352 при <.

У даному прикладі значення К потрапляє в допустиму область при 5% рівні значущості К > 1,2725. Отже, гіпотеза неавтокорельованості залишків ε_t стверджується і авторегресійне рівняння X_t = 1,01 X_t_-1 приймається.

Помилка прогнозу при середньоквадратичному відхиленні

σ_ε = . (4.38)

Складаємо

В_ср = ≤ t_α * = P_a_. (4.39)

При 95%-й гарантійної вірогідності t_α = 2,1 за табл. П.4[12] і помилка прогнозу не перевищить 14,42, що складає приблизно 8%:

- 14,42 ≤ 1,01 X_t-1≤ + 14,42 (4.40)

Визначаємо прогноз на 16-й і 17-й періоди з похибкою, що не перевершує 14,42 (рис. 4.3.):

= 1,01 * Х15 = 1,01 * 175,3 = 177,05; (4.41)

= 1,01 Х17 = 1,01 * 175,5 = 177,06. (4.42)

Таблиця 4.8 - Розрахунок параметрів одночленної авторегресійної моделі

t	X_t	X_t-1	X_t X_t-1	X_t-1²		ε_t= X_t-	ε_t-1	ε_t* ε_t-1	ε_t²	ε_t-2	еt* еt-2	еt-еt-1	(еt - еt-1₎²

	153,1	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
	153,3	153,1	23470,2	23439,6	154,6	-1,3	5,4	-7,02	1,69	1,7	2,21	5,1	26,01
	148,4	153,3	22749,7	23500,9	154,8	-6,4	-1,3	8,32	40,96	5,4	-34,56	-5,4	29,16
	148,9	148,4	22096,8	22026,6	149,9	-1,0	-6,4	6,4	1,0	-1,3	1,3	-11,0	14,0
	160,4	148,9	23883,6	22171,2	150,4		1,0	10,0	1,0	-6,4	-64,6	11,5	132,25
	160,5	160,4	25744,2	25728,2	162,0	-1,5	10,0	-15,0	2,25	-1,0	1,5		10,89
	157,3	160,5	25246,6	25760,2	162,1	-4,8	-1,5	7,2	23,04	10,0	-48,0	-16,5	272,25
	170,6	157,3	26835,4	24743,3	158,9	11,7	-4,8	-16,5	136,89	-1,5	-17,55	3,3	10,89
	163,9	170,6	27961,3	29104,4	172,3	-8,4	11,7	-98,27	70,56	-4,8	40,32	-7,4	54,76
	164,3	163,9	26928,3	26863,2	165,3	-1,0	-8,4	8,4	1,0	11,7	-11,7	-16,1	259,21
	170,9	164,3	28078,9	26994,5	155,8	15,1	1,0	15,1	228,01	-8,4	-126,84	19,8	292,04
	167,9	170,9	28694,1	29206,8	172,6	-4,7	15,1	-70,97	22,09	-1,0	4,7	-3,2	10,24
	168,1	167,9	28223,9	28190,4	169,6	-1,5	-4,7	7,05	2,25	15,1	-22,65	0,2	0,04
	168,2	168,1	28274,4	28257,6	169,9	-1,7	-1,5	2,55	2,89	-4,7	7,99	-7,1	50,41
	175,3	168,2	29485,5	28291,2	169,9	5,4	-1,7	9,18	29,16	-1,5	-8,4	-	-
	175,5		367673,4	364278,2		9,4		-184,64	661,179		-275,68		1369,15

Рис. 4.3 - Одночленна авторегресійна модель:

1-вихідні дані; 2-одночленна авторегресія; 3-вирівнююча гіпербола.

Багаточленна модель. Щомісячна реалізація цегли (в тисячах штук) базою торгово – будівельних матеріалів за 20 місяців представлена в табл. 4.9 (графа 2). Треба скласти модель для прогнозування місячної потреби в цеглі на найближчі місяці.

Таблиця 4.9 - Розрахунок параметрів багаточленної моделі
t	X_t	X_t-1		ε_t=X_t-X_t-1	ε_t-1	ε_t*ε_t-1	ε_t²	ε_t-ε_t-1	(ε_t-ε_t-1)²	X_t-2

		-	-	-	-	-	-	-	-	-
			16,55	0,55	2,84	-1,5	0,3	-	-	-
			18,75	4,25	0,55	2,34	18,06	-3,7	13,68
			25,37	1,63	4,25	6,93	2,66	2,62	6,86
			29,78	2,22	1,63	3,62	4,92	-0,59	0,35
			35,29	-6,29	2,22	-20,6	86,3	11,51	132,48
			28,68	-7,68	-9,29	71,35	58,98	1,61	2,59
			23,16	-5,16	-7,68	39,63	26,63	-2,62	6,35
			19,55	-4,55	-5,16	23,48	20,70	-0,61	0,37
			16,55	2,45	-4,55	-11,15	6,00	7,0
			20,96	3,04	2,45	7,45	9,24	-0,59	0,35
			26,47	6,53	3,04	19,85	42,64	-3,49	12,18
			36,40	0,6	6,53	3,92	0,36	6,47	41,86
			40,81	0,19	0,6	0,11	0,36	0,41	1,68
			45,22	-1,78	0,19	-0,34	3,17	1,97	3,88
			47,43	-2,43	-1,78	4,33	5,9	0,75	0,56
			49,64	-2,64	-2,43	6,42	6,97	0,21	0,04
			51,24	-2,84	-2,64	7,5	8,07	0,2	0,04
∑						162,28	301,26		272,2

Продовження табл. 4.9

X_t*X_t-1	X_t*X_t-2	X_t-1* X_t-2	X_t-1²	X ²t_-2	0,1175 X_t-1	1,061 X_t-2		ε_t=X_t-	ε_t²	ε_t- ε_t-1	(ε_t- ε_t-1)²

-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
					1,99	15,91	17,9	5,1	26,01	-	-
					2,70	18,04	20,74	6,26	39,8	-1,13	1,27
					3,17	24,40	27,57	4,43	19,62	1,83	3,35
					3,76	28,64	32,30	-6,3	39,69	10,73	115,13
					3,05	33,95	37,00	-16,0	25,6	9,7	94,09
					2,46	27,58	30,04	-12,04	144,96	-3,96	15,68
					2,11	22,28	24,38	-9,38	86,49	-2,66	7,07
					1,76	19,09	20,85	-1,85	3,42	-7,52	56,55
					2,23	15,92	18,15	5,95	35,4	-7,80	60,84
					2,82	25,46	22,98	10,02	100,4	-4,07	16,54
					3,87	26,52	29,33	7,67	58,82	2,35	5,52
					4,34	33,20	37,54	3,46	11,97	4,21	17,72
					4,82	39,25	44,07	-1,07	1,14	4,53	20,52
					5,05	43,50	48,55	-3,55	12,6	-2,48	6,15
					5,29	45,62	50,91	-3,91	15,29	0,36	0,12
					5,52	47,74	52,26	-4,26	18,14	0,35	0,12
								15,47	428,33

Використовуючи перші 18 членів ряду, складемо одночленну модель = а₁ Х_t-1. Визначаємо а₁ за методом середніх (табл. 4.9, графи 2.3):

а = (4.43)

Обчислюємо значення = 1,103 Х_t-₁і залишків ε_t = - Х_t (графи 4, 5). Для використання першого критерію автокорельованості складаємо циклічний ряд ε_t_-1 (графа 6), обчислюємо ε_t_*ε_t_-1 (графа 7) і ε_t² (графа 8). У результаті одержуємо

r₁ = r(ε_t, ε_t_-1) = (4.44)

За табл. 4.3 знаходимо n₁= 18 – 1 =17 і r > 0, маємо r_1% = 0,475.

Отже, r₁ потрапляє в критичну область при 1% рівні значущості, що дає підставу відкинути гіпотезу неавтокорельованості ε_t.

Таким чином, модель = а₁ Х_t-1 не приймається. До такого ж висновку приводить і другий критерій Дж. Неймана. На підставі граф 8,10 отримаємо

К = (4.45)

За табл. 4.3 знаходимо: n₁= 17 маємо К_1%= 1,035. Значить, К потрапляє в критичну область при 1% рівні значущості, що дає підставу забракувати гіпотезу відсутності автокорельованості ε_t.

Складаємо двочленну модель = а₁ Х_t-1.+ а₂Х_t-_2. Система нормальних рівнянь для визначення параметрів методом якнайменших квадратів має видгляд

. (4.46)

Визначивши суми для вирішення системи (табл. 4.9, графи 12-16), отримаємо 16289=1728 а₁ + 14241 а₂ ; 14853 = 14241 а₁ + 13187 а₂, звідки а₁ = 0,1175; а2 = 1,061. У графах 17-19 наведені значення Х_t, розраховані по формулі = 0,1175 Х_t-1 + 1,061 Х_t-2. Відхилення ε_t знаходимо за графами 20 і критеріюєм Дж. Неймана перевіряємо неавтокорельованість залишків. З граф 21,23

K= . (4.47)

За табл. 4.4 маємо:

К_5% (16) = 1,309 при r > 0;

К_5% (16) = 2,9577 при r < 0.

Отже, розрахункове значення К потрапляє в допустиму область при 5% рівні значущості, що дає підставу для ухвалення гіпотези неавтокорельованості залишків ε_t для затвердження двочленній моделі: = 0,1175 Х_t-1 + 1,061 Х_t-2.При середньоквадратичному відхиленні

σ_ε = = = 5,17 (4.48)

помилка прогнозу В_ср = ≤ t_α * = P_α; при 90%-й гарантійної вірогідності t_α = 1,74 за табл. П.4 [12] і помилка прогнозу не перевищить 8,84.

Прогноз на 19 і 20 періоди Х₁₉ = 55,61; Х₂₀ = 58,20 з 90%-й вірогідністю непереходу за межі

- 8,84 ≤ 0,1175 Х_t-1+ 1,061 Х_t-2≤ + 8,84. (4.49)

Запитання для контролю знань

2. Основні методичні принципи економіко-математичного моделювання виробничих процесів. 3. Мета і завдання курсу "економетрія" і його взаємозв'язок з… 4. Достовірні, неможливі, випадкові й невизначені економічні процеси і явища.

Навчальне видання

Укладачі: Скоков Борис Григорович,

Мамонов Костянтин Анатолійович

Редактор:М.З.Аляб’єв

План 2006, по з. 57

Під. до друку.14.04.06 Формат 60х84 1/16 Папір офісний.

Друк на ризографі Обл. вид. арк.. 5,0 Тираж 250 прим.

Зам. №.

61002, Харків, вул. Революції, 12

Сектор оперативної поліграфії ІОЦ ХНАМГ