Тимчасові ряди. Виявлення загальної тенденції
Тимчасовий ряд – це послідовність спостережень Уt, Уt2…Уtn, кожне з яких відноситься до деякого відрізку часу t1, t2,….tn, або визначає результати за деякий період часу.
Як прямі приклади тимчасових рядів можна вказати щомісячну, щоквартальну, щорічну собівартість перевезення пасажирів, обсяг пасажирів, що перевозяться по депо, або рівнянню в цілому. Як вже вказувалося вище, вихідні дані слід формувати по кожному з об'єктів у зв'язку з тим, що інформація буде більш достовірною ніж по групі об'єктів.
Маючи в розпорядженні свій тимчасовий ряд для досліджуваного показника і для всіх чинників, необхідно перш за все виявити загальну тенденцію зміни цих величин (тренд, еволюційну складову, лінію рівняння).
Тренд – це рівняння У=d(t), що виражає в середньому зміну в часі показника, заданого рядом динаміки. Таке рівняння можна розглядати як апроксимацію тимчасового ряду або як окремий випадок регресії.
Як показує дослідження економічних тимчасових рядів, в них завжди міститься загальна тенденція, яку необхідно виявити. Управління У=d(t) можна відшукувати безпосередньо за звітними або дослідженими даними, по К-членним ковзаним середнім.
Використання ковзаних середніх доцільно в разі достатньо довгого ряду. Число членів ковзаної середньої повинне бути обумовлено міркуваннями по суті процесу і залежне від кроку тимчасового ряду. Так, якщо дані про розміри показника не ділові, то інтерес представляє чотиричленна ковзана середня, вирівнююча характер процесу в межах місяця, у разі місячних даних – доцільно тричленне вирівнювання, що згладжує результати в межах кварталу.
При згладжуванні за допомогою ковзаних середніх доводиться втрачати частину даних: при тричленному вирівнюванні – дві сторони таблиці, при чотирьох- і п'яти членному вирівнюванні - відповідно три і чотири рядки. Якщо число даних не вірне, то таке скорочення даних навряд чи буде доцільним.
Питання про доцільну довжину тимчасового ряду досить складне. З одного боку, як і завжди при відшукуванні апроксимуючої формули або рівняння регресії, виникає природне прагнення до збільшення масиву спостережень з метою підвищення точності надійності результатів, з другого боку, при обробці тимчасових рядів слід врахувати небажаність використання старих даних. Приймати ці суперечливі вимоги можна тільки за рахунок зменшення довжини інтервалів тимчасового ряду – скорочуючи крок ряду (шляхом переходу, наприклад від квартальних даних до місячних, від місячних до тижневих, і т.п. якщо такі дані за матеріалами звітності можна мати).
Приклад. Дані собівартості пасажироперевезень міським електричним транспортом, представлені в табл.. 4.1, вирівняти за ковзаною середньою і побудувати графік.
Таблиця 4.2 - Стратегічні дані собівартості пасажироперевезень по депо
| t | Собі- вартість С, коп | Трич-лен ні суми | Тричлен- ні ковзані середні | Чотири-член- ні суми | Чотири-членні ковзані середні | П’яті-член- ні суми | П’яти-член- ні ковзані середні |
| 65,9 | - | - | - | - | - | - | |
| 66,9 | 201,3 | 67,3 | 269,4 | 67,3 | - | - | |
| 69,1 | 203,5 | 67,8 | 271,7 | 67,9 | 338,2 | 67,6 | |
| 67,5 | 204,8 | 68,2 | 274,7 | 68,6 | 339,3 | 6,8 | |
| 68,2 | 205,6 | 68,5 | 276,5 | 69,1 | 345,6 | 69,1 | |
| 69,9 | 209,0 | 69,5 | 281,8 | 70,4 | 349,3 | 69,7 | |
| 70,9 | 213,6 | 71,2 | 285,7 | 71,4 | 358,5 | 71,7 | |
| 72,8 | 215,8 | 71,9 | 288,5 | 72,1 | 361,4 | 72,2 | |
| 72,1 | 217,7 | 72,5 | 290,5 | 72,6 | 363,7 | 72,7 | |
| 72,8 | 217,7 | 72,5 | 290,9 | 72,7 | 365,7 | 72,9 | |
| 72,8 | 278,8 | 72,9 | - | - | - | - | |
| 73,1 | - | - | - | - | - | - |
Як бачимо, усереднені дані більш наочно виражають основну тенденцію собівартості перевезення пасажирів. Вихідні дані, що різно ковзають, подані на рис. 4.1.
Рис. 4.1 - Вихідні дані, різні ковзані і вирівнююча парабола:
1- вихідні дані; 2- тричленні ковзані; 3- чотиричленні ковзані; 4- п’ятичленні середні; 5- вирівнююча парабола.
При визначенні загальної тенденції виникає два завдання: вибір форми рівняння, тобто вид функції d(t); обчислення параметрів рівняння.
При виборі форми управління випливає, як в статистичному регресійному аналізі, добре знати процес по суті. Так, для короткострокового прогнозування багато механіко– економічних показників найкращою формою тренда є показова, що описує зростання за законом складних процесів, для більш тривалого періоду прогнозування по цілому ряду показників - експонента з насиченням. Якщо ж сутність процесу не вимагає певної форми управління, то вибір проводиться за якнайменшою залишковою дисперсією. Графічна ілюстрація тимчасового ряду також допоможе в цьому виборі.
Практика показує, що доцільно піддавати випробуванню залишкову дисперсію по чотирьох монотонних функціях:
1. Лінійної
;
2. Степінної
3. Експоненціальної
4. Експоненти з насиченням
При цьому відхилення від тренду визначаються відповідно у вигляді:
(4.2)
Всі параметри α знаходять за методом якнайменших квадратів, що приводить до системи нормальних рівнянь
(4.3)
(4.4)
(4.5)
(4.6)
Знайшовши 
для відповідної залежності, знаходять функцію, яка в порівнянні з іншими найкраще апроксимує початковий часовий ряд.
Використання з метою апроксимації багатопараметричних функцій недоцільне. Хоч за допомогою таких функцій можна отримати добре наближення вихідним даним, але, таким чином математично описується не стільки загальна тенденція, скільки випадкові від неї відхилення; з'являються невиправдані особливості процесу - максимуми і мінімуми. Крім того, складання таких функцій і їх застосування для практичних розрахунків різко ускладнюється.
Приклад. Для вищеперерахованих даних, використовуючи степінну залежність 
, розраховуємо її параметри і робимо прогноз на найближчий період. Для визначення параметрів рівняння розрахунки зводимо в табл. 4.2
Таблиця 4.2 - Розрахунок статистичних характеристик рівняння.
| Yt | ln t | ln t2 | ln Yt | ln Yt ln t | 
| Yt | ε | ε2 | ||
| 65,9 | 0,00 | 0,00 | 1,8189 | 0,00 | 1,8035 | 63,6 | 2,3 | 5,29 | ||
| 66,9 | 0,3010 | 0,0906 | 1,8254 | 0,5494 | 1,8211 | 66,24 | 0,66 | 0,44 | ||
| 69,1 | 0,4771 | 0,2276 | 1,8395 | 0,8774 | 1,8314 | 67,32 | 1,28 | 1,64 | ||
| 67,5 | 0,6021 | 0,3625 | 1,8293 | 1,1014 | 1,8387 | 68,98 | -1,48 | 2,19 | ||
| 68,2 | 0,6990 | 0,4886 | 1,8331 | 1,2813 | 1,8443 | 69,88 | -1,68 | 2,82 | ||
| 69,9 | 0,7782 | 0,6056 | 1,8445 | 1,4354 | 1,8490 | 70,13 | 0,73 | 0,53 | ||
| 70,9 | 0,8451 | 0,7142 | 1,8505 | 1,5639 | 1,8524 | 71,19 | -0,29 | 0,08 | ||
| 72,9 | 0,9031 | 0,8156 | 1,8627 | 1,6822 | 1,8566 | 71,88 | 1,02 | 1,04 | ||
| 72,1 | 0,9542 | 0,9109 | 1,8579 | 1,7728 | 1,8593 | 72,33 | -0,23 | 0,05 | ||
| 72,8 | 1,000 | 1,00 | 1,8621 | 1,8626 | 1,8620 | 72,88 | -0,08 | 0,00 | ||
| 72,8 | 1,0414 | 1,0845 | 1,8621 | 1,9392 | 1,8644 | 73,16 | -0,36 | 0,13 | ||
| 73,2 | 1,0792 | 1,1647 | 1,8645 | 2,0122 | 1,8666 | 73,52 | -0,32 | 0,12 | ||
| ∑ | 8,6824 | 7,4648 | 22,1506 | 16,0959 | 14,32 | |||||
Система нормальних рівнянь має видгляд:
(4.7)
Підставивши відповідні значення з табл.. 4.2, отримаємо
(4.8)
Вирішивши систему рівнянь, одержимо:
α=0,0585, lna=1,8035.
Маємо рівняння:
(4.9)
Прогноз на 13 і 14 періоди складе: Y13=72,83; Ym=73,02.
Середній квартал відхилення вихідних значень від розрахункових (дисперсія)
(4.10)
а середні квадратичні відхилення 
що в порівнянні з середнім розміром складає 
Проте зазначимо, похибки апроксимації особливо великі на кінцях базисного періоду, що обумовлюють велику помилку прогнозу. Можна сказати, що залежність підібрана невдало.
Якщо протягом базисного періоду процес, що вивчається, суттєво змінився в результаті появи нових чинників (сезонні коливання), то для апроксимації тимчасового ряду слід скористатися двома або більш окремими аналітичними виразами, розглядаючи їх як частини науково – безперервної функції. При цьому прогнозування проводиться за останньою дугою і необхідно уточнити, який допустимий інтервал прогнозування. Факт істотності змін для показника слід встановлювати як якісно, так і статистично.
Можна скористатися і графічним способом: побудувавши три тренди по кожному періоду в цілому по всьому ряду, порівняти графічно, на скільки близько загальний тренд огинає обидва приватних.
Статистична перевірка може бути здійснений наступним прикладом дисперсійного аналізу. Нехай значення показника до і після деякого моменту задані рядами:
11, 12...
1h1; (4.11)
21, 22...2h1 . (4.12)
з середніми значеннями і дисперсіями, визначуваними по формулах
; 
(4.13)
Обчислюємо загальну середня і загальну дисперсію з'єднаного ряду
; 
. (4.14)
Розчленовувавши повну дисперсію ряду на частини, одержуємо
(4.15)
Враховуючи число ступенів свободи кожної з сум в рівнянні, позначаємо
; 
. (4.16)
Відношення 
порівнюємо з відповідним значенням розподілу Фішера. Якщо < F5% [1, n-2] при рівні значущості 5% вважаємо періоди, що вивчаються, не істотно різними у значенні даного показника . Якщо < F5% [1, n-2] при рівні значущості 1% вважаємо періоди, що вивчаються, суттєво різними за показником і будуємо тренд з двох частин, різних тільки за параметрами або видом функції d(t).
Приклад. Методику обробки рядів динаміки за наявності сезонних коливань можна проілюструвати на прикладі собівартості пасажироперевезень одним з тролейбусних рівнянь за період 1998-2003рр. Виявлення загальної тенденції на підставі даних табл. 4.3 починаємо з побудови графіка.
Таблиця 4.3 - Динаміка статистичних показників
| Роки | t | Значення показника, С, коп. | Квартал | ||||
| I | II | III | IV | ||||
| 58,71 | 62,3 | 56,88 | 59,34 | 56,72 | |||
| 60,13 | 62,78 | 58,35 | 60,84 | 58,78 | |||
| 60,83 | 63,47 | 57,88 | 62,58 | 59,4 | |||
| 65,70 | 69,52 | 63,02 | 63,89 | 66,51 | |||
| 66,08 | 67,23 | 62,99 | 65,65 | 67,54 | |||
| 66,76 | 68,59 | 60,56 | 66,00 | 68,29 | |||
Рис. 4.2 – Динаміка собівартості пасажироперевезень
В цьому прикладі (рис. 4.2) спостерігається різкий перелом характеру змін в 2000 р. Тому неможливо підібрати єдину математичну функцію зростання, задовільно апроксимуючу дані про собівартість пасажироперевезень за всі роки. У зв'язку з цим розбиваємо тимчасовий діапазон на дві частини - 1998-2001 рр. і 2001-2003 рр. Для першого ряду підбираємо експоненту, для другого - експоненту з насиченням. При визначенні параметрів рівнянь використовуємо розрахунки, зведені відповідно в табл. 4.4. і 4.5.
Таблиця 4.4 - Розрахунок параметрів експоненти
| Роки | Y | ℓny | t | V= ℓny-1,78 | Vt | t2 | 
| ℓny=1,78+
| 
| ε | ε2 | β% |
| 58,71 | 1,7761 | -0,0039 | -0,013 | 1,7787 | 60,08 | -1,37 | 1,88 | 2,28 | ||||
| 60,13 | 1,7791 | -0,0004 | -0,004 | 0,0021 | 1,7821 | 60,53 | -0,4 | 0,16 | 0,66 | |||
| 60,83 | 1,7841 | 0,0041 | 0,0082 | 0,0155 | 1,7955 | 62,44 | -1,61 | 2,59 | 2,57 | |||
| 65,70 | 1,8176 | 0,0376 | 0,1182 | 0,0289 | 1,8089 | 64,40 | 1,3 | 1,69 | 2,01 | |||
| ∑ | 0,0374 | 0,1206 | 6,32 |
Таблиця 4.5 - Розрахунок параметрів експоненти з насиченням
| Роки | Y | ℓny | t | t1=t-2 | V= ℓny-1,82 | 
| 
| 
|
| ℓny=
1,82+
|
| ε | ε 2 | β% |
| 65,7 | 1,8176 | -0,0024 | -0,024 | -0,0084 | 1,8116 | 64,8 | 0,9 | 0,81 | 1,388 | |||||
| 65,08 | 1,82 | 0,000 | 0,50 | 0,00 | 0,250 | 0,0033 | 1,8233 | 66,58 | -0,5 | 0,25 | 0,75 | |||
| 66,76 | 1,8245 | 0,0045 | 0,333 | 0,0015 | 0,111 | 0,0072 | 1,8272 | 67,16 | -0,4 | 0,16 | 0,59 | |||
| ∑ | 0,0021 | 1,833 | -0,0009 | 1,361 | 1,22 |
Системи нормальних рівнянь
; 
. (4.17)
Звідки
ℓna =-0,0113, a= 0,0134; ℓna1 =0,015, а1= -0,0234;
V = -0,0113+0,0134 t; V1=0,015 - 
.
Тоді одержуємо
ℓn t = 1,7687 + 0,0134 t; ℓn t = 1,835 - ;
=58,70,0134 t 0 ≤ t ≤ 3; t 
3≤ t ≤ 5
max β% = 2,58; max β% = 1,388.
Апроксимація цілком задовільна.
Для 2001 р. приймаємо значення собівартості
= 64,60.
Прогноз на 2004 р. При t=6
ℓnу = 1,835 - 
= 1,829, 
= 67,49.
Проте через сезонні коливання прогнозування за сумарними річними даними є абсолютно недостатнім. Тому необхідно прогнозувати за окремими періодами, в даному прикладі за вихідними квартальними даними.