Конечноразностные формулы

 

Часто требуется найти производные от функций, заданных на равномерной сетке и не в произвольной точке, а в узле сетки. Тогда можно получить формулы более простые, чем в общей постановке. Разложим в ряд Тейлора функцию у(х) в окрестности i-го для соседних с i-м узлом:

 

(2)

 

Здесь h-шаг сетки.

Конечноразностные формулы получаем, привлекая из формул (2) необходимые уравнения и удерживая в них необходимое число слагаемых. Полученная система уравнений решается относительно интересующей нас производной.

Например, удерживая в третьем равенстве (2) три слагаемых и решая его относительно y_i^¢ , получаем

 

(3)

 

Первое слагаемое в правой части является рабочей формулой. Второе слагаемое - главный член погрешности, по которому априорно можно оценить только порядок точности (первый).

Аналогичную формулу можно получить из второго равенства (2):

 

(4)

 

Здесь О(h) - величина первого порядка малости относительно h. Формула (3) называется правой, (4) - левой.

Центральная формула, использующая симметрично расположенные узлы, получается после вычитания второго равенства (2) из третьего и решения относительно y_i^¢ :

 

(5)

 

Порядок точности ее повышен (второй), поскольку слагаемое с y_i^¢¢ , дающее главный член погрешности первого порядка, оказался исключенным.

Сложив второе и третье равенства (2), можно получить формулу для второй производной второго порядка точности:

 

(6)

 

Привлекая все равенства (2) можно получить формулы для третьей и четвертой производных :

 

(7)

 

(8)

 

В краевых точках сетки ( i=0, n ) невозможно использовать центральные конечноразностные формулы. Правую формулу для первой производной второго порядка точности получают, используя два последних равенства (2) и исключая из них члены со второй производной:

 

(9)

 

Аналогично, привлекая дополнительно ряд Тейлора для ( i+3 )-го узла, получают формулу для второй производной:

 

(10)

 

Соответствующие левые формулы имеют вид

 

(11)

 

(12)