Вычисление интегралов

 

4.1. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

 

Даже если функция f(x) задана аналитически, вычислить интеграл

 

(1)

 

точно удается не всегда, так как часто первообразная функции f(x) в аналитическом виде либо трудно находится, либо может не существовать.

Для приближенного вычисления интеграла подынтеграль­ная функция сначала интерполируется формулой Лагранжа

 

(2)

 

где r(x) — главный член погрешности. Затем, после подстановки (2) в (1), степенная функция легко интегрируется и получается квадратурная формула Ньютона-Котеса:

 

(3)

 

Здесь — веса, x_i - узлы, а — главный член погрешности квадратурной формулы. В зависимости от числа узлов интерполяции (2) и их расположения, существуют разнообразные частные случаи формул Ньютона-Котеса.