Формула средних

 

Самая простая квадратурная формула — одноузловая. Наиболее рационально выбирать этот узел посредине интервала, в точке `х=(a+b)/2. Для вывода формулы разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора в окрестности точки `х:

 

(4)

 

Подставим ряд (4) в интеграл (1). После интегрирования получим формулу средних (прямоугольников)

 

(5)

 

где первое слагаемое имеет смысл площади прямоугольника высотой f(`х) с основанием b-a. Второе слагаемое _— главный член погрешности, имеющий второй порядок малости по отношению к основной формуле.

Так как b-a обычно не мало, то сначала следует разделить интервал интегрирования на n подынтервалов с узлами х_i (i= 0,`n); x₀=a, x_n=b_n применить формулу средних на каждом подынтеграле, получив обобщенную формулу средних:

(6)

 

Здесь h_i=x_i-x_i-1 - шаг сетки, `х<sub>i</sub>=(x<sub>i=1</sub>+x<sub>i</sub>)/2 - средняя точка i-го подынтервала, `f_i=f(`x_i).

Для равномерной сетки формула (6) принимает вид

 

(7)

 

Если подынтегральная функция задана аналитически, то погрешность квадратурной формулы (7) можно оценить апостериорно:

 

(8)

 

Это слагаемое можно учесть в основном результате. Тогда точность формулы повысится и погрешность ее будет определяться слагаемым с более высоким порядком малости

 

(9)