Метод LU-разложения

Матрица A СЛАУ

, (5.21)

если все главные миноры матрицы A отличны от нуля, может быть преставлена в виде произведения

A = LU, (5.22)

где L - нижняя треугольная, а U - верхняя треугольная матрицы:

; . (5.23)

Тогда СЛАУ (22) эквивалентна двум СЛАУ с треугольными матрицами

(5.24)

(5.25)

Решение их элементарно.

Проблема в том, чтобы получить разложение (22). Это соотношение в покомпонентной форме имеет вид

(5.26)

и является системой n² уравнений относительно n² искомых коэффициентов матриц LиU. Однако, если записать эти уравнения в определенном порядке, то каждое из них будет содержать только одно неизвестное и легко решается:

(5.27)

По трудоемкости метод LU - разложения равноценен методу Гаусса.

Вычисление определителя соответствует разложению (22):

(5.28)