Метод квадратного корня

Если СЛАУ имеет симметричную матрицу, то для последней возможно представление

A = S^TDS,(5.29)

где S- верхняя треугольная матрица, D - диагональная матрица с элементами +1 или -1. СЛАУ (3) тогда принимает вид

, (5.30)

который эквивалентен трем СЛАУ

; (5.31)

; (5.32)

. (5.33)

Для нахождения коэффициентов матриц S и D разложение (29) записывается в покомпонентном виде

. (5.34)

Записывая уравнения (34) в определенном порядке, можно определить коэффициенты матриц S и D:

(5.35)

Метод квадратного корня требует приблизительно 1/3n³ арифметических действий.

Вычисление определителя соответствует разложению (29):

(5.36)

Здесь p - количество отрицательных элементов матрицы D.

Если матрица A - не только симметрична, но и положительно определенна, то в разложении (29) D- единичная матрица и тогда СЛАУ (3) принимает более простой вид

, (5.37)

который эквивалентен двум СЛАУ

; (5.38)

. (5.39)

Последовательность определения коэффициентов матрицы S аналогична (35).

Вычисление определителя:

(5.39)