Заменим уравнение (1) на эквивалентное ему уравнение
,(7.2)
Выберем начальное приближение и вычислим дальнейшие приближения по формулам
,n = 0,1,2, …(7.3)
Если стремится к некоторому пределу , то этот предел есть корень исходного уравнения (1).
Условия сходимости. Если имеет непрерывную производную, тогда
(7.4)
где точка лежит между точками и . Поэтому
1) если всюду , то отрезки убывают не медленнее членов геометрической прогрессии со знаменателем q< 1 и последовательность (4) сходится при любом начальном приближении;
2) если , то итерации расходятся;
3) если , но вдали от корня,то метод сходится, если начальное приближение достаточно близко к корню.
Очевидно,что вблизи корня сходимость будет наиболее быстрой, если .
Оценка погрешности. Вблизи корня итерации сходятся приблизительно как геометрическая прогрессия со знаменателем . Чтобы сумма дальнейших ее членов не превосходила , должно выполнять условие
. (7.5)