Наиболее проста и универсальна интерполяция степенными функциями
. (2.7)
Можно показать, что условие (6) при этом всегда выполняется и, таким образом, степенной интерполяционный многочлен
(2.8)
всегда существует и единствен. Ньютону удалось построить такой многочлен, не прибегая к решению системы уравнений вида (5).
Разделенные разности функции :
(1-я)
(2-я) (2.9)
...
Свойство разделенных разностей: порядок следования аргументов в них не играет роли.
Пусть - многочлен степени n. Тогда первая разделенная разность для него
- (2.10)
- многочлен степени n-1. Вторая разделенная разность
(2.11)
- многочлен степени n-2. Наконец, n-я разделенная разность
(2.12)
- многочлен нулевой степени, константа. Решая равенство (10) относительно Р(х) и исключая из равенств (10) - (12) все разделенные разности, содержащие переменную х, получаем формулу
Т.к. по условию интерполяции
(2.14)
то получаем интерполяционнуюформулу Ньютона
(2.15)
Этот многочлен можно представить согласно схеме Горнера (ф-ла Ньютона - Грегори)
(2.16)