Интерполяция сплайнами

 

Сплайн - непрерывная кусочно - полиномиальная функция. Ее степень в задачах интерполяции не зависит от числа узлов и поэтому сплайны эффективны при многоузловой интерполяции.

Пусть функция y(x) задана таблично:

(22)

Проинтерполируем ее простейшим сплайном первой степени

 

(23)

Коэффициенты a_i и b_i определяются из условия совпадения сплайна с функцией y(x) в узлах на краях подынтервалов:

 

(24)

 

Здесь — шаг.

График сплайна (23) является ломаной линией. Интерполяция многий функций не допускает изломов. В этих случаях применяют сплайны более высоких порядков. Кубический сплайн имеет вид

 

(25)

 

Для определения 4n коэффициентов записываем условия совпадения сплайна с функцией y в узлах.

 

(26)

 

Здесь только 2n уравнений. Поэтому дополнительно потребуем непрерывности первой и второй производных в узлах:

 

(27)

 

Два оставшихся уравнения получают из условий на краях интервала интерполяции. Например, если , то (28)

 

Систему 4n уравнений (26)-(28) относительно 4n коэффициентов можно уменьшить вчетверо, исключив все коэффициенты, кроме c_i. Равенства (26) сразу дают все коэффициенты a_i. Из уравнений (27) и (28) следуют

 

(29)

 

После подстановки соотношений (29) в (26) получим

 

(30)

 

Подставив (29) и (30) в первое равенство (27), получаем систему линейных уравнений

 

(31)

 

Матрица этой системы ленточная трехдиагональная. После нахождения коэффициентов c_i остальные вычисляются по формулам (29) и (30) и интерполяционный сплайн (25) определен.