Последовательность преобразования аналогового сигнала в цифровой

Рассмотрим в качестве примера преобразование некоторого произвольного аналогового сигнала s(t), спектр которого S(iω) ог­раничен частотой ω_макс , в цифровой сигнал s_ц(nT), где Т= 1/F_д, а n = 0,1,2...

Преобразование включает в себя три основные операции: диск­ретизацию, квантование и кодирование (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Аналого-цифровое преобразование:

а — исходный аналоговый сигнал; б — дискретизация; в — квантование

Операция дискретизации состоит в том, что по заданному анало­говому сигналу s(t) (рис. 1.1а) строится дискретный сигнал S(nT), при­чем s(nT) = s(i). Физически такая операция эквивалентна мгновен­ной фиксации выборки из непрерывного сигнала s(t) в моменты времени t = пТ,после чего образуется последовательность выбо­рочных значений {s(nT)}. Конечно, такую дискретизацию на практике осуществить невозможно. Реальные устройства, запоминающие зна­чения аналогового сигнала (они называются устройства выборки и хранения — УВХ), не в состоянии сделать этого мгновенно — время подключения их к источнику сигнала всегда конечно. Кроме того, из-за неидеальности ключей и цепей заряда запоминающей емкости УВХ, значение взятой выборки s(nT) в той или иной степени отличается от величины исходного сигнала s(t). Тем не менее в абстрактных рассуж­дениях равенство s(t)= s(nT) считается справедливым.

Теоретически процесс дискретизации можно представить как умножение исходного сигнала s(t) на некоторую решетчатую функ­цию s(nT) с единичной амплитудой (рис. 1.3).В качестве такой фун­кции чаще всего используют дискретную дельта-функцию ((п-т)Т), которая определяется следующим образом

Тогда операция дискретизации будет эквивалентна амплитудной модуляции дельта-функции ((п-т)Т), функцией s(t)

Спектр S(е^iωt) полученной последовательности s(nT) выразит­ся через преобразование Фурье

(1.2)

а связь между спектрами S(е^iωt) и S(iω) дискретного сигнала s(nT) и аналогового s(t) определится формулой :

(1.3)

 

Рис. 1.3. Представление операции дискретизации сигнала S(t) в виде процесса модуляции им решетчатой функции х(пТ)

Из (1.3)следует, что после дискретизации спектр сигнала s(t) бу­дет «размножен» по оси частот в обе стороны от оси ординат, груп­пируясь вокруг частот, кратных ω_д (рис. 1.4). При этом, в зависимос­ти от знака и величины m, различают:

□ основной прямой спектр (прямая часть спектра) S⁺(e^iωT),который является частью спектра S(e^iωT) сигнала s(nT), по­лученной в итоге дискретизации аналогового сигнала s(t) и расположенной в области нижних частот от 0 до ω_д/2 = π/Т;

□ основной инверсный спектр (инверсная часть спектра) S^-(e^iωT) — это часть спектра S (e^iωT) сигнала s(nT), получен­ная в итоге дискретизации аналогового сигнала s(t) и распо­ложенная в области частот от 0 до -ω_д/2 = -π/Т;

□ сдвинутый прямой спектр (или просто прямой спектр) — часть спектра S(e^iωT), удовлетворяющая условию:

, (1.5)

где 0 ≤ ω ≤ π/Т, а k — целое число;

□ сдвинутый инверсный спектр (или просто инверсный спектр) — часть спектра S(e^iωT), удовлетворяющая условию:

, (1.6)

где 0 ≤ ω ≤ π/Т, а k —целое число.

Поскольку дискретный сигнал s(nT) в моменты времени t=nT сохраняет информацию об аналоговом сигнале s(t) и в спектре сиг­нала s(nT) содержится спектр сигнала s(t), то последний, очевидно, может быть восстановлен. Для этого дискретный сигнал достаточно пропустить через фильтр низких частот, полоса которого соот­ветствует полосе частот исходного сигнала. Тогда спектр на выхо­де такого фильтра будет идентичен спектру сигнала до дискретиза­ции.

Однако такая операция будет возможна только в том случае, если после дискретизации не произойдет перекрытия основного спектра и соседнего с ним сдвинутого. Если спектры перекроются, то в про­цессе дискретизации появится множество новых комбинаторных частот, которые попадут в полосу исходного сигнала и никакой филь­трацией избавиться от них уже не удастся (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Эффект перекрытия спектров и его последствия

 

Условие, при котором восстановление исходного сигнала s(t) по его дискретным значениям s(nT) будет возможным, сформулировано в известной теореме Котельникова (теорема отсчетов): «Если наивысшая частота в спектре функции s(t) меньше, чем f_макс, то функция s(t) полностью определяется последовательностью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга не более, чем на 1/f_макс секунд. Другими словами, чтобы восстановление было точным, часто­та дискретизации F_д должна по меньшей мере в два раза превышать максимальную частоту f_макс в спектре преобразуемого аналогового сигнала s(t). Эта предельно допустимая максимальная частота f_макс в спектре сигнала называется частотой Найквиста f_н . В связи с этой частотой как в отечественной литературе, так и в публикациях зару­бежных специалистов иногда возникают некоторые недоразумения. Нередко частоту Найквиста путают со скоростью Найквиста, кото­рая характеризует минимально возможную для данной частоты Най­квиста скорость дискретизации аналогового сигнала и которая вдвое выше максимальной частоты в его спектре (частоты Найквис­та). Поскольку на практике исходным параметром при дискретиза­ции какого-либо сигнала служит частота дискретизации, то более кор­ректным следует считать определение частоты Найквиста по заданной скорости Найквиста, а не наоборот, т.е. частота Найквиста — это та максимально допустимая частота в спектре сигнала, дискретизуемого с заданной скоростью Найквиста F_h, когда ещё не происходит пе­рекрытия спектров и связанного с этим явлением возникновения пе­рекрестных искажений.

На практике при дискретизации широкополосных сигналов при­ходится жестко ограничивать их спектры с помощью высокодоб­ротных фильтров низких частот, которые называются анти-элайсинг фильтрами. Спад характеристики у таких фильтров (как, впрочем, и у любых других фильтров) не бывает строго вертикаль­ным. Поэтому реально частота f_макс должна быть несколько ниже частоты Найквиста f_н. Тем не менее при анализе теоретических моделей аналого-цифровых преобразователей часто пользуются понятиями частоты и скорости Найквиста, полагая, что скорость Найквиста F_h — это удвоенная частота Найквиста f_н , т.е. F_н=2f_н .

В соответствии с теоремой Котельникова, дискретизацию сигна­ла s(t), наивысшей частотой, в спектре которого является ω_макс= 2πf_макс, можно представить как разложение в ряд

где функция φ_n(t) = sinc(t-n/2f_макс) обладает следующими свой­ствами:

• в точке t = пТ φ_n(пТ) = 1;

• в точках t = кТ, где к— любое целое положительное или отри­цательное число, отличное от п, φ_n(кТ) = 0.

Выражение (1.7) полностью определяет заданный сигнал s(t) в точках отсчета, поскольку коэффициентами ряда являются значе­ния выборок из функции s(nT).

Системы дискретизации аналоговых сигналов могут быть двух видов:

□ с постоянным периодом дискретизации, как во всех пока­занных выше примерах (равномерная дискретизация);

□ с переменным периодом дискретизации (адаптивная диск­ретизация).

В подавляющем большинстве случаев используется равномер­ная дискретизация — как по причине того, что к ней легче приме­нить математический аппарат, так и по причине того, что устрой­ства для ее осуществления гораздо проще реализовать физически.

После того, как сигнал дискретизован, производится его кванто­вание и кодирование, что, собственно, и является основной операци­ей при аналого-цифровом преобразовании. На этом этапе по задан­ному дискретному сигналу s(nТ) строится цифровой кодированный сигнал s_ц(nT). Также, как и дискретный, цифровой сигнал описыва­ется решетчатой функцией, но в данном случае эта решетчатая фун­кция является еще и квантованной, т.е. способной принимать лишь ряд дискретных значений, которые называются уровнями квантования (рис. 1. 2 в). Уровни квантования образуются путем разбиения всего диапазона, в котором изменяется аналоговый сигнал, на ряд участков, каждому из которых присваивается определённый номер. Эти номера кодируются заранее выбранным кодом. Поскольку циф­ровые системы оперируют с двоичными числами, т. е. числами, выра­жающимися в виде поразрядных комбинаций всего двух цифр — «нулей»(«0») и «единиц» («1»), то номера уровней квантования также кодируются двоичным кодом, а их число N выбирается равным 2^m.

Если сигнал однополярный, то все 2^m уровней будут выражать по­ложительные значения аналогового сигнала, если двухполярный, то одна половина (2^m-1) уровней будет выражать отрицательные значения сигнала, другая (также 2^m-1) — положительные.

Квантование может осуществляться двумя способами. При од­ном способе расстояние между любыми двумя соседними уровня­ми, которое называется шагом квантования, будет одинаковым, при другом — может отличаться по определенному закону. Способ, ког­да шаг квантования постоянен, называется линейным квантованием, способ, когда шаг квантования изменяется — нелинейным кванто­ванием. В данном разделе мы будем рассматривать только линейное квантование, с нелинейным же познакомимся несколько позже.

Поскольку аналоговый сигнал в диапазоне своего изменения может принимать бессчетное множество значений, а число уров­ней квантования всегда конечно, очевидно, что процесс квантова­ния сопровождается появлением неустранимой ошибки, которая называется погрешностью квантования. И действительно, какое бы значение не принимал аналоговый сигнал в пределах одного участка (шага) квантования, оно всегда будет обозначаться одним и тем же кодовым словом, соответствующим, как правило, центру этого участка. Чем дальше значение аналогового сигнала от центра участка, тем больше получается ошибка в его оценке.

Единственным способом уменьшения погрешности квантования является увеличение числа разрядов кода, которым обозначаются уровни квантования. Каждое увеличение разрядности кода на еди­ницу вдвое увеличивает число уровней квантования и, следователь­но, вдвое уменьшает погрешность квантования. Но какой бы высокой ни была разрядность кода, погрешность квантования всегда бу­дет присутствовать. В этом состоит основное отличие операции кван­тования от операции дискретизации. Поскольку при дискретизации s(nT) = s(t) при t = пТ, то дискретные сигналы, как и аналоговые, образуют линейное пространство, т. е. линейная комбинация анало­говых (дискретных) сигналов также является аналоговым (дискрет­ным) сигналом. Поэтому для решения задач по их обработке приме­ним аппарат теории линейных цепей.

Цифровые же сигналы, полученные путем квантования, линейно­го пространства относительно операций сложения и умножения не образуют. Во-первых, процедура квантования почти всегда сопровож­дается появлением неустранимой погрешности. Во-вторых, линейная комбинация цифровых сигналов, выражаемых m-разрядными кодами, может иметь разрядность большую, чем m и, чтобы получить m-раз­рядный код результата, приходится выполнять операцию округления и усечения. Поэтому устройства цифровой обработки сигналов, реа­лизующие преобразование одной цифровой последовательности s_ц(nT) в другую s'_ц(пТ) путем выполнения обычных арифметических опера­ций сложения и умножения, являются, в принципе, нелинейными.

В связи с вышесказанным следует подчеркнуть одно очень важ­ное обстоятельство. Часто при проектировании систем, включающих в себя устройства аналого-цифрового и цифро-аналогового преобра­зований сигналов, полученных в результате ограничения спектра широкополосных сигналов с помощью фильтров низких частот, раз­работчики переносят утверждение теоремы Котельникова о возмож­ности точного восстановления исходного аналогового сигнала по отсчетам дискретного на результат аналого-цифрового и цифро-ана­логового преобразований, что является в принципе, ошибочным.

Во-первых, теорема отсчетов сформулирована Котельниковым только для дискретных сигналов, к которым приненимы принципы теории линейных систем, а не для цифровых.

Во-вторых, она справедлива только для случаев, когда спектр S(iω) исходного сигнала s(t) строго ограничен, т. е. S(iω) = 0 при ω > ω _макс (где ω = 2πf — круговая частота аналогового сигнала) и дискретизация его производится с частотой F_д ≥ 2πf. Ограничение же спект­ров реальных широкополосных сигналов с помощью ФНЧ такого тождества обеспечить не может.

Поэтому в том виде, в котором теорема Котельникова сформули­рована для дискретных сигналов, к системам, включающим в себя а/ц и ц/а-преобразования, она может служить только теоретической моде­лью для очень приблизительных расчетов.

Отношение максимальной величины аналогового сигнала к ве­личине ошибки квантования, является одной из важнейших характе­ристик качества работы системы аналого-цифрового преобразования. Рисунок 1.6 иллюстрирует преобразование аналогового сигнала s(t) в системе с линейной шкалой, состоящей из совместно работающих m-разрядных АЦП и ЦАП.

Рис. 1.6. А/Ц и Ц/А-преобразования (а), характеристика квантования (б) и погрешность квантования (в)

Преобразование осуществляется таким образом, что квантованный сигнал принимает значение первого уров­ня квантования в тот момент, когда сигнал s(t) достигает центра пер­вого интервала квантования, значение второго уровня квантования — когда достигает центра второго интервала квантования и т. д. Оче­видно, что ошибка квантования будет максимальной в тот момент, когда сигнал s(t) находится на границе интервала квантования, и ве­личина ее в этот момент будет равна половине величины шага кван­тования Q (рис. 1. 6 в).

Если сигнал s(t) имеет высокий уровень и широкий спектр частот, то ошибка квантования Q(t) превращается в статистически случайную величину и любые ее значения от –Q/2 до +Q/2 становятся равноверо­ятными (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Плотность вероятности погрешности квантования

В подобных условиях—например, если s(t)—слож­ный звуковой сигнал высокого уровня—ошибка квантования при про­слушивании напоминает аналоговый аддитивный белый шум, и по этой причине ее принято называть шумом квантования.

Однако именно звуковой сигнал после осуществления над ним про­цедур а/ц- и ц/а-преобразования часто приобретает неудовлетворитель­ное качество. Основной причиной такого ухудшения является крайне неприятное слуховое восприятие шума квантования во время фраг­ментов музыкальной программы с тихим звучанием, когда аналого­вый сигнал кодируется малым числом разрядов. Кроме того, причиной ухудшения звучания мо­жет быть недостаточно высо­кая степень подавления со­ставляющих спектра выше частоты Найквиста перед осуществлением аналого-цифрового преобразования.

Как следует из вышесказанного, величина шума квантования не зависит от величины и характера преобразуемого сигнала s(t), а является функцией величины шага квантования Q, который в свою очередь, зависит от количества уровней квантования N или, что то же самое, от разрядности квантования т.

Среднюю мощность шума квантования P(Q) нетрудно вычис­лить исходя из треугольной формы его зубцов и амплитуды Q /2. Средняя мощность шума за период времени, равный длительности одного зубца, равна (1/3) (Q/2)² = Q²/12. Поскольку от длитель­ности зубца эта величина не зависит, можно принять, что средняя мощность шума квантования

(1.8)

что полностью совпадает с формулой Беннета.

Максимальное значение полуволны (положительной или отри­цательной) аналогового сигнала, квантованного с помощью т-разрядного преобразователя, будет равно 2^m-1Q, а его среднеквадра­тичное значение, соответственно

(1.9)

Среднеквадратичное значение шума квантования V _Q равно

(1.10)

Тогда отношение сигнал/шум

(1.11)

что в децибеллах составит

(1.12)

Для упрощения расчетов эту формулу, как правило, округляют до

SNR (дБ) = 6m + 2. (1.13)

Иногда формулы (1.12) и (1.13) используют для определения ди­намического диапазона а/ц — преобразования, что также представ­ляется логичным, поскольку заданием разрядности т одновременно задается и величина шума квантования.

 

Ступенчатая и кусочно-линейная аппроксимация. Применение теоремы Котельникова для определения частоты дискретизации. Фильтрация сигналов и динамические характеристики цифровых СИ.