Полный факторный эксперимент является весьма эффективным средством получения математической модели исследуемого объекта, особенно при числе факторов k>3. Однако увеличение числа факторов приводит к резкому увеличению числа опытов. Так, ПФЭ 26 требует постановки 64 опытов, а 27 – 128 опытов. Конечно, точность модели при увеличении числа опытов также возрастает, однако это приводит к большим затратам средств и времени.
Практика показывает, что для получения достаточно точных оценок коэффициентов регрессии можно обойтись малым количеством опытов, вводя понятие дробного факторного эксперимента или дробных реплик, который представляет собой некоторую часть (1/2, 1/4, 1/8 и т.д.) от полного факторного эксперимента.
Сокращение числа опытов влечет за собой появление корреляции между оценками коэффициентов. Это обстоятельство не позволяет раздельно оценивать эффекты факторов и эффекты взаимодействия. Получаются так называемые смешанные оценки.
Для дробных реплик используются специальные алгебраические соотношения, облегчающие выявление смешанных эффектов. Они называются генерирующими соотношениями и определяющими контрастами.
Генерирующим называется соотношение, которое показывает, какое из взаимодействий факторов принято незначимым по влиянию на выходную переменную, а поэтому может быть заменено в матрице планирования новой независимой переменной. Например, вместо плана 23 можно использовать его полуреплику – план 23–1. Если в качестве генерирующего соотношения выбрать
, (23)
то для построения уравнения регрессии достаточно четырех опытов, а качестве плана можно использовать расширенную матрицу планирования для эксперимента 22 (табл. 3)
Таблица 3
№ оп. | X0 | Х1 | Х2 | X3=Х1Х2 |
+1 | –1 | –1 | +1 | |
+1 | –1 | +1 | –1 | |
+1 | +1 | –1 | –1 | |
+1 | +1 | +1 | +1 |
С генерирующими соотношениями можно производить алгебраические операции: умножать левую и правую часть на любые эффекты – линейные и определенные взаимодействия. При этом если фактор входит в уравнение в квадрате или другой четной степени, то он заменяется единицей. Умножив обе части генерирующего соотношения (23) на получим или
(24)
Это и есть определяющий контраст, соотношение, которое задает элементы первого столбца.
Зная определяющий контраст, можно получить систему смешанных оценок для данной дробной реплики. Для этого определяющий контраст умножается на каждый фактор и взаимодействие факторов. В рассматриваемом примере для полуреплики от плана 23 смешанные оценки коэффициентов уравнения регрессии задаются следующими соотношениями:
(25)
что соответствует оценкам
(26)
Эффективность системы смешивания факторов и взаимодействия факторов определяется так называемой разрешающей способностью матрицы. Она считается максимальной, если линейные эффекты смешаны с эффектами взаимодействия наиболее высоких порядков.
Для построения дробных реплик большей степени дробности (2k–p, р – число вновь введенных в рассмотрение факторов) необходимо задать столько генерирующих соотношений либо определяющих контрастов, сколько эффектов взаимодействия заменяются новыми независимыми факторами. Например, в плане типа 25–2 могут быть заданы такие генерирующие соотношения:
(27)
Определяющие контрасты для этой реплики будут таковы:
(28)
Перемножив определяющие контрасты между собой, получим так называемый обобщающий определяющий контраст, который с учетом (28) полностью характеризует разрешающую способность реплики высокой степени дробности:
(29)
При этом получается следующая система смешанных оценок для линейных эффектов
Обработка результатов ДФЭ осуществляется по тому же алгоритму, что и ПФЭ – соотношения (11) – (19).
2.6. Пример разработки математической модели методом ПФЭ по результатам экспериментального обследования объекта химической технологии.
Исследовался предел прочности при сжатии образцов цементов фосфатного твердения, выбранный выходным параметром (s, МН/м2).
Факторами являлись: Z1 – температура термообработки, °С; Z2 – время термообработки, ч; Z3 – количество связки, %.
Необходимо получить математическое описание процесса по ПФЭ вида
и оценить адекватность полученной модели.
Исходные данные: Z10=500; Z20=3; Z30=25; DZ1=200; DZ2=2; DZ3=8.
Матрица планирования:
№ оп | X0 | Х1 | Х2 | Х3 | Х1Х2 | Х1Х3 | Х2Х3 | Х1Х2Х3 | Y1 | Y2 |
+1 | –1 | +1 | +1 | –1 | –1 | +1 | –1 | 79.30 | 75.35 | |
+1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | 85.10 | 83.35 | |
+1 | +1 | –1 | +1 | –1 | +1 | –1 | –1 | 59.40 | 60.33 | |
+1 | +1 | +1 | –1 | +1 | –1 | –1 | –1 | 72.50 | 77.79 | |
+1 | –1 | –1 | +1 | +1 | –1 | –1 | +1 | 42.30 | 45.70 | |
+1 | –1 | –1 | –1 | +1 | +1 | +1 | –1 | 48.70 | 42.56 | |
+1 | –1 | +1 | –1 | –1 | +1 | –1 | +1 | 62.50 | 63.46 | |
+1 | +1 | –1 | –1 | –1 | –1 | +1 | +1 | 51.40 | 59.79 |
1. Расчет средних значений по формуле (11),
2. Определение построчной дисперсии по формуле (12):
3. Проверка однородности построчных дисперсий по критерию Кохрена – формула (13):
,,
Полученное значение сравнивается с табличным , . Так как , дисперсии однородны.
4. Определение ошибки опыта или дисперсии воспроизводимости – (14):
5. Вычисление коэффициентов уравнения регрессии – (15):
6. Вычисление дисперсии коэффициентов уравнения регрессии и расчетных значений критерия Стьюдента, (16)–(17)
;
;
;
;
;
7. Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии:
Следовательно, принимаем , так как они незначимы.
6. Полученное уравнение регрессии имеет вид:
Определим расчетные значения выходного параметра для каждого опыта по уравнению регрессии:
7. Расчет дисперсии адекватности по формуле (18):
8. Определение расчетного значения критерия Фишера – (19):
9. Проверка адекватности полученного уравнения по критерию Фишера: , . Следовательно, полученная модель адекватно описывает процесс сжатия образцов цементов фосфатного твердения.
10. Раскодировка уравнения регрессии
В результате обработки результатов ПФЭ получено уравнение регрессии:
Факторы входят в него в кодированном виде. Чтобы получить уравнение в натуральном масштабе, необходимо воспользоваться формулами (4):
После подстановки получим
Окончательно уравнение регрессии в реальном масштабе имеет следующий вид:
.
Программа обработки результатов эксперимента
ПФЭ 1 порядка
PRINT SPC(10); "ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ"
INPUT "ЧИСЛО ОСНОВНЫХ ОПЫТОВ N"; N
INPUT "ЧИСЛО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОПЫТОВ M"; M
INPUT "ТАБЛИЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ КРИТЕРИЯ КОХРЕНА GR"; GR
INPUT "ТАБЛИЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ КРИТЕРИЯ СТЬЮДЕНТА STT"; STT
INPUT "ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ ПЛАНИРОВАНИЯ NN"; NN
PRINT "ЧИСЛО ОСНОВНЫХ ОПЫТОВ N "; N
PRINT "ЧИСЛО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОПЫТОВ M "; M
PRINT "ТАБЛИЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ КРИТЕРИЯ КОХРЕНА GR "; GR
PRINT "ТАБЛИЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ КРИТЕРИЯ СТЬЮДЕНТА STT"; STT
PRINT "ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ ПЛАНИРОВАНИЯ NN "; NN
DIM X(N, NN),Y(N, M),YSR(N),WD(N),B(N),STR(N),YR(N)
FOR I = 1 TO N
FOR J = 1 TO NN
READ X(I, J): NEXT J: NEXT I
DATA 1,–1,1,1,–1,–1,1,–1
DATA 1,1,1,1,1,1,1,1
DATA 1,1,–1,1,–1,1,–1,–1
DATA 1,1,1,–1,1,–1,–1,–1
DATA 1,–1,–1,1,1,–1,–1,1
DATA 1,–1,–1,–1,1,1,1,–1
DATA 1,–1,1,–1,–1,1,–1,1
DATA 1,1,–1,–1,–1,–1,1,1
FOR I = 1 TO N
FOR K = 1 TO M
READ Y(I, K): NEXT K: NEXT I
DATA 79.3,75.35
DATA 85.1,83.35
DATA 59.4,60.33
DATA 72.5,77.79
DATA 42.3,45.7
DATA 48.7,42.56
DATA 62.5,63.46
DATA 51.4,59.79
FOR I = 1 TO N
FOR J = 1 TO NN
PRINT USING "+# "; X(I, J); : NEXT J
FOR K = 1 TO M: PRINT USING "####.### ";Y(I, K);:NEXT K
PRINT : NEXT I: PRINT
PRINT SPC(10); "РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА"
REM РАСЧЕТ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ Y
FOR I = 1 TO N: YSR(I) = 0
FOR J = 1 TO M: YSR(I) = YSR(I) + Y(I, J): NEXT J
YSR(I) = YSR(I) / M: NEXT I
REM РАСЧЕТ ВЫБОРОЧНОЙ ДИСПЕРСИИ
FOR I = 1 TO N: WD(I) = 0
FOR J = 1 TO M: WD(I) = WD(I)+(Y(I, J)–YSR(I))^2:NEXT J
WD(I) = WD(I) / (M – 1): NEXT I
REM РАСЧЕТ КРИТЕРИЯ КОХРЕНА
SUMWD = 0: FOR I = 1 TO N: SUMWD = SUMWD + WD(I):NEXT I
WDMAX = 0: FOR I = 1 TO N
IF WD(I) > WDMAX THEN WDMAX = WD(I)
NEXT I
KR = WDMAX / SUMWD
IF KR > GR THEN
PRINT " средние выборочная"
PRINT " знач.Y дисперсия"
FOR I = 1 TO N
PRINT USING " ####.### "; YSR(I);
PRINT USING " ##.###^^^^ "; WD(I)
NEXT I
PRINT "ДИСПЕРСИИ НЕОДНОРОДНЫ"
END
END IF
SO2 = SUMWD / N
REM РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ
FOR J = 1 TO NN: B1(J) = 0
FOR I = 1 TO N: B1(J) = B1(J) + X(I, J) * YSR(I):NEXT I
B1(J) = B1(J) / N: NEXT J
REM ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧИМОСТИ КОЗФФИЦИЕНТОВ
SB = SQR(SO2 / (N * M))
FOR J = 1 TO NN: STR(J) = ABS(B1(J)) / SB: NEXT J
FOR J = 1 TO NN: B(J) = B1(J)
IF STR(J) < STT THEN B(J) = 0
NEXT J
REM ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА ЗНАЧИМЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
L = 0
FOR J = 1 TO NN: IF B(J) <> 0 THEN L = L + 1
NEXT J
REM ОПРЕДЕЛЕНИЕ YR
FOR I = 1 TO N: YR(I) = 0
FOR J = 1 TO NN: YR(I) = YR(I) + B(J) * X(I, J): NEXT J
NEXT I
PRINT " средние расчетные выборочная коэфф. ";
PRINT "расчетн. значим."
PRINT " знач.Y знач. Y дисперсия уравн. ";
PRINT "критерий коэф."
PRINT " регрес. ";
PRINT "Стьюдента уравн."
FOR I = 1 TO N
PRINT USING " ####.### "; YSR(I); YR(I);
PRINT USING " ##.###^^^^ "; WD(I); B1(I); STR(I); B(I)
NEXT I
PRINT "СУММА ПОСТРОЧНЫХ ДИСПЕРСИЙ SUMWD="; SUMWD
PRINT "МАКСИМАЛЬНАЯ ПОСТРОЧНАЯ ДИСПЕРСИЯ WDMAX="; WDMAX
PRINT "РАСЧЕТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ КРИТЕРИЯ КОХРЕНА KR="; KR
PRINT "ОШИБКА ОПЫТА SO2="; SO2
PRINT "СРЕДНЕКВАДРАТ. ОТКЛОНЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА SB="; SB
REM РАСЧЕТ КРИТЕРИЯ ФИШЕРА
Z = 0: FOR I = 1 TO N: Z = Z+(YSR(I)–YR(I))^2:NEXT I
IF L = N THEN
D = 0
DO WHILE I <= N
D = D + ((YSR(I) – YR(I)) / YSR(I)) ^ 2
LOOP
DEL = SQR(D / N) * 100
PRINT "ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ DEL="; DEL; "%"
ELSE
DAD = M * Z / (N – L): FR = DAD / SO2
PRINT "ДИСПЕРСИЯ АДЕКВАТНОСТИ DAD="; DAD
PRINT "РАСЧЕТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ КРИТЕРИЯ ФИШЕРА FR="; FR
END IF
END
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
ЧИСЛО ОСНОВНЫХ ОПЫТОВ N 8
ЧИСЛО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОПЫТОВ M 2
ТАБЛИЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ КРИТЕРИЯ КОХРЕНА GR .6798
ТАБЛИЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ КРИТЕРИЯ СТЬЮДЕНТА STT 2.31
ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ ПЛАНИРОВАНИЯ NN 8
+1 –1 +1 +1 –1 –1 +1 –1 79.300 75.350
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 85.100 83.350
+1 +1 –1 +1 –1 +1 –1 –1 59.400 60.330
+1 +1 +1 –1 +1 –1 –1 –1 72.500 77.790
+1 –1 –1 +1 +1 –1 –1 +1 42.300 45.700
+1 –1 –1 –1 +1 +1 +1 –1 48.700 42.560
+1 –1 +1 –1 –1 +1 –1 +1 62.500 63.460
+1 +1 –1 –1 –1 –1 +1 +1 51.400 59.790
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА
средние расчетные выборочная коэфф. расчетн. значим.
знач.Y знач. Y дисперсия уравн. критерий коэф.
регрес. Стьюдента уравн.
77.325 75.163 7.801E+00 6.310E+01 7.787E+01 6.310E+01
84.225 86.387 1.531E+00 5.612E+00 6.926E+00 5.612E+00
59.865 57.544 4.325E–01 1.182E+01 1.459E+01 1.182E+01
75.145 74.674 1.399E+01 3.258E+00 4.021E+00 3.258E+00
44.000 46.321 5.780E+00 –8.456E–01 1.044E+00 0.000E+00
45.630 45.001 1.885E+01 7.937E–02 9.796E–02 0.000E+00
62.980 63.451 4.608E–01 2.598E+00 3.206E+00 2.598E+00
55.595 56.224 3.520E+01 –1.396E+00 1.722E+00 0.000E+00
СУММА ПОСТРОЧНЫХ ДИСПЕРСИЙ SUMWD= 84.04367
МАКСИМАЛЬНАЯ ПОСТРОЧНАЯ ДИСПЕРСИЯ WDMAX= 35.19604
РАСЧЕТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ КРИТЕРИЯ КОХРЕНА KR= .4187828
ОШИБКА ОПЫТА SO2= 10.50546
СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА SB= .8103032
ДИСПЕРСИЯ АДЕКВАТНОСТИ DAD= 14.23548
РАСЧЕТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ КРИТЕРИЯ ФИШЕРА FR= 1.355055