Приклад 1.

Обчислити значення , якщо відомо , .

За формулою (1) знаходимо

 

 

Отже .

Якщо лінійна інтерполяція не забезпечує потрібної точності, то треба брати більше як два вузли і використовувати інтерполяційні многочлени вищого порядку.

Нехай у вузлах попарно різних і, взагалі кажучи, нерівновіддалених, задані значення . Побудуємо інтерполяційний поліном за вузлами , такий, що

де та - невід’ємні цілі числа.

Розглянемо досить поширений випадок параболічного інтерполювання – квадратичне інтерполювання.

Суть методу параболічної інтерполяції полягає у тому, що функцію у = f(х) замінюють многочленом другого степеня (параболою), значення якого в трьох точках (вузлах) дорівнюють значенням функції. Якщо треба знайти лише значення інтерполяційного многочленна, то зручно користуватися методом Ейткена, згідно з яким інтерполяційний многочлен другого ступеня можна записати у вигляді

(2)

 

Справді, - многочлен другого ступеня. Доведемо, що у вузлах він набуває відповідно значень .

Оскільки

, , , ,

то

,

 

,

 

 

і дає формулу квадратичної інтерполяції.

 

З формули (1) випливає, що значення інтерполяційного многочленна другого ступеня можна обчислити, застосувавши лінійну інтерполяцію та .

Розглянута схема лінійного та квадратичного інтерполювання може бути поширена і на параболічне інтерполювання вищого порядку.

Отже, щоб за допомогою інтерполювання за методом Ейткіна обчислити значення у = f(х) для значення , яке міститься між і можна керуватися наступним алгоритмом:

1.
2.
3.
4.	, п.2
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.	, п.8
14.
15.	, п.6
16.	Друкування

 

Виконуючи обчислення за вказаним алгоритмом, змінним спочатку надається значення (многочленів нульового степеня). Маючи многочлени нульового степеня, обчислюються многочлени першого степеня (при ) (цих многочленів уже не , а тільки ) і їх значення надаються змінним . Долі, маючи значення многочленів першого ступеня (при ), обчислюються значення многочленів другого ступеня і т.д. Нарешті при , за значеннями двох многочленів степеня обчислюється . Обчислювальна схема для знаходження значення інтерполяційного многочленна наведена у таблиці 1.