Найдем погрешность интерполяции. Представим ее виде:
, (2.16)
где K(t) – вспомогательная функция, которую надо найти.
Для произвольного t* имеем:
(2.17)
Введем в рассмотрение еще одну функцию
(2.18)
Продиффенцируем ее n+1 раз по t.
Так как - полином n-ой степени, то .
K(t*) –константа, значит
.
Следовательно . (2.19)
Функция Ф(t) пересекает ось t как минимум n+2 раз (при значениях аргумента t в точках t1, t2, …, tn и t* − см. (2.17), (2.18), см. рис. 2.6).
Это значит, что первая производная имеет хотя бы n+1 нулей (по одному на нулю на каждом интервале), вторая производная – n нулей и т.д. n+1-я производная должна иметь хотя бы одно нулевое значение при некотором .
Рис. 2.6. Точки пересечения оси Ф функцией Ф(t).
Отсюда, учитывая (2.19), в этой точке
.
Подставив эту формулу в формулу ошибки воспроизведения (2.16), получим:
.
Так как t* произвольно, его можно заменить на t:
.
выбиралось из условия . На практике найти сложно. Если вместо подставить и вместо подставить , то получаем оценку абсолютной величины ошибки сверху:
.
Таким образом, для определения наибольшего отклонения воспроизводящей функции, представленной полиномом Лагранжа, от исходной необходимо знать максимальное по абсолютной величине значение производной исходной функции.
Приступим теперь к решению обратной задачи – по заданному значению максимальной погрешности , порядку n полинома Лагранжа и максимальному значению производной Mn находить максимально возможный шаг равномерной дискретизации.