Пропускная способность непрерывного канала при наличии аддитивного шума

Рассмотрим следующую модель канала:

1. Канал способен пропускать колебания с частотами ниже F_m.

2. В канале действует помеха n(t), имеющая нормальный (гаусcовский) закон распределения с нулевым средним значением.

3. Помеха n(t) статистически не связана с полезным сигналом x(t).

4. Помеха аддитивна, т.е. сигнал y(t) на выходе канала описывается формулой y(t) = x(t) + n(t), где x(t) – сигнал на входе канала.

5. Мощность P_x полезного сигнала x(t) ограничена.

Ограниченность полосы пропускания канала приводит к ограниченности спектра выходного сигнала y(t). Поэтому согласно теореме Котельникова без потери информации сигналы x(t), y(t) и n(t) можно представить в виде ряда независимых отсчетов, взятых с шагом .

Как было доказано ранее количество информации I, приходящейся на один отсчет, равно: I = H(x) - H(x/y) = H(y) – H(y/x) .

Ранее нами было показано, что энтропия H(y) непрерывной случайной величины y находится по формуле:

.

Найдем H(y/x). Перейдем к дискретному представлению x и y с шагом и .

 

Найдем теперь дифференциальный закон f(y/x). Если x фиксирован, а y(t)=x(t)+n(t), то

f(y/x)=f(n-x).

График этой функции изображен на рис. 4.7.

 

Рис. 4.7. График функции f(y/x).

Поскольку Х фиксирован .

Произведем подстановки:

 

Подставив этот результат в формулу количества информации, получим:

.

Скорость передачи информации:

, где V_к=2F_m (по теореме Котельникова).

Для нахождения пропускной способности непрерывного канала связи с шумом следует максимизировать скорость передачи информации , варьируя параметрами передаваемого сигнала Х.

V_к – величина постоянная, связанная с параметром F_m канала.

I зависит от H(y).

Поcкольку x и n взаимно независимы, D_y = D_x + D_n, m_y = m_x + m_n = m_x, так как m_n = 0.

Ранее была выведена зависимость , из которой следует, что пропорциональна D_y.

Отсюда следует, что максимальна, когда максимальна дисперсия D_y.

Но, поскольку D_y = D_x + D_n, D_y – максимальна, когда максимальна D_х.

Согласно условию, мощность Р_х передаваемого сигнала Х ограничена сверху.

А, поскольку Р_х = D_x + m_x², максимальное значение дисперсии D_x достигается при нулевом математическом ожидании m_x=0. В это случае Р_x=D_x.

Значит P_y = D_y + m_y² = D_y, так как m_y = m_x + m_n, а m_x и m_n = 0.

Ранее было доказано, что при ограничении мощности сигнала сверху его энтропия принимает максимальное значение, если он распределен по нормальному закону. Значит y должен иметь нормальный закон распределения.

А какой в этом случае закон распределения должен иметь входной сигнал х?

Поскольку y = x + n, а y и n имеют нормальные законы распределения, x и n не зависимы, согласно теории вероятностей x тоже должен иметь нормальный закон распределения.

Следовательно:

 

Отсюда:

.

Поскольку m_x и m_n=0, D_x=P_x, D_n=P_n,

.

Отношение P_x/P_n мощностей сигнала и шума называется отношением сигнал-шум.

В результате пропускную способность непрерывного канала связи с шумом можно записать в виде: (4.6)

Таким образом, пропускная способность этого канала определяется максимальной частотой F_m пропускаемых через канал частот и отношением сигнал-шум. Пропускная способность этого типа канала тем выше, чем выше F_m и отношение сигнал-шум.

Формула (4.6) описывает наихудший в смысле величины пропускной способности случай. Если шум имеет негауссовский закон распределения или имеет коррелированные (зависимые) отсчеты, то пропускная способность канала возрастает.