Квантование по уровню – необходимое условие преобразования непрерывного сигнала в цифровую форму. Однако одного лишь квантования по уровню для этого недостаточно – для преобразования в цифровую форму необходимо сочетание квантования по уровню с дискретизацией по времени. Однако квантование, как и дискретизация приводят к искажению сигнала.
В результате квантования восстановленный сигнал приобретает ступенчатую форму:
Можно использовать разные критерии точности представления исходного сигнала квантованным. В данной работе будем использовать среднеквадратическую погрешность, которая часто совпадает с дисперсией ошибки.
С учетом этого критерия были получены [1] формулы и методика построения оптимальной в смысле минимума дисперсии ошибки шкалы квантования.
Оптимизацию шкалы можно проводить при разных условиях. Формулы и методика построения оптимальной шкалы, изложенные в [1], предполагают наличие следующих условий:
· интервал значений (xmin, xmax), покрываемый шагами квантования, при оптимизации шкалы остается неизменным;
· количество шагов квантования при оптимизации остается неизменным;
· количество шагов квантования по условиям вывода формул должно быть бесконечно большим;
· уровни располагаются в центре шагов.
Результатом оптимизации является такое распределение границ шагов квантования, при котором дисперсия ошибки воспроизведения исходного сигнала минимальна.
Оптимальную шкалу можно использовать также для минимизации числа уровней квантования, при неизменной дисперсии ошибки. Уменьшение уровней квантования сокращает объем данных о сигнале, что, несомненно, благо.
В данной работе нас будет интересовать – использование оптимальной шкалы квантования для уменьшения среднеквадратической погрешности восстановления исходного сигнала.
Оптимизация здесь сводится к подбору такого расположения границ шагов квантования (на рисунках выше они обозначены горизонтальными штриховыми линиями), при котором среднеквадратическая погрешность становится минимальной. Подбор этих границ ведется при условии совпадения максимального xmax и минимального xmin значений исходного x(t) и квантованного xкв(t) сигналов.
Выведенные в методическом пособии [1] формулы рассчитаны на схему получения и применения оптимальной и в общем случае неравномерной шкалы квантования по уровню, изображенную на рис. 1.
Такая схема позволяет получать неравномерную шкалу квантования по уровню, используя стандартные аналого-цифровые преобразователи с равномерной шкалой квантования. Для получения же в итоге оптимальной неравномерной шкалы необходимо использовать аналоговые экспандер и компрессор, первый из которых преобразует исходный сигнал X(t) в промежуточный Y(t), который и подвергается квантованию по уровню, но уже с использованием стандартной равномерной шкалы, а с помощью второго выполняется обратное преобразование квантованного промежуточного сигнала в квантованный исходный .
Рис. 1. Схема получения и применения оптимальной шкалы квантования по уровню
Построение оптимальной шкалы при использовании этой схемы сводится к определению функции y=φ(x) и обратной ей функции x= φ-1(y). Функция φ(x) называется законом компандирования и описывается формулой:
(1)
Здесь
· f (x) – дифференциальный закон распределения квантуемого сигнала х ;
· хmax и xmin – максимальное и минимальное значение сигнала х;
· - константа, зависящая от дифференциальный закон распределения квантуемого сигнала х.
Аргумент х функции y, как видим, находится в верхнем пределе интегрирования.
Дисперсия ошибки в этом случае минимальна и рассчитывается по формуле:
(2)
Учитывая то, что вспомогательный сигнал y квантуется с равномерным шагом, используя график закона компандирования (1), несложно найти границы шагов неравномерной оптимальной шкалы. Этот процесс иллюстрируется графиком, изображенным на рис. 2.
Рис. 2. Закон компандирования и шаги квантования.
Интервал значений y (ymin, ymax) делится на n равных интервалов (n – число шагов квантования по уровню – в данной работе задается равным 8). Затем по границам шагов y с помощью закона компандирования находятся границы шагов неравномерной оптимальной шкалы квантования x.
После этого найденную шкалу можно использовать для квантования нашего голоса, оценить дисперсию ошибки квантования рассчитать теоретическую дисперсию, определяемую формулой (2) и сравнить теорию с практикой.
Для определения эффективности использования оптимальной неравномерной шкалы квантования по сравнению с традиционным равномерным квантованием выполним также квантование того же сигнала при помощи равномерной (неоптимальной) шкалы с тем же числом уровней квантования (8 уровней). По формуле (4) рассчитаем дисперсию ошибки квантования для этого случая:
(4)
Эта дисперсия должна быть больше дисперсии ошибки квантования с использованием оптимальной неравномерной шкалы.