Алгоритм Флойда — Уоршалла - раздел Образование, Основные операции при работе с деревьями Идея Алгоритмом Флойда — Уоршалла, Состоит В Следующем. Будем Рассматривать П...
Идея алгоритмом Флойда — Уоршалла, состоит в следующем. Будем рассматривать последовательность матриц смежности. В этой матрице элемент с индексами (i,j) равен +∞, если в графе нет ребра, ведущего из вершины i в вершину j. В противном случае элемент содержит длину ребра (расстояние) от вершины i к вершине j. Имея эту начальную матрицу в качестве матрицы G0, будем получать далее последовательность матриц G1, G2,Gn, используя формулу
В этой формуле считается, что если вершины i и j не соединены дугой, то соответствующий элемент матрицы Gk(i,j) содержит бесконечно большое значение +∞, операции с которым подчиняются естественным правилам: для любого значения а (конечного или бесконечного) а + ∞ = ∞, min(a, ∞) = а.
Кроме матрицы длин кратчайших путей G надо получить еще и матрицу направлений D для того, чтобы можно было определить сами найденные кратчайшие пути. Ее можно получать сходным способом. В этой матрице элемент Dk(i,j) равен номеру начальной промежуточной вершины на кратчайшем пути из вершины i в вершину j, проходящему через промежуточные вершины из множества {0, 1,... k-1}. Ясно, что начальная матрица направлений D0 совпадает с исходной матрицей смежности графа, в которой элемент с индексами (i,j) содержит значение j, если имеется ребро, ведущее из вершины i в вершину j, и содержит -1, если такого ребра нет. В дальнейшем, при вычислении матрицы кратчайших путей, как только обнаруживается, что элемент Gk(i,j) следует заменить суммой Gk-1(i,k-1) + Gk-1(k -1, j), элемент Dk(i,j) меняется на Dk-1(i,k-1). Таким образом, в конце концов в матрице Dn будут содержаться направления по всем кратчайшим путям между всеми парами вершин в исходном графе.
Итак, имеем алгоритм, реализованный в виде функции getMinPaths. Этот метод получает в качестве аргументов исходный граф G, нагрузку на его дуги, представленную объектом класса Graphweight, и две переменные, в которые в процессе работы алгоритма и будут записаны значения элементов матрицы кратчайших путей и матрицы направлений.
Листинг : Алгоритм нахождения матрицы кратчайших путей и матрицы направлений методом Флойда — Уоршалла
void getMinPaths(const MatrixGraph & G, // Исходный граф
const GraphWeight & w, // Нагрузка на дуги
double ** & P, // Переменные для матрицы путей
int ** & D // ...и для матрицы направлений
) {
int n = G.vertexCount(); // Число вершин графа
// Инициализация матриц.
// В матрицу длин путей записываются длины дуг исходного графа:
Основные операции при работе с деревьями... Определение глубины дерева... Обход дерева на заданную глубину включение нового значения в дерево...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Алгоритм Флойда — Уоршалла
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Оптимизация поиска в дереве
Основное свойство дерева соответствует пословице " дальше в лес - больше дров" . Точнее, количество просматриваемых вершин от уровня к уровню растет в геометрической прогр
Нумерация вершин
Способы обхода дерева.В деревьях обход вершин возможен только с использованием рекурсии, поэтому и их логическая нумерация производится согласно последовательности их рекурсивного о
Поиск и включение в двоичное дерево
Свойства двоичного дерева позволяют применить в нем алгоритм поиска, аналогичный двоичному поиску в массиве. Каждое сравнение искомого значения и значения в вершине позволяет выбрать для следующего ша
Сбалансированные двоичные деревья
После каждой операции изменения дерева можно проводить балансировку дерева, которая позволяет минимизировать его высоту. При этом поиск по двоичному дереву будет требовать минимальн
Преобразование лозы в сбалансированное двоичное дерево.
Этот этап алгоритма более содержательный и поэтому менее очевидный. Поэтому сначала будет разобран простой пример, а потом будет дано его обобщение.
Пусть есть лоза, котора
Алгоритмы представления графа
При программировании задач обработки сетевых структур требуется решить вопрос о представлении графа структурами данных языка программирования. Выбор представления графа определяется
Файл setgraph.h
#include "graph.h"
#include "set.h" // Определение класса для работы с множествами
class SetGraph : public Graph {
Set **graph; // Массив множеств дуг
Представление графа в виде матрицы смежности
Еще один распространенный способ представления графа — это представление в виде матрицы смежности размером N * N (рис.1). B этой матрице в элементе с индексами (i,j) записывается ин
Файл MatrixGraph.cpp
#include "MatrixGraph.h"
// Реализация конструктора - заказ и инициализация памяти
// под двумерный массив логических значений
MatrixGraph::Matr
Представление графа в виде связанного списка
Списки вообще удобны тем, что могут содержать переменное количество элементов, при этом общий размер занимаемой ими памяти соответствует количеству элементов списка. Каждый элемент списка будет сод
Файл ListGraph.h
#include "graph.h" // Описание родительского класса
// Описание шаблона классов для представления
// простых однонаправленных списков
template &
Файл ListGraph.cpp
#include "ListGraph.h"
// Реализация операций над списком.
// Добавление нового элемента в список
template <class T>
void List<
Представление графа в виде списка дуг
Иногда используются и другие представления графов, например, для случая очень разреженных графов, когда при большом количестве N вершин графа число дуг существенно меньше NXN, напри
Файл ArcGraph.h
#include "graph.h" // Определение родительского класса
// Описание класса для представления A-графа
class ArcGraph : public Graph {
// Дуга представлена элемент
Файл ArcGraph.cpp
«include "ArcGraph.h"
//Реализация операции добавления дуги
void ArcGraph::addArc(int from, int to) {
// Сначала проверяем правильность задания
Обходы в графах
Как и в случае обхода деревьев, для графов существуют два основных класса обходов: обходы в глубину и обходы в ширину.
Обходы в глубину пытаются каждый раз
Определение путей и контуров Эйлера
Путь Эйлера проходит по каждому ребру в графе только один раз. Контур Эйлера проходит каждое ребро в графе тоже один раз, а также начинается и заканчивается в одной и той же вершине
Поиск кратчайших путей
Путем в графе называют чередующуюся последовательность вершин и дуг v1, e1, v2, e2,... vn-1 en-1, vn, в которой каждый элемент vi— вершина графа, а каждый элемент еi — дуга графа, ведущая из пре
Алгоритм Э. Дейкстры.
Опишем алгоритм нахождения такого пути при условии, что длины всех дуг неотрицательны. Этот алгоритм был предложен и опубликован Э. Дейкстрой (Е. W. Dijkstra), поэтому и носит его имя.
Алг
Определение остовных деревьев
Остовиым деревом (скелетом) неориентированного графа называется его подграф, не имеющий циклов и содержащий все вершины исходного графа. Так, например, для нагруженного графа, изображенно
Файл listgraph.h
// Класс ListGraph задает структуру L-графа
class ListGraph {
// Массив списков дуг
List<int> *graph;
// Количество вершин графа
i
Файл Arc.h
// Структура ребра для алгоритма Крускала: сравнение ребер
// происходит по их весам
struct Arc {
int from, to;
double weight;
Arc(int f
Файл listgraph.cpp
// Собственно алгоритм Крускала
double ListGraph::minSkeleton(
// Выходной поток для вывода результирующей информации:
std::ostream & out,
// Нагрузка на реб
Сортировка выбором
Один из самых простых алгоритмов сортировки работает следующим образом. Сначала отыскивается наименьший элемент массива, затем он меняется местами с элементом, стоящим первым в сорт
Сортировка вставками
Метод сортировки заключается в том, что отдельно анализируется каждый конкретный элемент, который затем помещается в надлежащее место среди других, уже отсортированных элементов. Сл
Пузырьковая сортировка
Метод сортировки, который многие обычно осваивают раньше других из-за его исключительной простоты, называется пузырьковой сортировкой (bubble sort), в рамках которой выполняются сле
Быстрая сортировка
Алгоритм быстрой сортировки обладает привлекательными особенностями: он принадлежит к категории обменных (in-place) сортировок (т.е., требует всего лишь небольшого вспомогательного
Сортировка слиянием
Рассматривается сортировка слиянием (mergesort), которая является дополнением быстрой сортировки в том, что она состоит из двух рекурсивных вызовов с последующей процедурой слияния.
Пирамидальная сортировка
Итак, мы постепенно переходим от более-менее простых к сложным, но эффективным методам.
В качестве некоторой прелюдии к основному методу, рассмотрим перевернутую сортировку
Двоичный поиск
Если данные отсортированы, то может использоваться очень хороший метод поиска, названный двоичным поиском. При таком поиске используется метод "разделяй и властвуй". Сначала производится
Работа со словарем. Иоиск и вставка. Хеширование.
Довольно часто встречаются ситуации, когда обработке подлежат много маленьких строк — слов, которые надо сохранять в некоторой единой структуре — словаре. Сами слова н
Файл dictionary.h
// Класс, представляющий словарь в виде хеш-таблицы
classHashDictionary
{
private:
static const intP = 557;
Файл dictionary.cpp
// Реализация функций
intHashDictionary::code(char c)
{
returnstrchr("abcdefghijklmnopqrstuvwxyz&
Файл "hashtable.h".
// Класс, представляющий хеш-таблицу пар (ключ, значение), причем
// ключом является строка, а значением может быть произвольный объект.
//В таблице хранятся не са
Новости и инфо для студентов