рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Образование
/
Определение остовных деревьев

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Определение остовных деревьев

Определение остовных деревьев - раздел Образование, Основные операции при работе с деревьями Остовиым Деревом (Скелетом) Неориентированного Графа Называется Его...

Остовиым деревом (скелетом) неориентированного графа называется его подграф, не имеющий циклов и содержащий все вершины исходного графа. Так, например, для нагруженного графа, изображенного на рис. 9, а, скелетами являются все его подграфы, изображенные на рис. 9, б.

Рис. 9. Нагруженный неориентированный граф и его остовные поддеревья

Строго говоря, то, что изображено на рис. 9, б, не является деревом, поэтому следовало бы говорить не об остовном дереве, а, скорее, об остовном лесе. Тем не менее в дальнейшем мы не будем уточнять, идет ли речь об одном или нескольких деревьях, представляющих остов графа.

Варианты скелетов исходного графа, изображенные на рис. 9, б, имеют различный суммарный вес ребер графа. В первом варианте сумма весов ребер скелета равна 15, во втором варианте— 27, и в третьем варианте— 19. В разных ситуациях бывает необходимо найти остовное дерево с максимальным или минимальным общим весом ребер. Так первое поддерево имеет минимальный суммарный вес из всех возможных поддеревьев. Второе поддерево— максимальный. Поставим задачу найти минимальное остовное дерево (т. е. остовное дерево минимального суммарного веса ребер) для заданного неориентированного графа. Разумеется, поиск максимального остовного дерева будет производиться по точно такому же алгоритму.

Первый из предлагаемых алгоритмов принадлежит классу так называемых жадных алгоритмов. Этот алгоритм пытается найти решение поставленной задачи в лоб, стараясь найти минимальное остовное дерево последовательным отбором ребер с минимальным весом, следя за тем, чтобы получающийся граф не имел циклов. Разумеется, для этого необходимо сначала отсортировать все ребра графа по возрастанию их весов. Лучше всего, если граф с самого начала представлен списком ребер, в этом случае сортировка будет наиболее естественной. Но даже и в других случаях сортировка ребер графа по весу занимает не слишком много времени— в худшем случае M x log2M, где М— количество ребер графа.

Подходящим способом сортировки ребер будет организация списка ребер в виде пирамиды — в этом случае сортировку можно совместить во времени с основной работой алгоритма. После того как ребра будут выстроены в упорядоченный список или в пирамиду, жадный алгоритм выбирает ребра по очереди, начиная с ребер с наименьшим весом, и пытается включить каждое очередное ребро в строящееся дерево. Очередное ребро не удается включить в дерево, если оно замыкает какой-либо цикл в графе. Проверить этот факт можно, если удастся выяснить, принадлежат ли оба конца очередного ребра уже построенной части остовного дерева. Отсюда следует следующий алгоритм, называемый также алгоритмом Крускала (J. В. Kruskal).

После сортировки ребер по весу строящееся остовное дерево организуется в виде отдельных фрагментов этого дерева, в которые в каждый момент времени включены все вершины графа. В начале работы каждая вершина графа представляет собой отдельную компоненту, а соединяющих их ребер пока вообще нет. Каждое вновь включаемое ребро соединяет две отдельные компоненты в одну, таким образом, полное остовное дерево будет построено после N-1 включения ребра. Разумеется, очередное ребро можно включить в дерево, только если его концы принадлежат разным компонентам, в противном случае в компоненте образуется цикл. Таким образом, если очередное ребро соединяет вершины, принадлежащие одной связной компоненте, то такое ребро не включается в строящееся остовное дерево и игнорируется

Рис. 10. а. Алгоритм Крускала построения минимального остовного дерева графа

Рис. 10. б. Алгоритм Крускала построения минимального остовного дерева графа

Для хранения информации о компонентах строящегося дерева предлагается структура данных в виде массива, каждый i-й элемент которого содержит ссылку на одну из вершин компоненты, содержащей i-ю вершину. Фактически такой массив является одним из способов представления дерева компонент (точнее, леса из нескольких деревьев), в котором ссылки из узлов дерева проводятся от потомков к предкам.

На рис. 10.б представлена последовательность этапов при построении компонент остовного дерева согласно жадному алгоритму. В качестве исходного графа выбран граф рис. 10.а. Первоначально остовное дерево состоит из отдельных вершин исходного графа, жадный алгоритм постепенно добавляет к нему ребра, начиная с ребер с наименьшим весом. На рис. 10.б показаны 8 последовательных этапов построения остовного дерева согласно жадному алгоритму. На каждом этапе в остовное дерево включается новое ребро. Ребра, замыкающие цикл в уже построенной части, игнорируются алгоритмом.

В листинге показана реализация алгоритма Крускала построения минимального остовного дерева. Метод minSkeieton графа получает в качестве аргумента выходной поток для печати в него информации о ребрах графа, включаемых в остовное дерево. Второй аргумент— это объект, задающий нагрузку на ребра графа. Информация о структуре минимального остовного дерева выводится в выходной поток в виде последовательности пар целых чисел — номеров вершин, задающих ребра графа, а общий полученный вес этого остовного дерева выдается в качестве результата работы функции.

На первом этапе работы алгоритма строится пирамида из ребер графа. В каждый узел пирамиды заносится информация о номерах соединяемых этим ребром вершин и о весе ребра. Информация о ребрах графа берется из матрицы смежности графа и объекта класса GraphWeight, задающего нагрузку на ребра.

На втором этапе начинается построение остовного дерева, информация о котором хранится в массиве. Каждый раз, как только очередное ребро попадает в остовное дерево, информация о нем выводится в выходной поток.

Листинг: Реализация алгоритма Крускала построения минимального остовного дерева

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Основные операции при работе с деревьями

Основные операции при работе с деревьями... Определение глубины дерева... Обход дерева на заданную глубину включение нового значения в дерево...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Определение остовных деревьев

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Оптимизация поиска в дереве
Основное свойство дерева соответствует пословице " дальше в лес - больше дров" . Точнее, количество просматриваемых вершин от уровня к уровню растет в геометрической прогр

Нумерация вершин
Способы обхода дерева.В деревьях обход вершин возможен только с использованием рекурсии, поэтому и их логическая нумерация производится согласно последовательности их рекурсивного о

Поиск и включение в двоичное дерево
Свойства двоичного дерева позволяют применить в нем алгоритм поиска, аналогичный двоичному поиску в массиве. Каждое сравнение искомого значения и значения в вершине позволяет выбрать для следующего ша

Сбалансированные двоичные деревья
После каждой операции изменения дерева можно проводить балансировку дерева, которая позволяет минимизировать его высоту. При этом поиск по двоичному дереву будет требовать минимальн

Преобразование лозы в сбалансированное двоичное дерево.
Этот этап алгоритма более содержательный и поэтому менее очевидный. Поэтому сначала будет разобран простой пример, а потом будет дано его обобщение. Пусть есть лоза, котора

Алгоритмы представления графа
При программировании задач обработки сетевых структур требуется решить вопрос о представлении графа структурами данных языка программирования. Выбор представления графа определяется

Файл setgraph.h
#include "graph.h" #include "set.h" // Определение класса для работы с множествами class SetGraph : public Graph { Set **graph; // Массив множеств дуг

Представление графа в виде матрицы смежности
Еще один распространенный способ представления графа — это представление в виде матрицы смежности размером N * N (рис.1). B этой матрице в элементе с индексами (i,j) записывается ин

Файл MatrixGraph.cpp
#include "MatrixGraph.h" // Реализация конструктора - заказ и инициализация памяти // под двумерный массив логических значений MatrixGraph::Matr

Представление графа в виде связанного списка
Списки вообще удобны тем, что могут содержать переменное количество элементов, при этом общий размер занимаемой ими памяти соответствует количеству элементов списка. Каждый элемент списка будет сод

Файл ListGraph.h
#include "graph.h" // Описание родительского класса // Описание шаблона классов для представления // простых однонаправленных списков template &

Файл ListGraph.cpp
#include "ListGraph.h" // Реализация операций над списком. // Добавление нового элемента в список template <class T> void List<

Представление графа в виде списка дуг
Иногда используются и другие представления графов, например, для случая очень разреженных графов, когда при большом количестве N вершин графа число дуг существенно меньше NXN, напри

Файл ArcGraph.h
#include "graph.h" // Определение родительского класса // Описание класса для представления A-графа class ArcGraph : public Graph { // Дуга представлена элемент

Файл ArcGraph.cpp
«include "ArcGraph.h" //Реализация операции добавления дуги void ArcGraph::addArc(int from, int to) { // Сначала проверяем правильность задания

Файл convert.срр
#include "SetGraph.h" #include "MatrixGraph.h" #include "ListGraph.h" #include "ArcGraph.h" // Функция пр

Обходы в графах
Как и в случае обхода деревьев, для графов существуют два основных класса обходов: обходы в глубину и обходы в ширину. Обходы в глубину пытаются каждый раз

Определение путей и контуров Эйлера
Путь Эйлера проходит по каждому ребру в графе только один раз. Контур Эйлера проходит каждое ребро в графе тоже один раз, а также начинается и заканчивается в одной и той же вершине

Поиск кратчайших путей
Путем в графе называют чередующуюся последовательность вершин и дуг v1, e1, v2, e2,... vn-1 en-1, vn, в которой каждый элемент vi— вершина графа, а каждый элемент еi — дуга графа, ведущая из пре

Алгоритм Э. Дейкстры.
Опишем алгоритм нахождения такого пути при условии, что длины всех дуг неотрицательны. Этот алгоритм был предложен и опубликован Э. Дейкстрой (Е. W. Dijkstra), поэтому и носит его имя. Алг

Алгоритм Флойда — Уоршалла
Идея алгоритмом Флойда — Уоршалла, состоит в следующем. Будем рассматривать последовательность матриц смежности. В этой матрице элемент с индексами (i,j) равен +∞, если в графе нет ребра, вед

Файл listgraph.h
// Класс ListGraph задает структуру L-графа class ListGraph { // Массив списков дуг List<int> *graph; // Количество вершин графа i

Файл Arc.h
// Структура ребра для алгоритма Крускала: сравнение ребер // происходит по их весам struct Arc { int from, to; double weight; Arc(int f

Файл listgraph.cpp
// Собственно алгоритм Крускала double ListGraph::minSkeleton( // Выходной поток для вывода результирующей информации: std::ostream & out, // Нагрузка на реб

Сортировка выбором
Один из самых простых алгоритмов сортировки работает следующим образом. Сначала отыскивается наименьший элемент массива, затем он меняется местами с элементом, стоящим первым в сорт

Сортировка вставками
Метод сортировки заключается в том, что отдельно анализируется каждый конкретный элемент, который затем помещается в надлежащее место среди других, уже отсортированных элементов. Сл

Пузырьковая сортировка
Метод сортировки, который многие обычно осваивают раньше других из-за его исключительной простоты, называется пузырьковой сортировкой (bubble sort), в рамках которой выполняются сле

Быстрая сортировка
Алгоритм быстрой сортировки обладает привлекательными особенностями: он принадлежит к категории обменных (in-place) сортировок (т.е., требует всего лишь небольшого вспомогательного

Сортировка слиянием
Рассматривается сортировка слиянием (mergesort), которая является дополнением быстрой сортировки в том, что она состоит из двух рекурсивных вызовов с последующей процедурой слияния.

Пирамидальная сортировка
Итак, мы постепенно переходим от более-менее простых к сложным, но эффективным методам. В качестве некоторой прелюдии к основному методу, рассмотрим перевернутую сортировку

Двоичный поиск
Если данные отсортированы, то может использоваться очень хороший метод поиска, названный двоичным поиском. При таком поиске используется метод "разделяй и властвуй". Сначала производится

Работа со словарем. Иоиск и вставка. Хеширование.
Довольно часто встречаются ситуации, когда обработке подлежат много маленьких строк — слов, которые надо сохранять в некоторой единой структуре — словаре. Сами слова н

Файл dictionary.h
// Класс, представляющий словарь в виде хеш-таблицы classHashDictionary { private: static const intP = 557;

Файл dictionary.cpp
// Реализация функций intHashDictionary::code(char c) { returnstrchr("abcdefghijklmnopqrstuvwxyz&

Файл "hashtable.h".
// Класс, представляющий хеш-таблицу пар (ключ, значение), причем // ключом является строка, а значением может быть произвольный объект. //В таблице хранятся не са

Алгоритм прямого поиска подстроки в строке
1. Установить i на начало строки S, т.е. i = 0. 2. Проверить, не вышло ли i + M за границу N строки S. Если да, то алгоритм