Лекция 3 Водохозяйственные расчёты на базе наблюдённых или модели­рованных многолетних рядов стока

Вопросы:

1. Стохастические модели составляющиж водного баланса.

2. Математическое моделирование гидрологических рядов.

1. Стохастические модели составляющих водного баланса

Выявление и описание закономерностей колебания стока и других составляющих водного баланса необходимо (при решении задач водообеспечения) для ответа на следующие вопросы:

а) как изменится режим стока в результате намечаемых изъятий воды?
Какова возможность этих изъятий из «живого тока» (характеристика перебо­ев)?

б) в тех случаях, когда естественный режим источника не покрывает потребностей в воде, какими должны быть параметры водохранилищ, чтобы с нужной гарантией обеспечить эти потребности?

в) каков оптимальный режим эксплуатации отдельного водохранилища
или их каскада?

г) как повлияют предполагаемые или планируемые изменения стока рек на водно-солевой режим внутреннего водоема, принимающего эти реки?

Исторически сложившаяся методология расчетов по обоснованию па­раметров и режима эксплуатации водохозяйственных установок базируется на наблюденных временных рядах стока, осадков и испарения. Такой подход подразумевает стационарность указанных процессов и репрезентативность материалов наблюдений.

Правомочность допущений о стационарности утрачивается при значи­мой динамике водопотребления; при перманентном вводе в эксплуатацию водохранилищ многолетнего регулирования стока или в результате происхо­дящих изменений в режиме их эксплуатации; при изменениях климата и ус­ловий формирования стока, обусловленных осуществлением агролесомелио­ративных мероприятий на водосборах.

Как следствие, репрезентативность материалов наблюдений за стоком не всегда увеличивается в процессе накопления информации; поэтому расче­ты по наблюденным стоковым рядам во многих случаях не обеспечивают нужной степени достоверности. Выход из положения сулит использование искусственных рядов стока и других составляющих водного баланса, опи­рающихся на их математические модели, которые обобщают природные за­кономерности режима по множеству однородных объектов.

Стохастическая природа процессов, обусловливающих режим речного стока и других элементов водного баланса, предопределяет вероятностное описание закономерностей их колебания во времени и пространстве. Такие математические модели открывают возможности вероятностного предвиде­ния процесса с нужной заблаговременностью.

Специальный класс задач связан со стохастическими моделями водопотребления. Наконец, модели колебания составляющих водного баланса и водопотребления (в первую очередь, ирригационного) служат основой тео­рии оптимального управления водными ресурсами в рамках водохозяйствен­ных систем. В тех случаях, когда такие модели адекватно обобщают естест­венные закономерности природных процессов, открываются пути решения задач, на которые в принципе нельзя дать ответ по материалам прямых на­блюдений в несколько десятилетий.

Правомочен вопрос, в каких случаях стохастические модели предпоч­тительнее физических (детерминированных, функциональных)? Проблема о соотношении физических и стохастических моделей в гидрологии сохраняет актуальность, несмотря на ведущиеся десятилетиями дискуссии. Применение той или иной из указанных моделей или их сочетания (динамико-стохастические модели) определяется типом рассматриваемой задачи и ха­рактером располагаемой информации.

Только физические модели могут ответить на вопросы: как трансфор­мируется режим стока при изменении климатических условий, под влиянием распашки земель, сводки лесов, осушения заболоченных территорий водо­сборного бассейна, урбанизации земель и т. д. Стохастические подходы здесь не имеют смысла, поскольку задача сводится не к установлению вероятност­ных закономерностей гидрологических процессов, за которыми велись на­блюдения в определенных природных условиях, а требует экстраполяции режима процессов за пределы этих условий.

В принципе физические модели предпочтительнее стохастических; од­нако во многих случаях они связывают интересующий процесс с другими процессами, имеющими стохастическую природу; использование на практи­ке таких подходов ведет к усложнению расчетов, накоплению ошибок и, как следствие, к понижению достоверности результатов расчетов. Следует также иметь в виду необходимость схематизации в физических моделях природных условий (рельеф, геология и др.), что также снижает точность результатов, тем в большой степени, чем крупнее рассматриваемый водосборный бассейн. Доведение физических моделей до состояния, позволяющего использование их на практике, является самостоятельной, не всегда поддающейся решению проблемой.

В то же время, имеется множество задач, допускающих решение толь­ко на базе использования стохастических моделей. К ним, в частности, отно­сятся:

а) оценка повторяемости особо редко наблюдаемых высоких уровней или расходов воды. Применение в этих случаях физических моделей пред­ставляется не перспективным. Так, например, максимумы ливневого проис­хождения определяются изменяющейся во времени интенсивностью ливня, его длительностью, меняющейся степенью покрытия ливнем водосборного бассейна и др. Каждый из этих побуждающих процессов можно задавать лишь в вероятностной форме. Аналогичная ситуация имеет место с макси­мумами снегового происхождения: величина снегозапаса, гидрометеороло­гические условия весеннего периода и другие факторы поддаются лишь ве­роятностному описанию.

Поэтому при наличии достаточно продолжительных прямых наблюде­ний за интересующим процессом, в соответствии со сказанным выше, обыч­но следует отдать предпочтение прямой статистической обработке материа­лов этих наблюдений на базе рекомендаций по оптимальному для данного класса процессов типу распределения вероятностей. При этом рекомендации по типу распределения (а также по тем его числовым параметрам, которые не поддаются достоверной оценке по временному ряду ограниченной длитель­ности) опираются на результаты анализа и обобщения материалов наблюде­ний по множеству природных объектов, то есть — на стохастическую модель процесса.

б) Закономерности чередования лет разной водности, характеристики группирования маловодных лет поддаются лишь вероятностному описанию на базе стохастической модели колебаний годового стока. Для описания ре­жима уровня внутреннего водоема (вероятность выхода на ту или иную от­метку при заданном упреждении, фиксированной интенсивности снижения или роста уровня, его длительного стабильного стояния) используется сто­хастическая, точнее динамико-стохастическая, модель колебаний уровня.
Режим солености проточного водоема поддается анализу с использованием динамико-стохастической модели формирования солености. Динамическая (физическая) составляющая этих моделей обусловлена использованием при их построении водного баланса водоема в первом случае, и водно-солевого — во втором.

в) Не вызывает сомнений, что потребности в воде (их оптимальные нормы), обусловленные гидрометеорологическими условиями конкретных лет, требуют вероятностного описания. К сожалению, этому направлению исследований уделяется совершенно недостаточно внимания.

Для условий стационарного климата все указанные модели будут также стационарными: их тип распределения, его числовые параметры не изменя­ются во времени. Однако, во многих случаях описание закономерностей че­редования годовых величин стока, уровня и др. является недостаточным: не­обходимо знать внутри-годовое распределение. Соответствующие стохасти­ческие модели будут нестационарными даже в условиях стационарного кли­мата — действительно, как тип распределения так и его параметры изменя­ются в этих случаях от одного расчетного отрезка времени к другому. Разу­меется, при нестационарном климате утрачивается стационарность и в по­следовательностях годовых величин гидрометеорологических процессов.

Обычно из анализа физических. свойств гидрологических процессов следуют лишь самые общие характеристики распределения вероятностей, например, границы распределения. При этом тип распределения устанавли­вается подбором: «хорошим» признается то распределение, которое дает наилучшую аппроксимацию процесса в интервале значений случайной величины, представляющем практический интерес. Сущность подбора заключа­ется в том, что на основании наблюденных данных о случайной величине выдвигается гипотеза о ее теоретическом распределении и оценивается сте­пень достоверности такого допущения.

2, Математическое моделирование гидрологических рядов

При изучении закономерностей гидрологических явлений, а также в гидрологических и водохозяйственных расчетах получили распространение методы моделирования гидрологических процессов. Ход гидрологических процессов описывается математической моделью, то есть совокупностью со­отношений, представляющих развитие исследуемого гидрологического явле­ния под воздействием формирующих его процессов или факторов.

Главное направление в моделировании гидрологических процессов возникло в связи с необходимостью удлинения рядов наблюдений за стоком. Продолжительность гидрометрических наблюдений над режимом большин­ства рек бывшего СССР не превышает 70 - 75 лет. Будущие гидрометриче­ские наблюдения в большинстве случаев также не могут существенно допол­нить имеющиеся материалы в связи с развитием хозяйственной деятельности человеческого общества, непосредственно влияющей на величину и режим речного стока. Забор воды для орошения и водоснабжения, сооружение кас­кадов водохранилищ, перераспределяющих сток, межбассейновые перебро­ски вод, проведение крупных агротехнических и лесомелиоративных меро­приятий существенно изменяют бытовой режим рек. По этой причине дан­ные наблюдений в различные годы нередко становятся несопоставимыми. Это значит, что не только в настоящее время, но и в будущем придется поль­зоваться ограниченными гидрометрическими данными. В связи с этим воз­никла необходимость разработки методов, позволяющих извлечь максималь­ную информацию из имеющихся ограниченных материалов наблюдений. Не­которые эффективные способы описания и расчета процесса стока основы­ваются на применении метода Монте-Карло.

Метод Монте-Карло — это статистический метод искусственного конструирования многолетних рядов гидрологических характеристик с помо­щью таблицы случайных чисел. Совокупность равномерно распределенных случайных чисел принимается за обеспеченности, исходя из которых по за­данной кривой обеспеченности определяются величины случайной последовательности с заданным законом распределения (рис. 1)

Таблицу случайных чисел, равномерно распределенных в интервале от 0 до 1 (или от 0 до 100%), получают с помощью электронно-вычислительных машин, применяя стандартные программы.

При отсутствии корреляционной связи между стоком смежных лет мо­делирование ряда ведут в такой последовательности. По имеющимся данным наблюдений (например, по годовым расходам воды за ряд лет) определяют параметры теоретической кривой обеспеченности: среднеарифметическое х (норму), коэффициент вариации C_v и коэффициент асимметрии C_s. Для этого можно воспользоваться методом моментов или методом наибольшего правдоподобия. При отсутствии наблюдений основные параметры стока мо­гут быть определены косвенными методами. По найденным параметрам х, С„ и С, строят теоретическую кривую обеспеченности рассматриваемой гидро­логической характеристики, пользуясь таблицами трехиараметрического гамма-распределения или таблицами биномиального распределения.

По таблице случайных чисел путем розыгрыша моделируем значения обеспеченностей pi. Для этого из таблицы берется некоторое случайное чис­ло, например 86515, и первые два знака принимаем за обеспеченность стока = 86% или в долях единицы=0,86. Обеспеченность стока в следующем году будет= 0,51% или=0,51;= 59% (так как следующее по горизон­тали случайное число 90795),= 7% и т. д. Чтобы обеспечить случайность выборки, следует пользоваться таблицей случайных чисел, руководствуясь каким-нибудь наперед заданным правилом. Например, брать числа, последо­вательно расположенные в строке, по порядку сверху вниз, снизу вверх, сверху вниз через два числа и т. д. Принятое правило необходимо применять до конца расчетов. Затем для каждой обеспеченностипо кривой обеспе­ченности находят соответствующий стокТаким образом, имея некоторый ограниченный объем экспериментальных данных (п), можно получить, при принятом законе распределения, гидрологический ряд практически неогра­ниченной длительности (N=1 000 лет и более).

Сконструированные длинные гидрологические ряды характеризуются теми же параметрами, что и исходные, но дают возможность установить большее число разнообразных сочетаний и чередований периодов различной водности.

Для моделирования гидрологических рядов, обладающих корреляци­онной связью между смежными членами ряда, в гидрологических исследова­ниях используется ряд предложений, к числу которых относятся исследова­ния С. Н. Крицкого,'М. Ф. Менкеля, Г. Г. Сванидзе, Н. А. Картвелишвили, Д. Я. Рат-ковича, Е. Г. Блохинова и др.

Метод моделирования гидрологических рядов, предложенный С. Н. Крицким и М. Ф. Менкелем и развитый впоследствии Г. Г. Сванидзе — так называемый метод регрессионной модели, состоит в следующем.

Многолетние колебания годового стока рассматривают как простую цепь Маркова, то есть принимается во внимание связь между стоком смеж­ных лет и не учитывается корреляция между стоками несмежных интервалов.

В таком случае ряды гидрологических величиниможно рассматривать как две статистические совокупности, связанные линейным урав­нением регрессии:

где,усл — условное математическое ожидание (среднее значение) ряда величинсоответствующих заданном)' значению-без-

условные математические ожидания (среднее значение) рядов.;

ибезусловные среднеквадратические отклонения рядов величини

коэффициент корреляции между рядами величини

Поскольку рассматривается корреляция между стоками смежных лет, то есть исследуются связи членов некоторого исходного ряда с членами того же ряда,смещенного на одингод, то очевидно, что

Тогдазависимость примет вид:

При моделировании рядов, обладающих корреляцией между смежны­ми членами, необходимо учитывать случайное рассеивание вокруг указанно­го условного математического ожидания. Принимают, что рассеи­вание случайной величиныотносительно среднего значения соответствует биномиальному закону распределения и выражается условной кривой обеспеченности, параметрами которой являются следую­щие величины:

условныйкоэффициент вариации

условный коэффициент асимметрии

где— безусловный коэффициент вариации (коэффициент вариации исходного ряда).

Случайную величинупри известном и корреляционно с ним связанном Ki можно определить по зависимости:

где— нормированное отклонение от среднего значения ординаты биномиальной кривой обеспеченности.

Величинаопределяется по таблице нормированных отклонений взависимости от условного коэффициента асимметриии обеспеченности

В частном случае, когда рассматриваются ряды, не обладающие внутри рядной связностью, уравнение принимает обычный вид.

Моделирование гидрологических рядов производится по уравнению (3.59) с помощью таблицы случайных чисел в такой последовательности. По исходным данным (по наблюденным годовым расходам воды) вычисляют коэффициент вариациии корреляции г. Задавшись величиной первого члена рядапо формуле определяютЗатем, принимая за обеспеченность первого члена моделируемого ряданекоторое случайное число, по таблице нормированных отклонений от среднего значения ординат бино­миальной кривой обеспеченности находят величинув зависимости от найденногоуел и принятойПодставляя величинуив уравнение, вычисляют искомое значениеДалее каждая величинаопределяется по предыдущему значению. Таким образом строится искус­ственный гидрологический ряд большой длительности.

Рассмотренный метод моделирования гидрологических рядов широко используется в практике гидрологических и водохозяйственных расчетов. В Государственном гидрологическом институте (ГТИ) на основе регрессион­ной модели выполнены многочисленные расчеты по оценке законов распре­деления выборочных параметров и ординат кривых обеспеченностей. С. Н. Крицкий и М. Ф. Менкель использовали предложенную ими методику при изучении возможных колебаний уровня Каспийского моря.

Д. Я. Раткович на основании анализа обширного материала многолет­них наблюдений за стоком многих рек бывшего СССР и зарубежных стран пришел к выводу, что ввиду сложности и многообразия процессов формиро­вания стока в различных физико-географических условиях в настоящее вре­мя можно создать лишь приближенную модель колебаний годового стока, которая с достаточной для практики точностью отражала бы закономерности, наблюдающиеся в природе. Он разработал стохастическую модель, основан­ную на простой цепи Маркова и аппарате линейной корреляции между обеспеченностями стока смежных лет. Эта модель удовлетворительно отвечает наблюдаемым закономерностям чередования маловодных и многоводных лет.

Применительно к этой модели составлены таблицы 1000-летних рядов для коэффициентов корреляции между обеспеченностями стока смежных лет . Установлено, что для не озерных рек между модулем годового стока и коэффициентом корреляции имеется обратная связь: чем больше модуль стока, тем меньше коэффициент корреляции Го между обеспеченностями стока смежных лет. Поскольку вычисление коэффициента корреляции между стоком смежных лет непосредственно по стоковому ряду приводит к большим погрешностям, применительно к стохастической модели рекомен­дуется назначать коэффициент корреляции (для неозерных рек) в зависимо­сти от модуля годового стока, величины го и коэффициента вариации С„ (табл. 1).

Таблица 1.

 

Рекомендуемое нормирование коэффициента	корреляции го
cv		М, л/(с-км2)
	более 20	20...10	10...4	4...1	менее 1
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
	0,1	0,19	0,29	0,38	0,48
0,2	0,09	0,19	0,28	0,38	0,47
0,4	0,09	0,18	0,27	0,37	0,46
0,6	0,09	0,17	0,26	0,35	0,44
0,8	0,08	0,16	0,25	0,34	0,43
1,0	0,08	0,15	0,24	0,32	0,41
1,2	0,07	0,14	0,22	0,30	0,38

Стохастическая модель стока позволила оценить вероятность группи­ровок маловодных и многоводных лет. Оказалось, что средняя длительность группировок маловодных и многоводных лет увеличивается с уменьшением модуля стока. Для рек с большими модулями стока реальны (повторяемость их составляет более 1 % от числа лет в ряду) серии из семи маловодных лет подряд и более, а для рек с малыми модулями стока — из одиннадцати мало­водных лет и более. Длительность серий многоводных лет той же повторяе­мости существенно меньше — соответственно 5-7 лет подряд.

При использовании стохастической модели при моделировании рядов годового слоя осадков коэффициент корреляции между обеспеченностями смежных лет рекомендуется ориентировочно принимать= 0,1, а при мо­делировании годового слоя испарения —=0,3.

Практическое применение рассмотренных и других методов моделиро­вания гидрологических рядов стало возможным лишь с помощью ЭВМ.

Контрольные вопросы:

1. Для чего необходимы выявление и описание закономерностей ко­лебания речного стока?

2. Дайте определение стохастических моделей и какие задачи водохо­зяйственных расчётов можно решить с их использованием.

3. В чём заключается принцип моделирования гидрологических ря­дов?