Приклади розв’язання задач

Задача 1. Знайти момент інерції тонкої однорідної проволоки маси m, зігнутої у формі квадрата із стороною а, відносно осі, що проходить через діагональ квадрата.

Дано:

m

а

І – ?

Розв’язок:

Оскільки проволока однорідна, то можна ввести величину, яка характеризує масу елемента проволоки одиничної довжини: r – лінійну густину .

Рис. 4.1

З міркувань симетрії та адитивних властивостей момента інерції достатньо визначити момент інерції лише однієї сторони квадрата І_1/4 . Загальний момент інерції

І = 4 І_1/4.

Величину І_1/4 знайдемо, розглянувши нескінченно малий елемент проволоки, момент інерції якого відносно діагоналі квадрата дорівнює dI = r r ²dl.

Геометричній зміст величини r зрозумілий з рис. 4.1. Кут між стороною квадрата та його діагоналлю – 45°, тому r = l×sin 45°. Отже

.

Загальний момент інерції

.

Відповідь: .

Задача 2. Знайти прискорення вантажів і сили натягу ниток в системі, зображеній на рис. 4.2; m₁=2 кг i m₂=3 кг, R₁=20 см, R₂=10 см. Нитки невагомі, тертям знехтувати. Момент інерції блока рівний І=0,02 кг×м².

Дано:

m₁=2 кг

m₂=3 кг

R₁=20 см

R₂=10 см

І=0,02 кг×м²

а₁ – ?

а₂ – ?

Т₁ – ?

Т₂ – ?

Розв’язок:

Для двох вантажів запишемо у векторній формі рівняння другого закону Ньютона (див. рис. 4.2):

Запишемо ці рівняння у проекціях на координатну вісь y:

(4.1)

Рис. 4.2

Рівняння динаміки обертального руху для блока у скалярному вигляді буде таким:

, (4.2)

де b – кутове прискорення блока.

Кутове прискорення b пов’язане з лінійними прискореннями а₁ і а₂ формулами

. (4.3)

Об’єднаємо вирази (4.1)–(4.3) у систему п’яти алгебраїчних рівнянь п’яти невідомих (а₁ , а₂ , Т₁ , Т₂ і b):

. (4.4)

Розв’яжемо цю систему:

. (4.5)

Тепер виконаємо обчислення за формулою (4.5).

.

Інші величини обчислимо за формулами (4.4).

.

Відповідь: , , ,