Завдання 1. Класифікація станів рівноваги у двомірних системах

Розглянемо систему рівнянь Лотки-Вольтера, що описує конкурентну боротьбу за обмежений ресурс, наступною динамічною системою:

,

Для представленої системи визначити точки рівноваги, тип стану рівноваги, використовуючи характеристичні рівняння, та розрахунок характеристичних коренів. Побудувати фазовий портрет системи.

Розглянемо автономну систему другого порядку виду

Нехай M (x₀, y₀) – стан рівноваги. Це означає, що .

Позначимо

, .

Стан рівноваги, для якого D ¹ 0 зветься простим.

Розглянемо наступні прості стани рівноваги:

Для стану рівноваги може бути складене характеристичне рівняння

. (1)

Нехай l₁, l₂ – корінь характеристичного рівняння.

Стан рівноваги класифікується залежно від того, чи є коріння дійсними або комплексними числами, їх парності й знака.

1) Вузли

Якщо l₁, l₂ – дійсні числа однакових знаків, тобто l₁l₂ > 0 або , то стан рівноваги зветься вузлом.

А. Невироджений вузол: l₁ ¹ l₂:

а) стійкий, якщо s < 0 (рис. 1.а);

б) нестійкий, якщо s > 0 (рис. 1.б).

а) б)