Завдання 1. Побудова та аналіз павутиноподібної моделі попиту та пропозиції

Задано функції попиту та пропозиції D_t=120 - 8P_t, S_t=40 + 10P_t-1. Знайти рівноважний обсяг випуску та рівноважну ціну. Дослідити тип рівноваги в системі, якщо P₀=6.

Нехай ринок якого-небудь окремого товару характеризується наступними функціями попиту і пропозиції:

,

Для існування рівноваги ціна повинна бути такою, щоб товар на ринку був розпроданий, або

Ціна рівноваги задається цим рівнянням (яке може мати безліч рішень), а відповідний обсяг покупок - продажів, що позначається через наступним рівнянням

.

Динамічна модель виходить при наявності запізнювання попиту або пропозиції. Найпростіша модель у дискретному аналізі включає незмінне запізнювання або відставання пропозиції на один інтервал:

.

Це відбувається тоді, коли для виробництва розглянутого товару потрібно визначений період часу, обраний за інтервал. При заданому попереднього періоду обсяг пропозиції на ринку в поточному періоді буде і величина повинна установитися так, щоб був куплений увесь обсяг запропонованого товару. Іншими словами, Р_t і обсяг покупок - продажів X_t характеризуються рівнянням:

.

Отже, знаючи вихідну ціну , за допомогою цих рівнянь ми можемо одержати значення і . Потім, використовуючи наявну ціну , з відповідних рівнянь одержимо значення і , і т. д. Загалом, зміна характеризується різницевим рівнянням першого порядку (одноінтервальне запізнювання): .

Рішення можна проілюструвати діаграмою, представленою на рис. 7, де D і S – відповідно криві попиту та пропозиції, а положення рівноваги (зі значеннями і ) відповідає точці їх перетину Q. У динамічній моделі D має той же зміст, що й у статичній, але ордината кривої S показує обсяг пропозиції у даний період часу в залежності від цін, керуючих ринком у попередній момент часу.

Ціна в початковий момент часу дорівнює P_o. Відповідна точка Q_o на кривій S дає обсяг пропозиції в період 1. Весь цей запропонований обсяг товару розкуповується при ціні P₁, в заданій точці Q₁ на кривій D з тією ж ординатою (X₁), що і Q_o. У наступний період часу рух відбуваються спочатку по вертикалі від точки Q₁ до точки на кривій S, що дає X₂ , а потім по горизонталі – до точки Q₂ на кривій D. Остання точка характеризує P₂. Продовження цього процесу і дає графік павутини, показаний на рис. 1.

Рис. 1. Павутиноподібна модель

Ціни й обсяги (покупок - продажів) у послідовні періоди часу є відповідно координатами точок Q₁ , Q₂ , Q₃,… Q_n на кривій попиту D. У розглянутому випадку послідовність точок прагне до Q. При цьому точки по черзі розташовуються на лівій і правій стороні від Q. Отже, і значення ціни P_t прагнуть до , розташовуючись по черзі з обох сторін від . Також справа і з обсягами покупок - продажів (X_t). Припустимо, що D йде вниз, а S – нагору. Тоді інтуїтивно ясно, що рух зі згасаючими коливаннями виникне, якщо крива D у точці рівноваги Q опускається до осі абсцис ОР крутіше (під великим кутом), чим крива S. Вибуховий коливальний рух виникає у випадку, коли крива D менш крута стосовно осі ОР, чим S (кут нахилу кривої D до осі ОР менше кута нахилу S). При рівних кутах нахилу D і S виникають регулярні коливання, тобто незатухаючі і невибухові.

Рішення можна одержати алгебраїчно для випадку лінійних функцій попиту і пропозиції:

.

Значення рівноваги і будуть задані рівняннями:

, тобто (1)

Дискретна динамічна модель задається рівнянням:

(2)

Шукаємо спочатку рішення, що дає рівновагу. Для цього покладемо P_t = і X_t = для всіх значень t:

(3)

Отримуємо ті ж значення і , що і у (1). Отже, якщо в якому-небудь періоді існували ціни й обсяги, що забезпечують рівновагу, то в динамічній моделі (2) вони зберігаються й у наступних періодах. Статична рівновага погоджується з цією моделлю. Віднімемо рівняння (3) з (2) і покладемо

.

Тоді

(4)

Рівняння (4) аналогічні (2), за винятком того, що вони описують відхилення від рівнів рівноваги (тепер уже відомо, що такі існують). Ці рівняння є різницевими рівняннями першого порядку. Покладемо і підставимо його в рівняння (4), так що різницеве рівняння відносно р_t буде: .

При даному значенні р_о в момент t = 0 рішення легко виходять шляхом ітерації:

, .

Обсяги покупок - продажів у кожному періоді визначаються з рівняння (4).

Звичайно крива попиту йде вниз (а < 0), а крива пропозиції – нагору (b > 0), тобто c = b/a < 0. У цьому випадку покладемо , так що r буде позитивно. Тоді:

і послідовні значення p_t при t = 0; 1; 2; 3;…будуть відповідно

p₀ , - p₀r, - p₀r², - p₀r³,…,

так що p_t приймає по черзі позитивні і негативні значення Отже, чергуються і знаки P_t, котрі по черзі будуть розташовуватися вище і нижче . При такій поведінці можливі наступні сценарії розвитку:

1) кут нахилу S до (ОР) більше, ніж кут нахилу D. У цьому випадку , і ряд послідовних значень p_t є нескінченно зростаючим по абсолютній величині. Отже, , і має місце вибухове коливання (при чергуванні знаків).

2) кути нахилу D і S рівні. У цьому випадку , і ряд значень p_t , буде просто складатися з чергування і . Тому буде послідовно більше і менше P на ту саму величину, рівну первісній розбіжності , тобто буде мати місце регулярне коливання (з чергуванням знаків).

3) кут нахилу D (до ОР) більший, ніж S. У цьому випадку і послідовність p_t зменшується по абсолютній величині. Виходить, послідовно ліворуч і праворуч, тобто прагне з загасаючими коливаннями до рівня рівноваги.

У випадку (3), чим більше буде а відносно до b, тобто чим крутіше D порівняно з S, тим скоріше будуть згасати коливання і тим швидше P_t буде прагнути до . Початкові збурювання також роблять вплив на амплітуду коливання. Чим далі від , тим більший буде розмах коливань і тим довше проміжок часу, необхідний для того, щоб вони припинилися.

Слід зазначити, що випадок (2) із продовжуючими і правильними коливаннями настільки рідкий, що його можна вважати майже тривіальним – на його базі не можна побудувати ніякої теорії циклу.

Цікавий випадок (3), незважаючи на можливе заперечення того, що загасаючі коливання “нереальні”. Однак існує дуже простий розвиток моделі (3) із згасаючими коливаннями, що дозволяє представити рух P_t з триваючими коливаннями у часі. Для цього замість кривих попиту і пропозиції, незмінних у часі, візьмемо криві, що під впливом зовнішніх сил змінюються у часі або регулярно, або циклично, або випадково, або якимось інакшим чином. Тоді ще до припинення коливань, представлених на рис. 7, будь-яке зрушення в кривій D або S приведе до збурення, і коливання з'являться знову. Наприклад, Q₀ могла знаходитися в точці рівноваги або поблизу її до зрушення нагору кривої D до положення, показаному на рис. 7. Тоді коливання будуть відбуватися описаним вище способом, продовжуючи, скажімо до точки Q₃, де коливальний рух буде порушено зрушенням нагору кривої S. Отже, виникне, коливальний рух із ще більшою амплітудою, що поступово припиниться до появи якого-небудь нового збурення. Для лінійної моделі можливо алгебрагічне тлумачення у випадку паралельного зміщення кривих попиту і пропозиції. Рівняння (2) тоді буде мати вигляд:

(5)

де , характеризують зрушення в момент t = 0, 1, 2, 3,…... Різницевим рівнянням щодо ціни буде:

Для рішення рівняння (5) необхідно лише визначити різницю зрушень у часі попиту і пропозиції.